Correnti nella giunzione PN

1) Equazione di continuità :

Si tratta di una equazione che tiene conto della corrente dovuta sia ai portatori maggioritari che ai portatori minoritari, per individuarla si considera una regione di semiconduttore ampia dx ed avente area A, si ha :

 sostituisco lo sviluppo di Taylor di J_n(x+dx) ed ottengo    , sostituendo in essa    si ottiene     dove E(x) ed n(x) sono entrambe funzione di x quindi richiedono il calcolo della derivata di funzione composta, un´analoga relazione si ha anche per le lacune.

 

2) Cattura ed emissione da parte di stati localizzati :

Il meccanismo più semplice di generazione prevede l´emissione di un elettrone che dalla banda di valenza passa nella banda di conduzione, esso però è abbastanza improbabile nei semiconduttori che come il Germanio ed il Silicio possiedono una gap indiretta, si richiede infatti un urto a tre particelle, un elettrone, un fotone ed un fonone, ciò che avviene invece è che vengono sfruttati degli stati presenti all´interno della gap i quali sono dovuti ad impurezze oppure ad imperfezioni del reticolo, essi sono molto vicini al livello di Fermi intrinseco ed hanno energia E_t e densità N_t , supponiamo inoltre che siano degli stati accettori ossia neutri quando vuoti e negativi quando occupati.

Si possono avere i seguenti 4 possibili processi :

R₁  Cattura di un elettrone si tratta del passaggio di un elettrone dalla banda di conduzione ad uno stato vuoto, il ritmo a cui ciò avviene è  ossia è proporzionale alla concentrazione di elettroni in banda di conduzione n , alla densità di stati localizzati vuoti  ed al prodotto della velocità termica v_th per la sezione trasversa di cattura s_n che è una misura della efficienza dello stato nella cattura della elettrone.

R₂  Emissione di un elettrone            si tratta del passaggio di un elettrone dallo stato localizzato alla banda di conduzione, il ritmo a cui ciò avviene è  ossia è proporzionale densità di stati localizzati pieni per la probabilità di emissione e_n .

R₃  Cattura di una lacuna                   si tratta del passaggio di una lacuna dalla banda di valenza ad uno stato localizzato occupato da un elettrone, il ritmo a cui ciò avviene è  ossia è proporzionale alla concentrazione di lacune in banda di valenza p , alla densità di stati localizzati occupati da elettroni  ed al prodotto della velocità termica v_th per la sezione trasversa di cattura delle lacune s_p .

R₄  Emissione di una lacuna              si tratta del passaggio di una lacuna dallo stato localizzato alla banda di valenza o equivalentemente il passaggio di un elettrone dalla banda di valenza allo stato localizzato, il ritmo a cui ciò avviene è  ossia è proporzionale densità di stati localizzati vuoti per la probabilità di emissione di una lacuna e_p .

3) Distinzione tra stati localizzati di tipo trappola e di tipo centro di ricombinazione :

La distinzione avviene per via fenomenologica ossia supponiamo che vi sia un aumento di R₃  quindi si ha un aumento del n° delle lacune, si può ritornare alla condizione di equilibrio termico sia tramite R₁ (…nel qual caso lo stato localizzato è un centro di ricombinazione) che tramite R₄ (…nel qual caso lo stato localizzato è una trappola) .

 

4) Tasso di ricombinazione netto U :

dove si è assunto che le sezioni di cattura siano uguali e che  , essa risulta essere massima per stati localizzati situati in corrispondenza del livello di Fermi intrinseco.

 

5) Tempo di vita dei portatori in eccesso :

Si tratta del tempo che intercorre prima che i portatori in eccesso che sono stati inettati vengano riassorbiti, per la sua determinazione si utilizza la funzione U applicata appunto ai portatori in eccesso n´ nel caso di Low_Level Injection ossia nel caso in cui le densità dei portatori non sono molto alterate dal disturbo rispetto al loro valore all´equilibrio, si ha cioè n´ = n – n₀   e    p´ = p – p₀  naturalmente poi   n´ = p´ . Il tasso di ricombinazione è  sostituendo i dati precedenti e risolvendo l´equazione differenziale si ottiene  dove   t_n @t₀   e quindi  .

Si osservi che il tempo di vita dei portatori in eccesso t_n non dipende dalla concentrazione dei portatori maggioritari..

 

6) Ricombinazione Standard :

È un processo a due corpi, un elettrone ed una lacuna si annichilano reciprocamente.

 

7) Ricombinazione Auger :

È un processo a 3 corpi, un elettrone ed una lacuna si annichilano ed un terzo elettrone o lacuna acquisisce il momento e l´energia dei portatori che urtano.

 

8) Densità di portatori minoritari al bordo della regione di svuotamento :

Vogliamo determinare la densità di portatori minoritari in eccesso alle estremità della regione di svuotamento quindi siamo interessati alla concentrazione di elettroni in eccesso in -x_p cioè n´_p(-x_p) ed alla concentrazione di lacune in eccesso in x_n cioè p´_n(x_n) , esse si esprimono come differenza tra il valore eccitato ed il valore all´equilibrio, e possono essere ricavate agevolmente in quanto è nota la concentrazione alla altro estremo della giunzione (…pari alla concentrazione delle impurezze in vrtù della approssimazione di quasi neutralità) e la differenza di potenziale pari al potenziale di Built-In.

, analogamente si ottiene per p´_n(-x_n) , le due relazioni mostrano come le concentrazioni dei portatori minoritari siano soggette alla polarizzazione mentre le concentrazioni dei portatori maggioritari ne sono svincolate.

 

9) Analisi del diodo ideale :

L´andamento delle lacune in eccesso all´interno del bulk della n_doped si può ricavare mediante l´equazione di continuità  dove per semplicità d´analisi si considera lo stato stazionario, la concentrazione dei donori è costante ed il campo elettrico è nullo, inoltre la funzione U si riduce per le ipotesi precedenti alla quantità  , l´equazione si riduce a  che ha la soluzione   dove A e B si ottengono dalle condizioni al contorno mentre .

 

10) Diodo a base lunga :

Si tratta di un diodo per il quale la lunghezza di diffusione L_p è piccola rispetto alla lunghezza W_B della n_doped ne segue che tutte si ricombinano prima di giungere in W_B e pertanto il coefficiente B della componente riflessa è nullo quindi la andamento delle lacune in eccesso all´interno del bulk è   inoltre dato che il campo elettrico nel bulk è nullo, la corrente è dovuta esclusivamente alla diffusione , si tratta ancora di un esponenziale che evidenzia come vicino alla regione di Depletion la corrente è tutta dovuta alle lacune mentre allontanandosi verso il contatto metallico si ha che la corrente di lacune diminuisce ed aumenta invece la corrente degli elettroni. In maniera analoga si trova  e sommando si ha .

 

11) Diodo a base corta :

Si tratta di un diodo nel quale la lunghezza di diffusione L_p è molto maggiore della ampiezza W_B della n_doped , pertanto nella    il primo esponenziale vale 1, risolvendo si trova  che mostra una descrescita di tipo lineare della densità di lacune in eccesso nell´n_doped cui derivando corrisponde una corrente di lacune costante che non richiede affatto quindi una corrente di elettroni maggioritari.

 

12) Correnti nella regione di carica spaziale :

Nella regione di carica spaziale sono presenti centri di ricombinazione/generazione, pertanto occorre valutare le correnti ad essi dovute, mediante la funzione          

Polarizzazione diretta          si ha   U>0 quindi netta ricombinazione, la corrente totale di ricombinazione J_r si ottiene integrando lungo la regione di carica spaziale   , si tratta di un integrale che si risolve per via numerica oppure per semplicità si considera il massimo di U e lo si integra su un infinitesimo di regione di carica spaziale, si ottiene  che rapportata alla corrente totale J_t fornisce  che mostra come J_r diviene trascurabile al crescere della polarizzazione diretta applicata.

Polarizzazione inversa        si ha   U<0 quindi netta generazione, la corrente totale di generazione J_g è in via approssimata  che rapportata alla corrente totale J_t fornisce  che mostra come nei diodi polarizzati inversamente la corrente di generazione sia dovuta prevalentemente alla regione di carica spaziale.

 

13) Correnti nel diodo reale :

Nei diodi reali oltre alla corrente prevista nel caso di diodo ideale si hanno anche le correnti che derivano da generazione e ricombinazione nella regione di carica spaziale, esse risultano essere rilevanti prevalentemente nel caso di polarizzazione inversa oppure polarizzazione attiva ma debole, in prossimità della giunzione si ha :

a)       portatori minoritari iniettati che diffondono verso il contatto ohmmico

b)       portatori maggioritari che driftano verso la giunzione per essere poi diffusi nella regione dove sono minoritari

c)       portatori maggioritari che driftano verso la giunzione per ricombinarsi coi portatori minoritari iniettati

d)       portatori maggioritari che driftano verso la regione di carica spaziale per ricombinarsi coi portatori provenienti dalla regione con drogaggio opposto.

In ogni caso in prossimità dei contatti ohmmici la corrente è dovuta esclusivamente ai portatori maggioritari che driftano.

 

14) Carica immagazzinata da un diodo :

La carica immagazzinata nella regione quasi-neutra si ottiene integrando su tale regione la distribuzione di carica minoritaria in eccesso, nel caso di un diodo a base lunga tale distribuzione è   che integrata fornisce     ossia molto semplicemente la carica iniettata è pari al prodotto della corrente di lacune per il tempo di vita delle stesse.

Nel caso di un diodo a base corta invece la distribuzione dei portatori in eccesso è  pertanto  da cui si ottiene    dove il secondo membro è il tempo di transito medio di una lacuna nella regione di tipo n.

 

15) Transitorio del diodo :

Applicando una polarizzazione diretta ad un diodo a base lunga inizialmente scarico, si ha che la carica è limitata dalla corrente e pertanto occorre un pò di tempo prima che il diodo si carichi e si abbia ai suoi capi V_D .

Applicando ora una polarizzazione inversa dovremmo avere che il diodo non conduce se non una piccola corrente di portatori minoritari, ma ciò non accade immediatamente in quanto occorre un pò di tempo prima che venga riassorbita la carica nella regione quasi neutra, per velocizzare questo tempo si può o ridurre la corrente diretta oppure ridurre il tempo di vita dei portatori minoritari inserendo dei centri di ricombinazione in oro.

 

16) Capacità associate ad un diodo :

Si ha una capacità C_j inerente alla carica immagazzinata nella regione di Depletion ed una capacità C_d relativa alla carica immagazzinata nella regione quasi-neutra, quest´ultima cresce esponenzialmente con la tensione diretta applicata mentre C_j assume valore predominante nel caso di polarizzazione inversa.