Proprietà dei metalli

1) Modello di Drude :

Gli atomi del metallo sono tutti monovalenti, hanno quindi un solo elettrone sullo strato più esterno, esso è debolmente attratto dal nucleo pertanto già a temperatura ambiente si allontana dalla atomo di origine, ciò avviene per tutti gli atomi e si viene quindi a creare una nuvola di elettroni la quale agevola sia le conduzioni termiche che elettriche e funge da collante per il reticolo cristallino. Il modello è in grado di spiegare la linearità della legge di Ohm in quanto sostiene che l´elettrone accelerato da un campo elettrico esterno viene continuamente ad urtare contro gli ioni del reticolo e pertando si muove con una velocità di deriva v_d . Con questo modello si trova per la conducibilità elettrica  .

 

2) Legge di Wiedemann - Franz :

Si ha    infatti  dove si è sostituito  essendo  l´energia classicamente associata ad ogni fonone mentre v si ottiene dall´uguaglianza tra l´energia termica e l´energia cinetica .

Si osserva che vi è linearità nei confronti della temperatura e che essa è valida per un qualsiasi materiale in quanto ne è indipendente il numero di Lorenz  . Si tratta di una legge che viene sviluppata in termini di tempi di rilassamento e che è riscontrata sperimentalmente e quindi supporta il modello di Drude.

 

3) Problematiche non spiegabili con il modello di Drude :

a)       La capacità termica sperimentale dei metalli in base al modello di Drude dovrebbe essere superiore del 50% alla capacità termica degli isolanti infatti nei metalli oltre al contributo fononico 3R si ha anche il contributo elettronico  . Ciò mette in crisi il modello di Drude infatti per un isolante si aveva  mentre per i metalli si rileva sperimentalmente   quindi sostanzialmente identiche tranne che a basse temperature dove si ha un andamento lineare e non cubico.

b)       L´effetto Hall dal quale si desume che i portatori di carica non necessariamente sono elettroni.

 

4) Effetto Hall :

Si applica un campo E_x ad un conduttore percorso da corrente, immerso in un campo di induzione magnetica B diretto lungo z, le cariche in movimento sono soggette alla forza di Lorentz  che le spinge verso una parete laterale del conduttore, questa separazione delle cariche dà luogo ad un campo elettrico che lavora in senso opposto, a regime si ottiene pertanto un bilanciamento tra i due effetti     dal quale si ottiene la costante di Hall  .

 

5) Modello del gas di Fermi di elettroni liberi :

Il metallo è visto come una scatola vuota (priva di reticolo) all´interno della quale ci sono i fermioni che non hanno alcuna interazione tra di loro, questo è il motivo per il quale si parla di gas. Per detto gas si applica l´equazione di Schroedinger considerando nell´Hamitoniana la sola energia cinetica   pertanto la curva di e in funzione di k è una parabola. Nel caso unidimensionale si ha    , se ne cercano soluzioni nella forma di esponenziali complessi   imponendo poi che y(x) assuma valori uguali alle due estremità, in accordo con le condizioni di Karmann si ha la quantizzazione dei k, infatti sono validi solo i k tali che . Inoltre trattandosi di fermioni vi possono essere due di essi con lo stesso k purchè abbiano spin opposti.

 

6) Considerazioni sull´impulso della elettrone libero :

La teoria di schroedinger assegna all´impulso l´operatore  , esso deve verificare la relazione  con  si ottiene .

 

7) Energia di Fermi :

Si tratta della energia corrispondente al vettore k della ultimo elettrone inserito. Per ricavarla si osserva che l´energia nel caso di gas di Fermi è  ed inoltre il valore di k si ottiene imponendo che all´inizio ed alla fine della catena la funzione assuma lo stesso valore e così come per le condizioni di Karmann si trova  ma per la simmetria della parabola si ha che su ogni livello quantico n si dispongono 4 degli n elettroni quindi  e del resto L=Na dove L è la lunghezza della catena lineare ed a la separazione tra un atomo ed il successivo pertanto si ha   da cui si ottiene   .

 

8) Funzione di distribuzione di Fermi Dirac :

Essa vale   dove m è il potenziale chimico che è uguale all´energia di Fermi soltanto a 0K .

 

9) Come calcolare il potenziale chimico :

Se noti N e D(e) basta imporre .

 

10) Punto di Fermi :

È un punto della asse dei k che separa gli stati pieni dagli stati vuoti, in maniera netta alla temperatura 0K ed in maniera via via meno definita con la aumentare della temperatura.

11) Densità di stati D(e) nel caso unidimensionale :

Individua il numero di stati elettronici per intervallo unitario di energia. Si calcola osservando che ad ogni numero quantico n ci sono 4 stati di energia disponibili ( per la simmetria della parabola ed il principio di esclusione di Pauli) quindi   ma essendo   quindi   dove nell´ultima si è sostituito   . In definitiva dunque il grafico di D(e) in funzione di e è un esponenziale decrescente, il quale moltiplicato per la funzione di distribuzione di fermi-Dirac ci dice che sotto l´esponenziale gli stati sono occupati solo per e < e_F .

 

12) Circonferenza di Fermi :

È una circonferenza del piano dei k che separa gli stati pieni dagli stati vuoti, in maniera netta alla temperatura 0K ed in maniera via via meno definita con la aumentare della temperatura.

13) Sfera di Fermi e densità di stati D(e) nel caso tridimensionale :

È una sfera nello spazio dei k che separa gli stati pieni dagli stati vuoti, in maniera netta alla temperatura 0K ed in maniera via via meno definita con la aumentare della temperatura. Ragionando come nel caso unidimensionale si trova   , si tratta di una radice al di sotto della quale per e < e_F ci sono gli stati occupati.

 

14) Spiegazione in termini di gas di Fermi della uguaglianza tra la capacità termica degli isolanti e dei metalli :

In sostanza il dilemma è che non si capisce come, essendoci tanti elettroni, essi non contribuiscano ad immagazzinare energia, la spiegazione di ciò in termine del gas di Fermi è che gli elettroni sono ben stipati e regolati dal principio di Pauli quindi quelli ad energia minore non possono scambiare energia perché non hanno a disposizione stati liberi sui quali dislocarsi con la poca energia che gli viene fornita per via termica. La percentuale di elettroni che possono acquisire l´energia KT è  quindi il numero di elettroni che possono acquisire energia sono   e l´energia totale è pertanto    e da essa si ricava la capacità termica   si tratta di un valore inferiore solo di un centesimo rispetto alla capacità termica dovuta ai fononi in quanto T_F @ 10⁴K .

Siamo quindi in grado di interpretare la andamento sperimentale della capacità termica dei metalli  affermando che a basse temperature prevale la andamento lineare dovuto agli elettroni mentre ad alte temperature prevale la andamento cubico dovuto ai fononi.

 

15) Spiegazione in termini di gas di Fermi della conduttività elettrica :

La 1ª legge di Ohm in forma locale è , per ricavare v_d applichiamo un campo elettrico E, la forza che agisce sull´elettrone è  e per la 2ª legge della dinamica   da cui si vede che  è costante e quindi c´è un moto rettilineo uniforme nello spazio dei k, la presenza delle imperfezioni è in grado di mantenere la sfera traslata ferma dopo essersi spostata nel tempo dt della quantità   , si ha     allora   da cui    e quindi la conducibilità elettrica è .