Diagrammi a bande

1) Struttura del Silicio e del Diamante :

Nel guscio più interno del diamante ci sono 2 elettroni sul livello di energia 1s, mentre il secondo guscio è costituito da due elettroni sul livello di energia 2s ed altri 6 sul livello di energia 2p. Il silicio ha poi un terzo guscio costituito da 2 elettroni sullo stato 3s e 2 elettroni sullo stato 3p.

2) Livelli energetici del diamante al diminuire del parametro reticolare :

Si ha che i livelli 2s e 2p confluiscono creando in basso una banda di valenza costituita da 4N stati, in alto una banda di conduzione anche essa costituita da 4N stati ed in mezzo una banda proibita. È da notare che anche il livello 1s degenera dando luogo a delle bande proibite inoltre allo 0K la banda di conduzione è vuota mentre la banda di valenza è piena.

Il valore della gap è funzione del tipo di drogaggio del semiconduttore.

3) Fattore di Boltzman :

4) Funzione di Fermi-Dirac :

5) Densità di stati :

6) Concentrazione intrinseca di elettroni e lacune :

a temperatura ambiente (300K) essa vale 2.5*10¹⁹ .

7) Livello di Fermi :

è interessante notare che il livello di Fermi si trova esattamente a metà della energy gap nel caso che la massa della lacuna sia uguale alla massa della elettrone.

8) Energia di Fermi nel caso di un semiconduttore drogato :

si osserva quindi che nel caso di drogaggio di tipo p il livello di Fermi si sposta verso la banda di valenza mentre nel caso di drogaggio di tipo n il livello di Fermi si sposta verso la banda di conduzione.

9) Equazioni di drift e diffusione :

10) Relazione di Einstein :

11) Effetto della intersezione tra il livello di Fermi ed il livello di Fermi intrinseco :

Si ha che la regione in cui il livello di Fermi intrinseco si trova al disotto del livello di Fermi viene chiamata zona di inversione in quanto è come se non fosse più drogata di tipo p bensì di tipo n.

12) Effetto della intersezione tra il livello di Fermi e la banda di conduzione :

Nella regione in cui il livello di Fermi si trova sopra la banda di conduzione si crea il cosiddetto “gas di elettroni” che rende il semiconduttore del tutto simile ad un metallo.

13) Realizzazione di un diagramma a bande :

a) disegnare affiancati i livelli energetici relativi ai diversi materiali ed individuare le distanze che debbono rimanere inalterate in particolare nel contatto metallo semiconduttore deve rimanere inalterata l´energy gap del semiconduttore e la distanza del livello di Fermi del metallo rispetto alla banda di conduzione ed alla banda di valenza del semiconduttore mentre nel contatto tra due semiconduttori debbono rimanere inalterati i valori delle due energy gap , la distanza tra le due bande di conduzione e la distanza tra le due bande di valenza.

b) Disegnare il verso in cui scorrono gli elettroni ossia dal materiale con energia di Fermi più elevata verso quello con energia di Fermi più bassa.

c) In base al verso in cui scorrono gli elettroni determinare se le bande in un determinato materiale si alzano o si abbassano, in particolare se gli elettroni si allontanano da un semiconduttore di tipo n si ha che in corrispondenza della giunzione esso se ne impoverisce e quindi il livello di Fermi si abbassa ossia si avvicina a quello di un semiconduttore intrinseco, dovendo però esso rimanere fermo si ha che la banda di conduzione deve allontanarsi da esso ossia innalzarsi. Analogamente se gli elettroni affluiscono nel semiconduttore di tipo p , esso se ne arricchisce e quindi si ha che il livello di Fermi si avvicina a quello di un semiconduttore intrinseco ossia la banda di conduzione si allontana dal livello di Fermi e dovendo esso rimanere fermo, la banda di conduzione si abbassa.

d) Disegnare il livello di Fermi intrinseco sempre compreso tra la banda di valenza e la banda di conduzione

e) Individuare la regione di transizione dove le bande iniziano a piegarsi , eventualmente al suo interno la regione di inversione che si ha quando il livello di Fermi intrinseco interseca il livello di Fermi, eventualmente al suo interno la regione di degenerazione nella quale la banda di conduzione attraversa il livello di Fermi (…gas di elettroni) oppure la banda di valenza attraversa il livello di Fermi (…gas di lacune).

f) Disegnare il diagramma della densità di carica riportando le zone identificate al punto e) e caratterizzando la regione di transizione con una carica fissa positiva nel caso di un semiconduttore di tipo n e negativa nel caso di un semiconduttore di tipo p , mentre le regioni di inversione sono caratterizzate da cariche mobili ad andamento esponenziale infine la regione di degenerazione è molto piccola e caratterizzata da una carica fissa. Si ha poi il metallo che per repulsione presenta una carica tutta disposta sulla superficie di contatto e tale da rendere globalmente neutro il materiale.

g) Disegnare il diagramma del campo elettrico riportando le zone indicate al punto e) e ricordando che il campo elettrico è l´integrale della carica per cui nella regione di transizione dove si ha la carica fissa si ha una retta , nella regione di inversione dove si ha la carica mobile ad andamento esponenziale, il campo elettrico ha anche esso andamento esponenziale e nella regione di contatto tra due semiconduttori diversi dovendo essere rispettata la conservazione del vettore spostamento D , si deve avere una discontinuità del campo elettrico.

h) Disegnare il diagramma del potenziale riportando le zone indicate al punto e) e ricordando che il potenziale si ottiene integrando il campo elettrico e cambiandogli di segno pertanto nella regione di transizione dove il campo elettrico è una retta, il potenziale è una parabola mentre nella regione di inversione dove il campo elettrico è un esponenziale, il potenziale è anche esso esponenziale ma col segno opposto infine nella regione di transizione si ha una parabola. Si osservi che nella regione dove i due semiconduttori vengono a contatto e quindi si ha una discontinuità del campo elettrico, si deve avere anche una discontinuità del potenziale.

14) Calcolo della funzione lavoro di un materiale :

La funzione lavoro qf misura la distanza in eV tra il livello di vuoto E₀ ed il livello di Fermi di un materiale, essa dipende dalle caratteristiche fisiche del materiale, per misurarla si mette il materiale su di un piatto di un condensatore in cui la distanza tra le armature viene fatta variare secondo la legge , sulla altra armatura viene posto un materiale avente funzione lavoro nota quale ad esempio l´oro. Il condensatore viene eccitato con una corrente continua mentre se ne fa variare la distanza tra le armature la corrente che si ottiene è inviata al morsetto negativo di un operazionale che ha la altro estremo a massa, si ottiene una tensione che è proporzionale alla differenza delle funzioni lavoro e si può calcolare mediante un rivelatore di valore efficace.