Approssimazione

1) Proprietà della |N(jw)|² associata ad una funzione razionale N(s) :

a)       |N(jw)|² è un rapporto di polinomi pari in w ciò si ottiene sostituendo jw = s nella  ed utilizzando

b)       sostituendo  nella |N(jw)|²  si ottiene la   dove N(-s) ha gli stessi poli di N(s) ma riflessi rispetto all´origine , ne deriva che i poli di T(s²) hanno simmetria quadrantale ossia sono simmetrici sia rispetto alla asse reale che rispetto alla asse immaginario . Tale simmetria quadrantale è possibile solo se i poli e zeri presenti sulla asse jw sono di ordine pari.

 

2) Funzione massimamente piatta :

È una funzione |N(jw)|²  che è massimamente piatta a ridosso della origine, ricordando che |N(jw)|² è un rapporto di polinomi pari  e confrontando l´ultimo termine ottenuto mediante rapporto con l´espansione in serie di Mac Laurin   che per essere massimamente piatta deve avere il maggiore numero di derivate nulle nell´origine , ne deriva che |N(jw)|²  massimamente piatta si può ottenere se a_i = b_i per il maggior numero di coefficienti possibile.

 

3) Funzione di Butterworth :

Ci si propone di realizzare una |N(jw)|²  massimamente piatta quindi a_i = b_i , di tipo passa-basso quindi tutti gli zeri di trasmissione sono ad infinito e quindi tutti i b_i sono zero come pure quindi gli a_i tranne quello di grado massimo , si ha :

dove al denominatore c´è w²ⁿ in quanto |N(jw)|² deve essere un rapporto di polinomi pari. La posizione dei poli si ottiene sostituendo jw=s cioè w²= -s²  nella |N(jw)|² , si ha , in particolare :

a) per n dispari    con k = 1 , 3 , 5 , 4n-1

b) per n pari        con k = 0 , 2 , 4 , 4n-2

soltanto i poli che si trovano nel semipiano sinistro sono stabili, essi sono  con   e    .

 

4) Polinomio di Butterworth :

È il polinomio che si trova a denominatore della funzione di Butterworth   dove a₀ = 1 dato che tutti i poli si trovano sul cerchio unitario e gli altri coefficienti si ricavano ricorsivamente mediante la    e sono simmetrici ossia a₀ = a_n  ,   a₁ = a_n-1  ,  …       .

 

5) Determinazione della ordine di una funzione di Butterworth :

L´ordine n_B di una funzione di Butterworth è  dove    ed        essendo nelle specifiche che la banda passante deve essere compresa tra 0 ed w_p e presentare una deviazione massima di K_p dB rispetto al valore massimo mentre la stop band è compresa tra w_s ed ¥ e presenta una attenuazione minima di K_s dB .

6) Denormalizzazione di frequenza :

La funzione di Butterworth normalizzata prevede una frequenza di taglio ad 1 rad/sec per la quale K_p è 3dB, per avere una diversa attenuazione alla stessa frequenza, occorre effettuare la denormalizzazione di frequenza  essendo  la pulsazione alla quale la funzione ha la desiderata attenuazione K_p .

 

7) Polinomi di Chebyshev :

dove i polinomi C_n(w) sono definiti mediante una delle seguenti :

a)                             a partire da            C₁(w) = w

b)      

c)      

d)      

sono tali che il modulo è equi-ripple in banda passante e monotonico decrescente in banda oscura. Le pulsazioni w cui corrisponde una attenuazione di –3dB alla pulsazione di 1rad/s sono date dalla relazione .

I poli si ricavano sostituendo nella |N(jw)|²   , essi sono situati su di una ellisse centrata nell´origine.

 

8) Determinazione della ordine di una funzione di Chebyshev :

L´ordine n_C di una funzione di Chebyshev è  dove    ed        essendo nelle specifiche che la banda passante deve essere compresa tra 0 ed w_p e presentare una deviazione massima di K_p dB rispetto al valore massimo mentre la stop band è compresa tra w_s ed ¥ e presenta una attenuazione minima di K_s dB .

9) Funzione di Chebyshev inversa :

essa presenta una caratteristica equi-ripple nella banda oscura e monotonica decrescente nella banda passante.

Si ottiene sostituendo w con 1/w nella  che è equi-ripple lontano dall´origine ma passa-alto. I poli che ne risultano sono reciproci rispetto a quelli trovati per  .

10) Determinazione della ordine della funzione di Chebyshev inversa :

confrontando questa espressione con quella trovata per il filtro di Chebyshev si ha che sono uguali a patto che si abbia

                                                                           

 

11) Filtri ellittici :

Sono anche detti filtri di Cauer e presentano una caratteristica equi-ripple sia in banda oscura che in banda passante inoltre sono caratterizzati da una pendenza maggiore in corrispondenza della frequenza di taglio rispetto alle altre tipologie di filtri. La forma tipica di un filtro ellittico è   dove .

 

12) Trasformazione da passa-basso a passa-alto :

Se una funzione passa-basso è definita nel piano complesso s = s + jw  mediante la trasformazione  si ottiene una funzione passa-alto nel piano p = u + jv  , imponendo lo stato stazionario sinusoidale s = 0 si ottiene u = 0  ,  . L´effetto sulla funzione di rete N(s) è che gli zeri di trasmissione all´infinito vengono trasformati in zeri nell´origine. La trasformazione può anche essere applicata direttamente agli elementi di una rete , cosicchè un induttore di K Henry si trasforma in un condensatore di  Farad mentre un condensatore di K Farad si trasforma in un induttore di  Henry.

 

13) Trasformazione da passa-basso a passa-banda :

Se una funzione passa-basso è definita nel piano complesso s = s + jw  mediante la trasformazione  si ottiene una funzione passa-banda nel piano p = u + jv  , imponendo lo stato stazionario sinusoidale s = 0 si ottiene u = 0  ,  . In particolare la banda del passa-basso diviene la banda del passa-banda ed ogni coppia (v₁,v₂) è tale che v₁v₂=1 . La trasformazione può anche essere applicata direttamente agli elementi di una rete mettendo in serie ad ogni induttore di K Henry una capacità di  Farad ed in parallelo ad ogni capacità di K Farad un induttore di  Henry .

 

14) Realizzazione di un filtro passa-banda di tipo Broad-Band :

È un filtro passa-banda con una larghezza di banda maggiore rispetto al filtro normalizzato, si ottiene operando una denormalizzazione in frequenza sul filtro passa-basso e poi eseguendo la trasformazione passa-basso® passa-banda .

15) Realizzazione di un filtro elimina-banda :

Occorre applicare la trasformazione  ad un filtro passa-alto

 

16) Approssimazione di banda stretta :

Un filtro passa-banda è detto essere a banda stretta se la sua larghezza di banda è minore di un decimo rispetto alla frequenza di centro banda ossia se  . Il denominatore della funzione passa-banda si può ottenere direttamente in forma fattorizzata infatti sostituendo  nella     si ottiene  dove s è la variabile rispetto alla quale è definito il passa-basso mentre p è la variabile rispetto alla quale è definito il passa-banda.