Bilancio energetico ed unicità

1) Teorema di Poynting :

Moltiplicando la   per H   e la      per  -E  , si evidenzia al 1° membro il termine   che vale  pertanto integrando tutta l'equazione su un volume V contornato da una superficie S si può applicare il teorema della divergenza a quest'ultimo termine e scrivere   quindi isolando le sorgenti al 1° membro si ottiene    dove

 indica la potenza ceduta dalle sorgenti al campo ,   è la potenza dissipata per effetto Joule dalle correnti di conduzione,  è la potenza che va a variare l'energia immagazzinata nel campo elettromagnetico e  è la potenza che fluisce attraverso la superficie S che racchiude il volume V.

 

2) Teorema di Poynting per un mezzo non dissipativo nel caso di sorgenti armoniche :

Considerando la sola corrente elettrica impressa, si ha    ,    ,   essendo il mezzo non dissipativo si ha  e quindi sostituendo le espressioni di E ed H precedenti nel teorema di Poynting generale si ha

   la quale si semplifica essendo   e sfruttando le formule trigonometriche   quindi si ottiene

il cui valor medio è   e vale 0 nel caso di   ,    ,   in quanto sono funzioni periodiche aventi periodo  .   In definitiva si ottiene   che mostra come il valor medio della potenza erogata dalle sorgenti sia pari al valor medio della potenza che fluisce attraverso la superficie S, tale potenza erogata dalle sorgenti può essere attiva o passiva a seconda dello sfasamento y_e.

 

3) Teorema di Poynting per un involucro metallico :

Ricordando che per un conduttore si ha E ortogonale alla superficie ed H tangente alla stessa, si ha  tangente alla superficie e quindi il suo prodotto scalare con la normale è 0 , da cui si ha  inoltre considerando le quantità medie si può ritenere nullo anche il contributo dovuto a  sostituendo quindi nel termine di sorgente e nel termine di dissipazione dovuta alle correnti di conduzione     ed     si ha :  .

 

4) Teorema di Poynting per il cavo coassiale :

Si considera un sistema costituito da un generatore che alimenta un carico mediante un cavo coassiale, la analisi si svolge considerando 3 diverse sezioni del sistema:

a)       Si scrive il teorema di Poynting sul volume a forma di ciambella dentro al cavo e contenente il generatore internamente ad esso, si ha  dove il 1° termine è diverso da zero solo nel volume contenente il generatore, supponendo i_g // e_g ed E costante si ha  che, applicando le formule trigonometriche e calcolando la media su T si riduce a   mentre per il 2° membro si ha che il 1° integrale mediato si annulla mentre il 2° restituisce la potenza media uscente dalla superficie S_, considerando la massima potenza erogata si ha   ma il flusso del vettore di Poynting è non nullo solo all'interno del cavo coassiale (…per le proprietà dei conduttori metallici) e quindi si ha

b)       Comprende tutto il cavo coassiale ad eccezione della tratta di ingresso e d´uscita, essendo assenti per ipotesi dissipazioni e sorgenti si ha che il flusso che entra dalla sezione d´ingresso è pari al flusso che esce dalla sezione d´uscita,     .

c)       Si scrive il vettore di Poynting sul volume a forma di ciambella dentro al cavo e contenente il carico R_c esternamente ad esso, questa volta sono assenti le correnti impresse e si può considerare come sorgente il flusso che si propaga lungo il coassiale

in definitiva si ha   .

 

5) Teorema di unicità :

Esso individua delle condizioni sotto la quale la soluzione delle equazioni di Maxwell è unica in un volume V di un mezzo lineare per tempi t > t₀ . Esse sono :

a)       deve essere assegnato il componente tangenziale di E o di H per t > t₀  sulla superficie che contorna V.

b)       E  e  H  sono assegnati in V per t = t₀ .

Si dimostra per assurdo supponendo che esistano due soluzioni E₁ , H₁   e   E₂ , H₂   , considerando i campi differenza    e     le cui componenti tangenziali sono nulle sulla superficie S e quindi è nullo anche il corrispondente vettore di Poynting come pure sono nulle le sorgenti J_i e J_m . Calcolando il teorema di Poynting si ottiene   ma al tempo t₀ per l'ipotesi 2) il secondo membro vale 0 quindi per t > t₀     dovrebbe divenire negativa, contraddicendo la sua natura di potenza dissipata quindi positiva e quindi siamo giunti ad un assurdo e pertanto le due soluzioni sono coincidenti.