Filtri attivi RC con un solo amplificatore

1) Confronto tra i filtri attivi ed i filtri passivi :

I filtri attivi sono più leggeri e richiedono meno spazio rispetto ai filtri passivi, inoltre possono essere realizzati in forma integrata il che ne consente la produzione in massa e la riduzione dei costi.

 

2) Filosofie di realizzazione dei filtri attivi :

Cascata                 la funzione di rete è fattorizzata in prodotti di termini del 2° ordine ognuno dei quali è realizzato individualmente da un circuito RC attivo e posto in cascata agli altri.

Diretta                   la funzione di rete viene realizzata completamente da un unico circuito

 

3) VCVS :

È una sorgente di tensione controllata in tensione, idealmente ha le seguenti caratteristiche :

a)       impedenza d´ingresso infinita

b)       impedenza d´uscita nulla

c)       tensione d´uscita linearmente proporzionale tramite un guadagno alla tensione d´ingresso

Nei VCVS realizzati con amplificatori operazionali l´impedenza d´ingresso è di qualche MW mentre l´impedenza d´uscita è minore di 100W .

 

4) Configurazioni per un amplificatore operazionale utilizzato come VCVS :

Invertente             il segnale è applicato tramite la resistenza R₁ al morsetto invertente al quale giunge anche il segnale d´uscita tramite la resistenza R₂ , il morsetto positivo è a massa e quindi il guadagno risulta essere  .

Non Invertente    il segnale è applicato al morsetto positivo mentre al morsetto negativo è collegata verso massa la resistenza R₁ e la resistenza di retroazione R₂ , il guadagno risulta essere   .

Inseguitore           è un amplificatore non invertente in cui R₂ = 0 il che implica K=1  ossia  V₂ = V₁  .

 

5) Filtro generale a singolo amplificatore :

La rete passiva in figura è caratterizzata dalle equazioni  nelle quali per la presenza del VCVS si può sostituire  ed eliminare la 2ª equazione in quanto Z_out=0 , essendo inoltre I₃ = 0 si ottiene  che per la realizzazione

implica      ,       ,     .

 

6) Sallen & Key passa-basso :

Dalla uguaglianza  e ricordando i valori trovati per N₃₁ , N₃₂ , N₃₃ si osserva che Y₁ ed Y₃ debbono essere costanti ossia conduttanze Y₁ = G₁   e   Y₃ = G₃    inoltre N₃₂ deve avere uno zero semplice nell´origine quindi Y₂=sC₂ ed Y₆=0  mentre N₃₃ deve essere del 2° ordine con zeri reali negativi e quindi si ottiene Y₄ =sC₄ ed Y₅=0 , ne segue che  

Per tale schema alcuni criteri di progetto sono i seguenti :

a)            sia R₁ = R₃= R   ed anche C₂ = C₄ = C  si ottiene   ,       ,      

b)            sia K=1 ,   ,   ,  R₁ = R   e   C₂ = C   ,   si ottiene   ed  

c)            sia K=2  ,   C₂ = C₄ = C   ,   si ottiene   ed

Tutti e 3 i progetti danno luogo a sensibilità direttamente proporzionali a Q il che è deleterio quando si vogliano realizzare filtri a Q elevato meglio ottenibili utilizzando rapporti 1:10 invece che 1:1 tra R₁ ed R₃ o tra C₂ e C₄ .

 

7) Sallen & Key passa-banda :

Dalla uguaglianza  e ricordando i valori trovati per N₃₁ , N₃₂ , N₃₃ si osserva che Y₁ ed Y₃ debbono essere uno un condensatore e la altro un resistore, assumiamo Y₁ = G₁   e   Y₃ = sC₃    per soddisfare la condizione su N₃₂ si deve avere Y₂=G₂ ed Y₆=0  mentre per soddisfare quella su N₃₃ poniamo Y₄ =G₄ ed Y₅=sC₅ , si ottiene  .

Per tale schema alcuni criteri di progetto sono i seguenti :

a)            sia R₁ = R₂ = R₄ = R   ed anche C₃ = C₅ = C  si ottiene   e 

b)            sia K=2   e    R₁= C₃ = C₅ =1    si ottiene   ed     

 

8) Sallen & Key passa-alto :

Dalla uguaglianza  e ricordando i valori trovati per N₃₁ , N₃₂ , N₃₃ si trova che deve essere Y₁=sC₁ ,  Y₂=G₂  , Y₃ = sC₃   ,  Y₄=G₄   , Y₅ = Y₆ = 0 , si ottiene    

Per tale schema alcuni criteri di progetto sono i seguenti :

a)            sia R₂ = R₄ = R   e   C₁ = C₃ = C  si ottiene    ,       ,    .

b)            sia  K=1  ,   ,   , C₁=C , R₂=R  si ottiene     e     

c)            sia  K=2   e    C₁ = C₃ = C    ,     si ottiene    e  

 

9) Filtro generale a guadagno infinito con singolo amplificatore :

La rete passiva in figura è caratterizzata dalle equazioni  nelle quali per la presenza della amplificatore operazionalesi ha V₃ = 0  , si può eliminare la 2ª equazione in quanto Z_out=0 , essendo inoltre I₃ = 0 si ottiene  che per la realizzazione

in figura si riduce a  .

 

10) Infinite-gain passa-basso :

Dalla uguaglianza  si deduce che per quanto riguarda i denominatori deve essere Y₁ = G₁   e   Y₃ = G₃  mentre per i denominatori Y₂ = G₂   ,  Y₅ = sC₅   ,   Y₆ = sC₆  si giunge pertanto alle equazioni    ,         ,       .

Un criterio di progetto consiste nel porre C₅ = C   e   C₆ = mC    con     , si ottiene    ,         ,     .

Si tratta di un filtro ideale per le realizzazioni a Q elevato in quanto presenta una sensibilità di Q rispetto alle variazioni dei parametri sempre inferiore ad 1 .

11) Infinite-gain passa-banda :

Dalla uguaglianza  si  ha che ponendo Y₁=G₁ , Y₃ =sC₃ , Y₂=sC₂   ,   Y₅=G₅   e   Y₆=G₆     

Un possibile criterio di progetto consiste nel porre  C₂=C₃=C    ,   si ottiene          ,           ,       .

 

12) Infinite-gain passa-alto :

Dalla uguaglianza  si  ha che ponendo Y₁=sC₁  ,

Y₂ =sC₂ , Y₃=sC₃   ,   Y₅=G₅   e   Y₆=G₆

Un possibile criterio di progetto consiste nel porre  C₁ = C₃ = C  ,  si ottiene :

          ,                         ,                ..

 

 

 

 

13) Criteri di progetto per filtri in cascata di ordine maggiore di 2 :

Se si deve realizzare un filtro con ordine dispari la sezione del 1° ordine costituita da un RC o CR va posta all´inizio della cascata e seguita da un inseguitore di tensione, le restanti sezioni del 2° ordine vanno ordinate con Q crescente.