Variabili aleatorie multiple
Coppie di variabili aleatorie
1) Funzione di distribuzione cumulativa congiunta :
FXY (x,y) = P{X £ x , Y £ y } si noti che se x = y = ¥ Þ FXY (¥,¥) = 1
2) Funzione di densità cumulativa congiunta :
È come sempre la derivata della funzione di distribuzione
al solito è una funzione positiva .
3) Funzione di distribuzione marginale :
Si ottiene dalla funzione di distribuzione cumulativa congiunta saturando una delle 2 variabili ossia ponendo come ¥ uno dei 2 estremi, quello della x o quello della y.
4) Massa di probabilità congiunta :
Si utilizza nel caso che X ed Y siano 2 variabili aleatorie discrete P{X = xi , Y = yi } = pik .
5) Condizione di indipendenza di 2 variabili aleatorie X ed Y :
Due variabili aleatorie X ed Y si dicono statisticamente indipendenti se sono indipendenti gli eventi {X £ x} e {Y £ y}
6) Densità di probabilità a simmetria circolare :
Una densità di probabilità f(x,y) si dice a simmetria circolare se dipende unicamente dalla distanza del punto x, y dall´origine.
Funzione di una coppia di variabili aleatorie
7) Funzione di una coppia di variabili aleatorie
È la variabile aleatoria che si ottiene dando alla funzione g come input le variabili aleatorie X ed Y.
8) Valore atteso di una coppia di variabili aleatorie :
9) Covarianza :
Cov(X,Y) = mXY = E{(X - hX) (Y - hY)}
10) Coefficiente di correlazione :
tale coefficiente è in modulo minore di 1 , in particolare esso vale 1 se i punti sono ben distribuiti intorno ad una retta.
11) Variabili aleatorie scorrelate :
2 variabili aleatorie si dicono scorrelate o incorrelate se E{XY} = E{X}E{Y} = hX hY , sostituendo nelle rispettive definizioni si ha che 2 variabili aleatorie scorrelate hanno covarianza nulla e coefficiente di correlazione anche esso nullo.
In sostanza 2 variabili sono scorrelate se sono prive di un qualsiasi legame lineare.
12) Varianza della somma di 2 variabili scorrelate :
13) Relazione tra indipendenza e scorrelazione :
Due variabili aleatorie indipendenti sono anche scorrelate ma non è detto che 2 variabili aleatorie scorrelate siano necessariamente indipendenti.
14) Retta di regressione :
Si tratta di una retta avente lo scopo di approssimare una distribuzione secondo un qualche modello quale ad esempio il modello lineare, la retta di regressione di Y su X è :
.
15) Momenti congiunti :
mKR = E{XKYR}
16) Funzione caratteristica congiunta :
Si noti che se X ed Y sono variabili aleatorie indipendenti Þ 
17) Teorema riguardante la trasformazione di una coppia di variabili aleatorie :
Se Z = g(X,Y) e W = h(X,Y) Þ 
18) Variabili congiuntamente Gaussiane :
Due variabili aleatorie sono congiuntamente gaussiane se la loro densità congiunta vale 
con 
e Q(x,y) = c1x2 + c2xy + c3y2 + c4x + c5y + c6 ³ 0
Distribuzione condizionata
19) Distribuzione condizionata della variabile aleatoria X :
20) Densità condizionata di 2 variabili aleatorie :
21) Valore atteso condizionato :
22) Principio di ortogonalità :
L´errore e = Y - j(x) è ortogonale ad una generica funzione q(x)
Teoria della affidabilità
23) Vita di un sistema :
È l´intervallo temporale che va dall´istante di attivazione del sistema stesso sino all´istante in cui esso si guasta pertanto FX(t) è la probabilità che il sistema si guasti prima della istante t.
24) Affidabilità del sistema :
R(t) = 1 - FX(t) = P{X > t} pertanto R(t) è la probabilità che il sistema funzioni all´istante t.
25) MTBF :
È il tempo medio tra guasti, coincide con il valor medio l della vita X 
26) Frequenza condizionata di guasti b(t) :
27) Quali sono i possibili andamenti di b(t) :
a) costante
b) con mortalità infantile Þ si risolve con il burn-in riguardante i singoli componenti
c) con usura o invecchiamento Þ si risolve con la manutenzione programmata
d) a vasca da bagno Þ è la somma degli effetti di mortalità infantile e di usura
Sequenze di variabili aleatorie
28) Distribuzione congiunta di N variabili aleatorie :
F(x1 , .... , xN) = P{X1 £ x1 , ..... , XN £ xN }
da essa si possono ottenere le densità congiunte di alcune variabili sostituendo ¥ nelle rimanenti.
29) Matrice di covarianza :
Si tratta di una matrice simmetrica avente in ogni intersezione riga - colonna la covarianza delle rispettive variabili.
30) Misura di probabilità Gaussiana sullo spazio N-dimensionale Ân :
È la misura che ammette come funzione di densità l´esponenziale di una forma quadratica..
31) Densità multivariata di n variabili aleatorie indipendenti :
È data semplicemente dal prodotto delle N densità Gaussiane.
32) Vettore aleatorio gaussiano :
Si tratta di quel vettore aleatorio per il quale qualsiasi combinazione lineare V delle sue componenti è una variabile aleatoria gaussiana, per ogni scelta dei coefficienti.
Campione aleatorio
33) Campione aleatorio :
Sono le N variabili aleatorie costruite a partire dalla variabile aleatoria X.
34) Media di campione :
Si tratta della media aritmetica 
Teorema del limite centrale
35) Formulazione tipica :
Date N variabili aleatorie indipendenti, il teorema del limite centrale afferma che la distribuzione della loro somma approssima una distribuzione normale al crescere di N. Se le variabili aleatorie sono continue allora la densità della loro somma approssima una densità normale.
36) Formulazione classica :
Date N variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, con valor medio h e varianza s2 finita, al tendere di N ad ¥ la variabile aleatoria 
tende ad una gaussiana standard N(0,1).
37) Formulazione in termini di convoluzione :
La convoluzione di un gran numero di funzioni positive è approssimativamente una curva normale
Convergenza
38) Processo stocastico :
È una sequenza infinita di variabili aleatorie X1 , X2 , .... , XN .
39) Convergenza quasi ovunque :
Delle variabili aleatorie si dicono convergere quasi ovunque se il limite di Xn(x) esiste per tutti i risultati i quali hanno probabilità non nulla.
40) Convergenza in media quadratica :
La sequenza aleatoria XN si dice convergere in media quadratica a c se 
41) Convergenza in probabilità :
La sequenza aleatoria XN si dice convergere in probabilità a c se 
per ogni e > 0 .
42) Convergenza in distribuzione :
La sequenza aleatoria XN si dice convergere in distribuzione se dette Fn(x) = P{Xn £ x }le distribuzioni delle variabili aleatorie si ha 
.
43) Relazione tra le convergenze :
Se una sequenza converge in media quadratica Þ converge in probabilità Þ converge in distribuzione.