Trasformata Z

1) Relazione tra trasformata di Laplace, trasformata di Fourier e trasformata Z :

Nel caso di sistemi tempo - continui la trasformata di Laplace generalizza la trasformata di Fourier mentre nel caso di sistemi tempo - discreti la trasformata Z generalizza la trasformata di Fourier.

2) Trasformata Z di una sequenza x[n] :

 essendo  una variabile complessa si ottiene che la trasformata Z coincide con la trasformata di Fourier unicamente sul cerchio unitario. La condizione di convergenza è  pertanto la trasformata Z può convergere anche in casi in cui la trasformata di Fourier non converge.

3) Convergenza della serie  :

• Se                             si ha      

4) Trasformata Z di una sequenza a lunghezza finita :

 con n₁ ed n₂ interi, si ha che la regione di convergenza è almeno  e può includere anche gli estremi, in particolare :

• Se             è compreso anche il punto
• Se            è compreso anche il punto 0

5) Trasformata Z di una sequenza monolatera destra :

Si tratta di sequenze nulle per n < n₁ , pertanto la trasformata Z   è   e la regione di convergenza è l'esterno di un cerchio inoltre si ha che :

• Se la sequenza è causale la regione di convergenza comprende  e viceversa
• Se la regione di convergenza è l'esterno di un cerchio allora la sequenza è monolatera destra e viceversa

6) Trasformata Z di una sequenza monolatera sinistra :

Si tratta di sequenze nulle per n > n₂ , pertanto la trasformata Z   è   , mediante il cambio di variabile  ci si riporta al caso delle sequenze monolatere destre ne deriva pertanto che la regione di convergenza è l'interno di un cerchio.

7) Trasformata Z di una sequenza bilatera :

Sono sequenze che si estendono da - a + , possono essere trattate come la somma di una monolatera destra e di una monolatera sinistra   , la regione di convergenza della trasformata è l'intersezione delle due regioni di convergenza individuate per le due sequenze costituenti, si tratta pertanto di uno o più anelli circolari.

8) Teorema integrale di Cauchy :

essendo C un contorno chiuso che circonda l'origine e che è percorso in senso antiorario.

9) Trasformata Z inversa :

Essendo c un contorno chiuso situato intorno all'origine e compreso nella regione di convergenza di .

10) Trasformata Z inversa di funzioni razionali :

 =   somma dei residui di  nei poli interni a c .

11) Calcolo dei residui per una funzione razionale :

Una funzione razionale può esprimersi nella forma  dove  non ha poli in .

Nel caso si abbia un polo di ordine s = 1 in  il residuo vale  mentre se si ha un polo di ordine s > 1 in  il residuo vale  .

12) Trasformata Z inversa di funzioni serie di potenze :

Se la trasformata Z è in forma di una serie di potenze allora la sequenza x[n] coincide con il coefficiente di  della serie di potenze.

13) Trasformata Z inversa calcolata mediante espansione in fratti semplici :

La X(z) può essere scritta come sommatoria di fratti più semplici ciascuno dei quali ha al denominatore l'espressione di un polo semplice o multiplo mentre al numeratore c'è il corrispondente residuo nel polo stesso.

14) Proprietà della trasformata Z :