Processi ciclostazionari

1) Processo ciclostazionario in senso stretto :

È un processo non stazionario per il quale esiste un numero reale T₀>0, detto periodo di ciclostazionarietà, tale che la densità di probabilità congiunta verifichi la     dove con x_n'  si intende x_n al tempo t₁+T₀ .

Si ha che tutti i momenti statistici del processo ciclostazionario sono funzioni periodiche con periodo T₀ .

 

2) Processo ciclostazionario in senso lato :

È un processo non stazionario per il quale le densità di probabilità del 1° e del 2° ordine risultano periodiche nel tempo e conseguentemente anche il valor medio statistico e la funzione di autocorrelazione che pertanto possono essere sviluppati in serie di Fourier              dove  è la frequenza ciclica.

 

3) Valor medio ciclico :

 

4) Funzione di autocorrelazione ciclica :

 

5) Densità spettrale di potenza ciclica :

Considerando una singola realizzazione si ha

dove X_T(f,t₀) è la trasformata di Fourier della restrizione del processo x(t) ad una durata T intorno a t₀  mentre  è la frequenza ciclica.

 

6) Prima relazione di Wiener Khinchine generalizzata :

 

7) Processo cicloergodico in senso stretto :

È un processo per il quale tutte le medie temporali coincidono con le corrispondenti medie statistiche mediate sul periodo.

 

8) Processo cicloergodico in senso lato :

È un processo per il quale le medie temporali di1° e 2° ordine coincidono con le corrispondenti medie statistiche mediate sul periodo, in particolare si ha    e      .

 

9) Funzione di intercorrelazione ciclica :

Nel caso di due processi ciclostazionari in senso lato con lo stesso periodo T₀ , si ha 

   .

 

10) Densità spettrale di potenza incrociata ciclica :

 

11) Seconda relazione di Wiener Khinchine generalizzata :

 

12) Processi stazionari e ciclostazionari in alta frequenza :

L'autocorrelazione del processo in alta frequenza x(t) può essere espressa in termini dei processi in banda base a valor medio nullo x_p(t) in fase ed x_q(t) in quadratura, si ha

si nota quindi che indipendentemente dai processi x_p(t) ed x_q(t) il processo in alta frequenza x(t) risulta essere ciclostazionario in senso lato con periodo . La media temporale della funzione di autocorrelazione è   cui corrisponde una densità spettrale di potenza  .

Si possono avere i due seguenti casi particolari :

a)       se i processi in banda base sono stazionari allora anche x(t) è stazionario e si ha    e      

pertanto l'autocorrelazione si riduce a   e quindi la densità spettrale di potenza è .

Si osservi che per t =0  si ottiene per le densità di potenza    e per le varianze  quindi x_p ed x_q sono processi ortogonali e la loro densità di probabilità congiunta è il prodotto delle singole densità di probabilità, nel caso esse siano gaussiane si ha  ed essendo   e   si può fare un cambio di coordinate con Jacobiano J= r  che restituisce  , saturando rispetto a j si ottiene    ossia una densità di probabilità di tipo Rayleigh mentre saturando rispetto ad r si trova   ossia una densità di probabilità di tipo uniforme quindi la coppia di variabili è statisticamente indipendente. Inoltre la densità di probabilità del processo potenza istantanea  è esponenziale   .

b)       se i processi in banda base sono ciclostazionari e supponendo per semplicità x_q(t)=0 , la funzione di autocorrelazione  è   la cui autocorrelazione media è  cui corrisponde la densità spettrale di potenza    quindi allo spettro del segnale in alta frequenza corrispondono anche gli spettri ciclici del segnale in banda base.

 

13) Proprietà statistiche dell'oscillazione armonica in presenza di rumore gaussiano :

L'espressione del processo in alta frequenza in presenza di un'oscillazione armonica pura è     con       , vengono inoltre definite l'autocorrelazione    e la funzione di pseudocorrelazione    che consentono di scrivere l'autocorrelazione di x(t) nella forma   che risulta essere periodica con periodo  quindi il processo è ciclostazionario in senso lato come era prevedibile per la presenza della componente armonica.

L'autocorrelazione media è   la cui trasformata di Fourier è la densità spettrale di potenza ed evidenzia la sovrapposizione tra lo spettro dell'oscillazione armonica e lo spettro del rumore in alta frequenza. Se i processi in banda base sono gaussiani , si ha la densità di probabilità congiunta       dove       , tramite il cambio di coordinate   ,    avente Jacobiano  J = r  si giunge alla forma che, saturata rispetto a j restituisce       mentre saturata rispetto ad r dà    con   , infine la densità di probabilità del processo potenza istantanea è  .

14 ) Spettro di potenza di segnale in banda base :

Si assuma un segnale di potenza in banda base  dove a_k  è un processo discreto stazionario in senso lato con statistiche h_A , R_A , s²_A mentre q(t) è un segnale d'energia con trasformata di Fourier S_q(f) ed energia .  Il valore medio di x(t) è   ed è quindi periodico con periodo T_s come pure la funzione di autocorrelazione

da cui integrando su T_s  si ottiene l'autocorrelazione ciclica con v=0 che con un cambio di variabile si riporta alla forma    (…dove e_q(t) è l'autocorrelazione del segnale d'energia q(t)  ) che valutata per t=0 e sostituendo  fornisce la potenza   mentre la densità spettrale di potenza si ottiene trasformando secondo Fourier la R_x(t) , si ottiene   ossia uno spettro a righe sovrapposto ad uno spettro distribuito.

Si osservi che se il processo {a_k}è bianco oppure se q(t) è a repliche ortogonali, la potenza del processo ciclostazionario x(t) è pari al rapporto tra l'energia della forma d'onda deterministica ed il periodo T_s cioè .

 

15) Segnale in banda base generalizzato :

La forma più generale di segnale in banda base x(t) si ottiene come combinazione di M forme d'energia x_j ciascuna estratta con probabilità a priori P_i e con cadenza T_s , si ha cioè  , su di esso viene definito il simbolo medio   che nel caso i segnali vengano rappresentati nello spazio dei segnali coincide con il baricentro della costellazione dei simboli. Lo spettro che ne risulta è dato dalla sovrapposizione di uno spettro continuo e di uno spettro distribuito, quest'ultimo può essere interpretato come spettro di potenza della forma d'onda periodica   che coincide con il valore atteso di x(t) ossia   e che essendo periodica può essere scomposta in serie di Fourier   dove S_a(f) è la trasformata di Fourier del simbolo medio   il cui modulo quadro restituisce la densità spettrale di potenza a righe   e quindi si nota che lo spettro del segnale periodico è discreto e possiede righe multiple intere della frequenza di simbolo.

 

 

16) Rappresentazione geometrica dei processi aleatori

Un processo aleatorio x(t) a valor medio nullo può essere rappresentato in un intervallo finito  tramite lo sviluppo in serie   dove y_k(t) è un insieme di n funzioni ortonormali nell'intervallo  mentre {c_k} è un processo aleatorio discreto a valor medio nulo, se quest'ultimo presenta correlazione  lo sviluppo è detto in serie di Karhunen-Loeve.

Col fine di trovare un'equazione che consenta di determinare le y_k(t) si calcola l'intercorrelazione tra i processi x(t) e c_k , si ha    del resto per i coefficienti c_k si può scrivere la relazione , sostituendola nel calcolo dell'intercorrelazione si ha  uguagliando le due espressioni trovate si ottiene un sistema di equazioni alle autofunzioni     cui debbono soddisfare le autofunzioni di base y_k(t) .

L'uguaglianza   è un'uguaglianza tra processi e deve verificare la convergenza in media quadratica   tuttavia nel caso dello sviluppo KL si ha   che si dimostra essere condizione necessaria e sufficiente affinchè sia rispettata la convergenza in media quadratica. Tramite le sostituzioni

  ,     ,    ,    , 

il sistema di equazioni viene normalizzato ossia ricondotto all'intervallo [-1 , 1 ] , si ha :

      dove le c_k    sono funzioni ortogonali nell'intervallo [-1,1].

Si fanno i due seguenti esempi di applicazione :

a)       Rappresentazione di rumore bianco in un intervallo finito

La funzione di autocorrelazione di x(t) è    con    essendo N_x la densità spettrale del processo bilatero, sostituendo si ottiene il sistema di equazioni    che ha come soluzione delle funzioni dette sferoidali schiacciate.

b)       Rappresentazione di rumore bianco di durata infinita

La funzione di autocorrelazione di x(t) è    con    essendo N_x la densità spettrale del processo bilatero, però in questo caso si fa tendere ad infinito l'intervallo di integrazione, sostituendo nella    e sfruttando la relazione   si ottiene q_k = N_x e quindi il processo {c_k} risulta stazionario in senso lato, si trova inoltre che è verificata la relazione   e quindi si ha la convergenza in media quadratica.