La risposta armonica nei sistemi a controreazione

1) Sistema a fase minima :

Gli zeri ed i poli della funzione di trasferimento a ciclo aperto F(s) sono tutti nel semipiano sinistro.

 

2) Sistema a stabilità regolare :

È un sistema stabile per k compreso tra 0 ed un valore limite superiore, se il guadagno cresce ulteriormente, il sistema diventa instabile.

3) Pulsazione di attraversamento w_t :

È la pulsazione per la quale il diagramma di Bode dei moduli interseca la retta orizzontale corrispondente ad un guadagno di 0 dB.

 

4) Margine di fase m_j :

Se la fase del sistema in corrispondenza alla pulsazione di attraversamento w_t è maggiore di –180° , la differenza viene detta margine di fase, un valore ideale per la stabilità è 30° £ m_j £ 60° .

 

5) w_-p :

È la pulsazione per la quale la fase del sistema attraversa la retta orizzontale j = -180°  .

 

6) Margine di guadagno m_g :

Se il guadagno del sistema in corrispondenza alla pulsazione w_-p è minore di 0 dB , la differenza viene chiamata margine di guadagno, un valore ideale per la stabilità è  3dB £ m_g £ 5dB .

 

7) Criterio di Bode :

In riferimento ad un sistema a fase minima a stabilità regolare, si ha che il sistema risulta stabile se il margine di guadagno è 3dB £ m_g £ 5dB  ed il margine di fase è  30° £ m_j £ 60°.

 

8) Effetto dell'aumento del guadagno sui diagrammi di Bode :

Il diagramma delle fasi rimane immutato mentre il diagramma dei moduli trasla verso l'alto il che implica che, nel caso di un sistema che rispetti il criterio di Bode, la pulsazione w_t si avvicina alla w_-p , quindi si riducono sia il margine di fase che il margine di guadagno ed il sistema a ciclo chiuso si avvicina al limite di stabilità.

 

9) Descrivere il diagramma di Nichols :

È una rappresentazione implicita nel piano fase-modulo del logaritmo della risposta armonica. Si ha la fase sulle ascisse che vale 0 all´estremo destro e –360° all´estremo sinistro. Sulle ordinate c´è il modulo in dB per il quale lo 0dB si trova a metà della asse. In sostanza per ogni frequenza si legge sul diagramma di Bode il modulo e la fase e li si riporta in un punto del diagramma di Nichols.

 

10) Condizione di stabilità nella rappresentazione di Nichols :

Una volta che sia stata tracciata la funzione di trasferimento a ciclo aperto sul diagramma di Nichols si ha che il margine di fase è individuato dall´intersezione della stessa con la asse delle ascisse mentre il margine di guadagno è individuato dall'intersezione con l'asse delle ordinate, in particolare il sistema risulta essere stabile se tali intersezioni si trovano entrambe nel 4° quadrante.

 

11) Diagramma di Nyquist:

È una rappresentazione implicita in coordinate naturali della funzione di trasferimento a ciclo aperto, se ne ha sulle ascisse la parte reale e sulle ordinate la parte immaginaria, l'utilità di tale rappresentazione è legata unicamente all'applicazione del criterio di stabilità di Nyquist.

 

12) Criteri per la costruzione del diagramma di Nyquist:

È bene tenere a mente gli andamenti dei diagrammi di Bode di modulo e fase, in particolare per una costruzione approssimata è sufficiente conoscere modulo e fase sia per w®0 che per w®¥.

In particolare per w®0 è importante la differenza tra il numero di poli h₂ ed il numero di zeri h₁ nell'origine, si ha :

                                        

mentre per w®¥ è importante la differenza tra il numero di poli n ed il numero di zeri m , si ha :

                                           

 

13) Punto critico sul diagramma di Nyquist:

È il punto che sul piano polare assume le coordinate (-1 , j0) e quindi corrisponde sui diagrammi di Bode ad una fase di –180° e ad un guadagno unitario.

 

14) Margine di guadagno sul diagramma di Nyquist :

Numericamente corrisponde alla distanza dall'origine dell'intersezione del diagramma di Nyquist con l'asse reale, a patto che avvenga tra (0 , 0) e (-1 , j0) , intuitivamente invece dato che il margine di guadagno individua la distanza dall'instabilità e questa inizia nel punto (-1 , j0) allora il margine di guadagno è proprio la distanza tra questo punto e l'intersezione con l'asse reale del diagramma di Nyquist.

 

15) Margine di fase sul diagramma di Nyquist :

È la angolo compreso tra il semiasse reale negativo e l´intersezione del diagramma di Nyquist con il cerchio unitario, a patto che questa intersezione avvenga nel 2° e nel 3° quadrante.

 

16) Diagramma completo di Nyquist :

È il diagramma di Nyquist per w che varia da -¥ a +¥  e ricordando che la Trasformata di Fourier della funzione di trasferimento a ciclo aperto è una funzione che ha parte reale pari e parte immaginaria dispari, il diagramma per w che varia da -¥ a 0 si può ottenere per semplice simmetria rispetto alla asse reale del diagramma che si ha per w che varia da 0 a +¥ , il diagramma completo presenta delle discontinuità nel caso vi siano dei poli nell'origine o dei poli immaginari.

 

17) Considerazione sui poli nell´origine nei diagrammi di Nyquist :

I poli nell´origine danno luogo a delle discontinuità, ossia 0^- non corrisponde più con 0⁺ , si può aggirare il polo in senso orario o in senso antiorario, il che si riflette sul diagramma di Nyquist in una curva che si chiude all´infinito la quale connette 0⁺  e  0^- mediante un numero di archi di 180° pari all´ordine del polo nell´origine e quindi al tipo del sistema, in particolare si ha che se il polo viene aggirato in senso orario (…considerandolo cioè stabile) la chiusura all'infinito avviene in senso antiorario.

 

18) Considerazione sui poli immaginari nei diagrammi di Nyquist :

Valgono le medesime considerazioni fatte per i poli nell´origine, con la differenza che in questo caso della coppia di poli immaginari, si può decidere di aggirarne uno in senso orario ed uno in senso antiorario, e ci si deve ricordare che se la aggiramento avviene in s in un senso, la chiusura all'infinito sul diagramma di Nyquist avviene in senso opposto.

Il valore dell'angolo per il quale si ha l'asintoto si desume dai diagrammi di Bode della fase.

 

19) Relazione tra la funzione di trasferimento a ciclo aperto F(s) e l´equazione caratteristica a ciclo chiuso Q_c(s) :

I poli della F(s) coincidono con i poli della equazione caratteristica a ciclo chiuso Q_c(s).

 

20) Relazione tra la funzione di trasferimento a ciclo chiuso W(s) e l´equazione caratteristica a ciclo chiuso Q_c(s) :

I poli della W(s) coincidono con gli zeri della equazione caratteristica Q_c(s).

 

21) Criterio di Nyquist :

Il numero di poli a parte reale positiva presenti a ciclo chiuso è :

dove N è il numero di rotazioni in senso orario compiute da un vettore applicato nel punto (-1 , j0) e che con l'altro estremo percorre il diagramma completo di Nyquist una volta sola mentre P₀ è il numero di poli a parte reale positiva presenti nella funzione di trasferimento a ciclo aperto F(s).

Chiaramente affinchè il sistema a ciclo chiuso sia stabile deve essere Z₀ = 0  e quindi  .

 

22) Passaggio dalla risposta armonica a ciclo aperto alla risposta armonica a ciclo chiuso mediante Nyquist :

Si debbono tracciare le linee a modulo costante e sullo stesso foglio il diagramma di Nyquist, la curva di Nyquist rappresenta pertanto la risposta armonica a ciclo aperto se si considerano come coordinate quelle ortogonali mentre rappresenta la risposta armonica a ciclo chiuso se si considerano le coordinate curvilinee.

 

23) Passaggio al ciclo chiuso sui diagrammi di Nichols :

Sul diagramma di Nichols che si ottiene dal diagramma di Bode, si tracciano i luoghi a modulo e fase costante ottenendo in tal modo la carta di Nichols, si ottiene pertanto una curva graduata in w tale che se letta secondo le coordinate ortogonali rappresenta la risposta armonica a ciclo aperto mentre se letta secondo le coordinate curvilinee rappresenta la risposta armonica a ciclo chiuso.

 

24) Tipologie di misure della risposta armonica :

a)       si può utilizzare un generatore sinusoidale a frequenza variabile, per il quale si deve mantenere costante la ampiezza e misurare la sua risposta alle diverse frequenze semmai confrontandola con il segnale d´ingresso mediante un oscilloscopio a 2 tracce dal quale ottenere anche informazioni circa la fase.

b)       Si invia al sistema un segnale sinusoidale a pulsazione w, a seguire si pone un blocco a controreazione unitaria avente in catena diretta un blocco con trasferenza  a valle del quale si preleva il segnale V₁(s) ed in cascata un blocco con trasferenza  a valle del quale si preleva un segnale V₂(s). Calcolando le antitrasformate di queste due tensioni per multipli interi k (…generalmente k = 1) del periodo T dell'ingresso sinusoidale, si ha

    e    

 

25) Come valutare se un sistema è a fase minima tramite la misura della risposta armonica :

Basta osservare che non possono essere presenti poli a parte reale positiva in quanto si avrebbe divergenza, si nota invece la presenza di zeri a parte reale positiva infatti in alta frequenza abbiamo che per il modulo si comportano come gli altri zeri mentre per la fase si comportano come i poli.

 

26) Compensatore :