Amplificatori operazionali

1)       Amplificatore differenziale :

È un circuito che fornisce in uscita un segnale proporzionale ai due segnali d´ingresso   dove A₁ è la amplificazione riferita alla porta 1 non invertente quando la porta 2 è in corto circuito. Se A₁=A₂=A_d si ha che   mentre se A₁ ¹ A₂ posso scrivere il generatore V₁ come somma di due generatori   ed ugualmente per il generatore V₂ si ha  e quindi applicando la sovrapposizione degli effetti si ha che V_u è somma della V_u derivante dalla applicazione al circuito di una alimentazione pari e della V_u derivante dalla applicazione al circuito di un0´alimentazione dispari, ossia  con     e      naturalmente per un amplificatore differenziale ideale si ha A_s infinitesimo rispetto ad A_d e viene pertanto definito il  il quale determina la qualità della amplificatore differenziale, tanto più buono quanto h®¥ .

 

2) Amplificatore differenziale con accoppiamento d´emettitore :

Si realizza mediante due npn aventi in comune l´emettitore che tramite una resistenza R_e è connesso ad una batteria diversa da quella cui sono connesse entrambe le resistenze di collettore, in tal modo si aumenta la dinamica.

Sulle basi dei transistori si applicano i due segnali d´ingresso e si nota che uno dei due non viene invertito mentre la altro viene sfasato di 180°. Si possono avere 3 differenti uscite :

a)       uscita sbilanciata tra il collettore di Q₁ e massa

b)       uscita sbilanciata tra il collettore di Q₂ e massa

c)       uscita bilanciata tra il collettore di Q₁ e il collettore di Q₂

Il guadagno di modo comune A_s può essere calcolato tramite Bartlett considerando il semicircuito con la resistenza d´emettitore 2R_e , si ottiene   mentre per il calcolo di A_d il circuito da considerare ha un corto circuito sull´emettitore ed il generatore vale  , si ottiene . Dividendo i due valori trovati si trova che   e quindi è tanto più elevato quanto più grande è R_e .

 

3) Amplificatore differenziale con generatore di corrente costante :

Questa configurazione è stata sviluppata in quanto per avvicinarsi alla condizione di amplificatore differenziale ideale occorre avere una R_e molto alta, ma questo sulle caratteristiche d´uscita equivale a diminuire la pendenza della retta di carico, e quindi ad abbassare il punto di lavoro, riducendo in tal modo la dinamica, per ovviare a questo problema si potrebbe aumentare il valore della batteria ma ciò potrebbe danneggiare la giunzione base emettitore se la polarizzazione inversa è troppo intensa. Il problema viene risolto sostituendo R_e con un generatore di corrente costante costituito da un npn avente il collettore connesso agli emettitori di Q₁ e Q₂ e l´emettitore connesso tramite R₃ a  -V_EE  la quale va ad alimentare anche il partitore di tensione di base R_{1 ,} R₂ con R₂ avente in serie un diodo, si ottiene per la corrente I₀ che scorre nel collettore il valore   che si semplifica nella    se mettendo in serie due diodi si riesce a verificare  .

 

4) Caratteristica di trasferimento della amplificatore differenziale :

Essa esprime il valore di I_C1 e di I_C2 in funzione della differenza di potenziale presente ai morsetti d´ingresso, essendo     e        , si ha   derivandola rispetto a   v_B1 – v_B2  si ottiene la transconduttanza che nel caso I_C1 = I_C2  vale   dipendente quindi da I₀ pertanto la amplificatore differenziale può essere utilizzato come circuito AGC . Si osserva inoltre che la regione lineare nella quale si ha che la corrente d´uscita è proporzionale alla differenza delle tensioni d´ingresso è limitata alla regione in cui tale differenza è minore di 50mv pertanto tale circuito può essere utilizzato anche come limitatore.

 

5) Caratteristiche amplificatore operazionale :

a)       Guadagno di tensione infinito

b)       Impedenza d'ingresso infinita

c)       Impedenza d'uscita nulla

d)       Rapporto di reiezione comune infinito

e)       Banda infinita

Si osservi che nel comportamento lineare se A_v® ¥ impone che per avere una uscita finita deve essere v_in = v₊ - v_- = 0 mentre essendo R_i = ¥ deve essere I = 0 quindi operativamente è I = 0 , V = 0 ossia massa virtuale.

 

6) Amplificatore invertente :

Il morsetto non invertente si trova a massa mentre il segnale v₁ è applicato al morsetto invertente tramite Z₁ ed infine Z₂ realizza la controreazione negativa. Per la analisi è sufficiente osservare che se il morsetto non invertente è a massa, lo è anche il morsetto invertente e quindi   e     inoltre I_-=0 quindi I₁=I₂ si giunge pertanto alla relazione   che nel caso Z₁ =Z₂ realizza un invertitore ma non si potrà mai avere uno stadio buffer in quanto l´impedenza d'ingresso non è infinita visto che si applica l'ingresso tramite l´impedenza Z₁ .

 

7) Sommatore :

Il morsetto non invertente si trova a massa mentre i segnali provenienti da n generatori sono applicati al morsetto invertente tramite n impedenze, vi è poi un´impedenza che realizza la retroazione negativa. Con le stesse osservazioni fatte per la amplificatore invertente si ottiene che il segnale d´uscita è la somma pesata dei segnali d´ingresso.

 

8) Amplificatore non invertente :

Il segnale V₁ è applicato sul morsetto non invertente mentre il morsetto invertente è connesso a massa tramite Z₁ ed all´uscita tramite l´impedenza di reazione Z₂. In virtù della struttura differenziale si deve avere v_i = v₊= v₁ e quindi individuando nelle due impedenze un partitore di tensione si ha  da cui  e quindi si può realizzare uno stadio buffer o inseguitore di tensione sia sostituendo Z₂ con un corto circuito che sostituendo Z₁ con un circuito aperto.

 

9) Amplificatore differenziale :

Il segnale V₁ viene applicato al morsetto invertente tramite R₁ mentre la resistenza R₂ realizza la retroazione negativa, al morsetto non invertente viene invece applicato il segnale V₂ tramite il partitore di tensione R₃ , R₄ . Tramite la sovrapposizione degli effetti si calcola l´espressione della V₊ e della V_- e si uguagliano ottenendo per la tensione d´uscita l´espressione   ponendo  e raggruppando R₂ si giunge alla condizione  , se essa è verificata si ha  tuttavia per realizzare bene la differenza occorre porre un buffer su ognuno dei due ingressi, in tal modo infatti ci si svincola dal fatto che le resistenze d'ingresso dei due canali sono diverse.

Il  CMRR  si valuta sommando e togliendo la quantità  al 2° membro della  ed osservando che se V₁»V₂  si ha   , si ottiene quindi il valore di A_s e da esso il  che tende ad infinito se i rapporti di resistenze sono molto precisi.

 

10) Integratore :

Si pone un condensatore nella retroazione di un operazionale in configurazione invertente, il che determina   che è la funzione di trasferimento di un integratore in quanto dividere per jw nel dominio di Fourier equivale ad integrare nel dominio del tempo. Il circuito presenta problemi alle basse frequenze in quanto il condensatore diviene un circuito aperto e quindi la amplificatore non è più retroazionato e si comporta come un circuito aperto, nella pratica si mette una resistenza in parallelo alla capacità imponendo quindi una frequenza di taglio superiore.

Si osservi che il circuito si comporta come un passa basso ed integra nel tratto a pendenza –20dB / decade.

 

11) Derivatore :

Si ha un operazionale in configurazione invertente con una capacità al posto della Z₁ il che determina   che è la funzione di trasferimento di un derivatore in quanto moltiplicare per jw nel dominio di Fourier equivale a derivare nel dominio del tempo. Il circuito presenta problemi alle alte frequenze in quanto il condensatore alle alte frequenze diviene un corto circuito e quindi si ha sul morsetto invertente la tensione v_in e sul morsetto non invertente la massa mentre per definizione i due morsetti debbono trovarsi allo stesso potenziale, nella pratica si mette una resistenza in serie alla capacità imponendo quindi una frequenza di taglio inferiore.

Si osservi che il circuito si comporta come un passa alto e deriva nel tratto a pendenza +20dB / decade.

 

12) Realizzazione di un generatore di tensione di riferimento :

Le tensioni di riferimento realizzate con batterie o zener sono in genere funzione della corrente erogata, per risolvere tale problema si utilizza un amplificatore non invertente avente sul morsetto + la batteria oppure la tensione di zener che si può ottenere utilizzando la alimentazione della operazionale, la tensione d´uscita è pertanto  si possono quindi ottenere tensioni di riferimento maggiori di V_Z mentre per ottenere tensioni inferiori occorre inserire un partitore di tensione a valle dello zener. Lo schema precedente ha il difetto che la alimentazione della operazionale può essere affetta da ripple allora conviene alimentare lo zener direttamente con la tensione d´uscita, in particolare esso viene inserito al posto della resistenza di retroazione negativa, il circuito è completato da un trimmer posto tra il morsetto d´uscita della operazionale e massa ed avente il contatto mobile collegato al morsetto positivo. L´uguaglianza delle tensioni ai morsetti d´ingresso è  da cui si ottiene   quindi agendo sul trimmer si possono ottenere in uscita qualsiasi tensione maggiore di V_Z compatibilmente con la alimentazione.

 

13) Alimentatore stabilizzato :

È un circuito che fornisce in uscita sempre la stessa tensione indipendentemente dal valore del carico cui è connesso, tale funzione può richiedere anche alte correnti che per motivi di dissipazione non possono essere fornite da un circuito integrato come l´operazionale che pure ben si presterebbe in virtù della bassa resistenza d´uscita. Si utilizza pertanto un inseguitore d´emettitore in quanto il guadagno in tensione è unitario ma il guadagno in corrente è circa 100, la sua tensione d´uscita è sia inviata tramite un partitore R₁ , R₂ al morsetto invertente di un operazionale che utilizzata per alimentare uno zener connesso al morsetto non invertente dello stesso. Uguagliando le tensioni ai morsetti d´ingresso della operazionale si ottiene  e quindi si può ottenere una tensione stabilizzata d´uscita V_u maggiore della tensione di zener. Il circuito è completato ponendo delle resistenze di protezione sulla base e sul collettore del transistor ed un condensatore che in sostanza configura l´operazionale come un integratore ed evita che variazioni repentine ma ininfluenti della tensione d'uscita determinino l´instabilità del circuito, si osservi poi che la alimentazione della operazionale viene prelevata all´ingresso della alimentatore stabilizzato.

 

Circuiti non lineari con amplificatori operazionali

14) Limitatore ad un livello :

Si realizza con un amplificatore invertente avente un diodo in parallelo alla resistenza di reazione, in tal modo quando il diodo è bloccato (V₂ > - V_g) si ha un normale operazionale invertente mentre quando il diodo conduce (V₂ < - V_g) occorre considerare la sua resistenza diretta molto bassa in parallelo alla resistenza di controreazione e quindi si ha in uscita una tensione molto bassa. Al fine di limitare ad una tensione diversa da v_g posso inserire uno zener in contropunta con il diodo che rispetto al caso precedente è stato invertito, si ha che sin quando V₂ < V_Z+V_g2   il diodo è interdetto e quindi   , quando invece passa in conduzione si avrà V₂ = V_Z+V_g2   costante.

 

15) Limitatore a due livelli :

Si realizza con un operazionale in configurazione invertente con due diodi zener in contropunta posti in parallelo alla resistenza di retroazione, in tal modo alternativamente uno dei due zener si comporta da diodo in conduzione e l'altro da zener, uno per le tensioni negative e l'altro per le tensioni positive in quanto il morsetto positivo è a massa e conseguentemente anche il morsetto negativo, quando invece è   si ha    in quanto uno dei due diodi si comporta come una resistenza elevatissima e quindi apre quel ramo del circuito.

 

16) Limitatore di precisione :

Lo schema è lo stesso del limitatore ad un livello ma viene aggiunto un diodo (…con la anodo verso l´uscita) in serie alla resistenza di retroazione e l´uscita V₃ viene presa tra questi due componenti, si ha che se V₁ < 0  allora V₂ > 0  quindi il diodo D₂ conduce e si ha  , se invece V₁ > 0 si ha V₂ < 0  quindi D₂ è interdetto e D₁ conduce , in sostanza l´uscita è 0 in quanto viene prelevata tramite la resistenza R da una massa virtuale.

 

17) Raddrizzatore a doppia semionda :

Il segnale V₁ va ad un sommatore a due ingressi sia direttamente che passando attraverso un limitatore di precisione la cui uscita è   se V_i < 0   oppure  V₃ = 0   se V_i>0  , le resistenze del circuito hanno tutte il valore R tranne quella in serie al diodo del limitatore di precisione che vale  in tal modo si ottiene che l´uscita del sommatore vale

V_i se V_i < 0 oppure –V_i  se  V_i > 0 .

 

18) Convertitore AC-DC :

Si ha un raddrizzatore a doppia semionda con in serie all´ingresso due elettrolitici con polarità opposte in quanto l´elettrolitico se non ha un capo a massa tratta differentemente semionde positive e semionde negative, in questo modo almeno uno dei due lavora correttamente e gli errori introdotti sono uguali nei due versi, essi hanno il compito di tagliare via la continua sovrapposta alla sinusoide che si intende raddrizzare. Nel sommatore facente parte del raddrizzatore si ha un condensatore elettrolitico in parallelo alla resistenza di reazione, in tal modo viene realizzato un filtro passa-basso la cui frequenza di taglio è impostata tramite un trimmer in modo da soddisfare la specifica sul ripple inoltre trattandosi di un convertitore adatto per misure di precisione occorre che l´uscita degli operazionali sia 0 quando l´ingresso è 0 , a tal fine per compensare l´offset si mette una resistenza tra il morsetto non invertente di ogni operazionale e la massa.

 

19) Amplificatore logaritmico :

Si ha un operazionale in configurazione invertente con un diodo polarizzato direttamente al posto della resistenza di retroazione, per esso si ha   da cui applicando il logaritmo ad entrambe i termini si ottiene   sostituendo in essa V₂ = -V    si ha   . Il difetto di questa configurazione è che si comporta come amplificatore logaritmico solo su 3 decadi in quanto si ha una caduta di tensione nel corpo del diodo e la tensione applicata ai morsetti non è la stessa che si ha ai capi della giunzione, tuttavia si può arrivare sino a 7 decadi inserendo un transistore con la base a massa al posto del diodo nel qual caso applicando le equazioni di Ebers-Moll ed in particolare sostituendo la  nella   ed osservando che V_CB @ 0    e   V_EB = V₂    , si ottiene .

 

20) Amplificatore antilogaritmico :

Si ha un operazionale in configurazione invertente con un diodo polarizzato direttamente al posto della R₁, per esso si ha   pertanto     e quindi la tensione d´uscita è proporzionale all´esponenziale della tensione d´ingresso. Il problema di questa configurazione è che ha una resistenza d´ingresso molto bassa pertanto necessita di un buffer.

 

21) Realizzazione di un moltiplicatore analogico :

Si tratta di un circuito che sfrutta le proprietà del logaritmo secondo le quali la somma dei logaritmi è pari al logaritmo del prodotto pertanto prese due grandezze d'ingresso, se ne fa il logaritmo, si sommano ed infine si fa l'antilogaritmo ottenendo il prodotto delle grandezze di partenza.

Inoltre moltiplicando il logaritmo per una costante si può anche realizzare l'operazione di elevazione a potenza mentre cambiando di segno al logaritmo tramite un invertitore si può realizzare l'operazione di divisione.

 

22) Comparatore :

È un dispositivo con un ingresso per il segnale ed un ingresso per la tensione di riferimento, si ha che l'uscita è allo stato alto quando la tensione d'ingresso v_i è inferiore alla tensione di riferimento v_r mentre l'uscita è bassa quando la tensione d'ingresso v_i è superiore alla tensione di riferimento v_r .

 

23) Operazionale utilizzato come comparatore :

Sui due ingressi di un sommatore invertente si ha la tensione di riferimento V ed il segnale d´ingresso V₂ mentre al posto della resistenza di retroazione si ha un diodo zener supposto ideale il quale essendo il morsetto positivo della operazionale a massa (…e quindi anche quello negativo) impone all´uscita il valore V_Z o -V_g a seconda della corrente che lo percorre  , ricordando la caratteristica dello zener si ha che lo scatto avviene per i=0 da cui si ottiene che la tensione di riferimento è ., in accordo con la definizione di comparatore se V₁ > V_R l´uscita è bassa (V_g) altrimenti è alta (V_Z) .

 

24) Comparatore con isteresi :

È un dispositivo che consente di far si che l´uscita del comparatore commuti da alta a bassa per una tensione di riferimento V_RH e commuti da basso ad alto per una tensione di riferimento V_RL ¹ V_RH . Il circuito è realizzato con un operazionale in cui l´ingresso v_i è applicato al morsetto negativo mentre una tensione V viene applicata al morsetto + tramite una resistenza R₁ , infine la resistenza R₂ provvede alla controreazione positiva quindi l´uscita può assumere solo i valori alto V_2H e basso V_2L . La tensione di riferimento è quella al morsetto positivo, il suo valore si calcola con la sovrapposizione degli effetti e cambia a seconda dello stato della uscita infatti se l´uscita è alta V_2H si ha   mentre se l´uscita è bassa V_2L si ha . Un´analisi semplificata del circuito si effettua ponendo V=0 , si determina quindi il ciclo d´isteresi caratterizzato da un´ampiezza    (…che si può variare agendo sulle resistenze e sulle tensioni V_2H e V_2L ) e dal valor medio   che consente di traslare il ciclo d´isteresi semplicemente agendo su V. Si osservi che le tensioni V_2H e V_2L  sono le tensioni di saturazione e possono essere fissate ai valori V_Z e V_g ponendo uno zener tra l´uscita ed il morsetto invertente dal quale si diparte una resistenza verso massa.

 

25) Rivelatore di picco :

Ha lo scopo di memorizzare solo il valore massimo della forma d'onda in ingresso, si hanno 4 possibili evoluzioni :

a)       un diodo ideale con un condensatore sul carico, quando la tensione sul condensatore è maggiore della tensione d'ingresso, il diodo è bloccato e quindi il condensatore continua a memorizzare la tensione massima che aveva, se il segnale d'ingresso supera quest'ultima, il diodo conduce e il condensatore si carica al nuovo valore.

b)       il problema della configurazione precedente è che il condensatore può scaricarsi sia sul carico che sul diodo il quale se bloccato presenta una resistenza alta ma non infinita, inoltre si deve considerare anche la caduta di potenziale ai  capi del diodo quando conduce. Per risolvere questi problemi si pone il gruppo diodo-condensatore in uscita da un operazionale avente sul morsetto negativo la V_out prelevata ai capi del condensatore mentre il segnale d´ingresso V_i viene applicato sul morsetto positivo, se esso è superiore alla tensione v₀ in uscita il diodo conduce e l'operazionale si comporta come un inseguitore, ed il condensatore si carica mentre se v_i < v₀ in uscita dall'operazionale si ha una tensione negativa , il diodo si interdice ed il condensatore rimane carico al massimo valore precedente.

c)       il problema della configurazione precedente è che se il diodo si apre, si apre anche l'anello di retroazione e quindi l'operazionale non retroazionato tende a saturare, inoltre il condensatore può ancora scaricarsi su di un eventuale carico, per evitare ciò viene caricato da un operazionale in configurazione a inseguitore di tensione mentre il gruppo diodo-condensatore viene portato fuori dalla retroazione del comparatore d´ingresso e la stessa viene invece effettuata tramite un diodo che conduce quando la altro è aperto in tal modo l´operazionale non va in saturazione bensì segue sempre la V_in . Il segnale d´uscita viene inoltre riportato in ingresso tramite una resistenza R_C per consentire al 1° operazionale comparatore di comportarsi come un inseguitore durante la fase di carica.

 

26) Sample-Hold :

Il circuito è essenzialmente costituito da un FET che lascia passare il segnale d´ingresso solo quando un segnale di campionamento lo porta in conduzione consentendo quindi la carica del condensatore posto a valle, quando il FET si interdice invece il condensatore mantiene memorizzato l´ultimo valore e per evitare che si scarichi in questa fase è chiuso sulla resistenza d´ingresso di un inseguitore di tensione. Analogamente per evitare che durante la fase di sampling il circuito carichi lo stadio precedente viene inserito anche in ingresso un inseguitore di tensione . Il dimensionamento del condensatore deve soddisfare due opposte necessità infatti durante la fase di holding esso dovrebbe essere molto grande mentre durante la fase di sampling dovrebbe essere molto piccolo in modo da caricarsi istantaneamente al valore della tensione d´ingresso oppure dovrebbe essere chiuso su una resistenza molto bassa inoltre si ha il problema che se l´intervallo di campionamento è molto breve, essendo  vengono richieste delle correnti che l´operazionale non è in grado di fornire. Parte dei problemi precedenti vengono risolti inserendo uno stadio a simmetria complementare a valle del FET con una resistenza di polarizzazione posta tra la base e l´emettitore, si ha che nella fase di carica lavora l´npn mentre nella fase di scarica lavora il pnp.

 

27) Generatore di onda quadra :

Si ha un operazionale comparatore nel quale la tensione d´uscita V₀ è riportata sia al morsetto + tramite un partitore R₂ , R₃ che tramite una rete R´ al morsetto – collegato a massa tramite un condensatore. Trattandosi di un comparatore, in uscita si possono avere soltanto le tensioni V_0H e V_0L  il che implica che al morsetto + le tensioni di riferimento sono   e    .  Supponiamo che in uscita vi sia V_0H allora il condensatore inizia a caricarsi sinché giunto al valore V_RH l´uscita del comparatore diviene V_0L e quindi il condensatore comincia a scaricarsi sin quando raggiunto il valore V_RL commuta ancora e così via dando luogo ad un´onda rettangolare la cui larghezza di

T₁ = T_H si ottiene imponendo mentre la larghezza di T₂ = T_L si ottiene imponendo , si osserva che se !V_0H| = |V_0L| si ha  quindi agendo su R´ si ha una variazione grossolana del periodo mentre agendo sul rapporto R₃/R₂ se ne ha una variazione fine. Affinché la condizione sia ben rispettata si pone una coppia di zener in contropunta in uscita dall´operazionale separati però dalla stessa tramite una resistenza.

 

28) Generatore d'impulsi :

È costituito da un generatore di onda quadra con un diodo in parallelo al condensatore posto sul morsetto invertente.

Supponiamo che in uscita vi sia la tensione negativa V_OL , essa polarizza direttamente il diodo quindi al morsetto – si ha la tensione -V_g mentre al morsetto + si ha la tensione  quindi se  si ha che V_- > V₊ quindi in uscita si ha V_OL che risulta essere lo stato stabile. Si ottiene il comportamento monostabile inviando un´onda quadra in ingresso ad un derivatore dal quale esce un picco positivo ed un picco negativo, quest´ultimo tagliato tramite un diodo, tale segnale applicato al morsetto + rende V₊ > V_-  e quindi l´uscita del comparatore diviene V_OH quindi il diodo si interdice ed il condensatore si carica con costante di tempo t = CR´  tendendo a V_OH ma quando raggiunge il valore V_RH il comparatore commuta l´uscita al valore V_OL e quindi il condensatore inizia a scaricarsi tendendo al valore V_OL ma giunto al valore -V_g il diodo in parallelo inizia a condurre e lo interdice. La durata della intervallo di tempo in cui V₀ = V_OH è dato dalla relazione  , si ottiene .

 

29) Generatore di rampa :

Una rampa di tensione si può ottenere molto semplicemente caricando un condensatore ì, ma la andamento lineare si ha soltanto per tempi molto più piccoli della costante di tempo infatti sostituendo lo sviluppo di Taylor della esponenziale nell´espressione della carica del condensatore  si vede che la andamento è una rampa ma lo sviluppo è valido solo se la argomento della esponenziale è infinitesimo quindi t >>t inoltre per avere dei tempi della ordine di qualche secondo si deve avere una V_CC molto grande . Naturalmente V_CC grande ed R grande conviene simularle più che implementarle realmente e per far ciò bisogna capire la fisica.

Dalla  si osserva che se I è costante allora integrando si ha V=kt ossia una rampa quindi se non si ha una rampa è perché I non è costante e questo perché il condensatore si carica allora si mette nel circuito un inseguitore che istante per istante fornisce alla maglia una tensione che annulla quella del generatore. Il circuito è costituito dal condensatore che si deve caricare avente un capo a massa mentre la altro è alimentato tramite la resistenza R dal condensatore C₀ molto grande il quale viene caricato a +V_CC tramite un diodo cassonetto. La maglia si chiude tramite un inseguitore di tensione che per come è messo dà alla maglia una tensione che si sottrae a quella ai capi del condensatore. Un impulso negativo sul gate di un FET posto in parallelo al condensatore da inizio alla carica , il diodo si interdice e C₀ inizia a cedere carica a C, la corrente che scorre nella maglia è uguale alla corrente che carica il condensatore e vale  che , sostituendo il bilancio della carica   e raccogliendo V_c(t) restituisce   con   e   le quali come voluto sono molto grandi in quanto C₀ >>C  e  A@1 , in definitiva essendo V´_CC >> v_c(t) , si ha che i_c(t)  è costante e quindi l´uscita è una rampa.