Teoremi di Analisi Vettoriale

1) Primo criterio di integrabilità delle 1_forme :

Se w è continua su di un aperto connesso D di ³ allora

w è esatta              Û          presi a , b appartenenti a D si ha che     con g₁ , g₂ Î camm(a,b).

Þ           Per definizione di integrale di 1_forma si ha  del resto se w è esatta esiste una funzione potenziale U , primitiva di w ossia  F = ÑU= U_x + U_y + U_z  si avrà pertanto e dunque si vede che il valore della integrale non dipende dal percorso bensì soltanto dal punto iniziale e dal punto finale.

Ü           Sappiamo che  è indipendente dal cammino, bensì solo dal punto iniziale e da quello finale pertanto è =U(b)-U(a) , proveremo che la derivata rispetto ad x è pari ad F₁ , in maniera analoga per U_y ed U_z e quindi w è esatta. Si sceglie pertanto di spostarsi di Dx tramite la parametrizzazione x(t) = x + tDx    y(t) = y     z(t) = z  con tÎ[0,1]   per il teorema della media per integrali si avrà che lo stesso valore è assunto in un punto intermedio = , si ha in definitiva che e pertanto passando al limite per Dx®0   si ha che U_x = F_{1 .}

 

2) Corollario del 1° criterio di integrabilità delle 1_forme :

Se w è continua su di un aperto connesso D di ³ allora

w è esatta              Û            per ogni circuito avente sostegno in D si ha

Þ           w è esatta quindi  non dipende dal cammino bensì solo da a e b pertanto se noi prendiamo un circuito chiuso e su di esso individuiamo 2 punti a e b abbiamo che   lungo un lato del circuito è uguale ma di segno opposto ad  e quindi la loro somma è nulla.

Ü           Se tutte le circuitazioni sono nulle, si trova che suddividendo un ciclo in 2 circuiti g₁ e g₂ , l´integrale lungo g₁  è uguale all´integrale lungo g₂ e dunque per il 1° criterio di integrabilità delle 1_forme, w è esatta.

 

 3) Secondo criterio di integrabilità delle 1_forme :

Se w è derivabile su di un insieme semplicemente connesso allora

w è esatta              Û              w è chiusa

Þ           Dimostro per n = 2 , analogamente per n > 2.

Se w è esatta allora per definizione esiste una funzione potenziale U tale che U_x = F₁ ed U_y = F₂  derivando la 1ª rispetto ad y e la 2ª rispetto ad x si ottiene F_1y  = F_2x  che è proprio la condizione affinché w sia chiusa.

Ü   la dimostrazione consiste essenzialmente nel calcolo di un potenziale mediante la consueta formula  . Si osserva che :

a)    derivando U rispetto a z si ottiene F₃(x,y,z)

b)    derivando rispetto a y ed utilizzando che            si ottiene F₂(x,y,z)

c)    derivando rispetto a x ed utilizzando che            e che          si ottiene   F₁(x,y,z)

in definitiva quindi si ha che   F = ÑU  che è la definizione di  w  esatta .

 

4) Teorema di Gauss - Green nel piano :

a)    Se D è un dominio di ² con a < x < b   e  j₁(x) < y < j₂(x) con j₁(x) , j₂(x) regolari a tratti, si ha :

b) Se D è un dominio di ² con c < y <d   e  y₁(x) < x < y₂(x) con y₁(x) , y₂(x) regolari a tratti, si ha :

Dimostro la a) , in maniera analoga si può dimostrare la b).

Per il 1° membro sfruttando la formula di riduzione per integrali doppi su domini semplici rispetto ad un asse si ha :

Per il 2° membro invece si calcola la circuitazione osservando che nei tratti rettilinei dx=0 e dunque anche l´integrale :

e dunque i 2 integrali sono uguali a meno del segno.

 

5) Corollario del teorema di Gauss Green nel piano :

Se D è un dominio limitato in ² la cui frontiera sia una curva di Jordan regolare a tratti e che sia semplice rispetto ad entrambe gli assi. Se f = Pi+ Qj Þ vale la formula .

Si ottiene dal teorema di Gauss Green sottraendo una formula dalla altra membro a membro.

 

6) Dimostrazione mediante Gauss Green del 1° criterio di integrabilità delle 1_forme :

Siano g₁ e g₂ due curve delimitanti un insieme D. Se F(x,y) è un campo vettoriale derivabile e irrotazionale (rot F = 0) ossia P_x = Q_y in D.                Þ  .

Per la uguaglianza del teorema di Gauss Green si ha che = 0  essendo Q_x = P_y  del resto la frontiera della insieme è costituita da g₁ percorsa in senso antiorario e g₂ percorsa in senso orario in quanto interna a g₁ .pertanto l´uguaglianza è verificata.

 

7) Teorema di Stokes nello spazio :

Se S è una superficie regolare a pezzi contenuta in un aperto A Ì Â³ ed F = Pi + Qj + Rk un campo vettoriale derivabile Þ 

Sia r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k   una parametrizzazione della superficie Þ  

Partendo invece dalla circuitazione la si scrive come la corrispondente 1_forma quindi si considera per semplicità il solo , essendo ,  scrivendola per esteso ed applicando il teorema di Gauss Green ci si riporta ad un integrale doppio semplificabile per mezzo del teorema sulle derivate miste di Schwarz  essendo ora una funzione composta, le sue derivate sono  e sostituendo, sviluppando i prodotti e semplificando si ottiene  nella quale i termini tra parentesi sono deteminanti jacobiani.

Operando allo stesso modo anche per le altre componenti e sommando si ottiene la tesi.

 

8)    Teorema di Ostrogradsky :

Sia D Ì Â³ un dominio limitato la cui frontiera è una superficie chiusa, regolare ed orientabile :

Se D è semplice rispetto ad uno degli assi vale una delle seguenti :

                           

Se il dominio è semplice rispetto a tutti e tre gli assi allora sommando membro a membro si ha :

Dimostro solo la terza nel caso di un dominio semplice rispetto alla asse z :

Partendo dall´integrale triplo, esso può essere scomposto per via della semplicità del dominio, si ha :

Partendo ora invece dal 2° membro si arriverà allo stesso risultato, si deve infatti tener conto che la frontiera del dominio è costituita da una calotta superiore, una calotta inferiore ed una parete laterale parallela alla asse z sul quale l´integrale è nullo in quanto è un flusso ed il vettore normale alla superficie è ortogonale al vettore k.

Effettuando un cambio di parametrizzazione e osservando che la superficie superiore è orientata positivamente mentre quella inferiore è orientata negativamente ne segue che si trova lo stesso risultato ottenuto partendo dal triplo integrale.

essendo i jacobiani in questione pari ad 1.

 

 

9)    Teorema della divergenza nello spazio :

Sia D Ì Â³ un dominio limitato la cui frontiera è una superficie chiusa, regolare ed orientabile inoltre sia D un dominio semplice rispetto a tutti e 3 gli assi cartesiani, sia poi F = pi + Qj + Rk un campo vettoriale classe C¹ Þ                                  

Si ottiene sommando i risultati contenuti nel teorema di Ostrogradsky.

 

10) Se F = Ai + Bj + Ck è di classe C²(T) , T Ì Â³ aperto superficialmente connesso Þ

F è un rotore                  Û                           F è solenoidale

Þ   F è un rotore ossia esiste un potenziale vettore U tale che rotU = F  pertanto div F = div rot U = 0 e dunque F è solenoidale in quanto ha divergenza nulla.

Ü Per dimostrare che F è un rotore ne cerchiamo un potenziale vettore U = xi + yj + zk, esso deve esser tale che

     rotU = F ossia    per semplificare si cerca un potenziale vettore con la terza componente nulla ossia U = xi + yj + 0k pertanto il sistema semplificato è   devo ora elaborare le prime 2 e sostituirle nella 3ª, integrandole rispetto a z si ha   

per semplicità supporremo j(x,t) = 0. Derivando  da cui sostituendo si ha :  e sfruttando l´ipotesi di divergenza nulla  quindi C_z  = - A_x - B_y si ha ossia  ed integrando rispetto ad y si ha :  supponendo a(x) = 0 e sostituendo nelle prime equazioni si ottiene la tesi.

 

 

11) Teorema del potenziale vettore :

Se A è un aperto di ³ semplicemente connesso e V è un campo vettoriale derivabile solenoidale (div F = 0)

Þ   Esiste un campo vettoriale F tale che     rot F = V  in A. Inoltre ogni altro potenziale vettore è dato dalla forma

F + gradj  dove j Î C²(A) è uno scalare.

Si scrive il rot F considerando nulla la componente lungo la asse i, dalla equazione vettoriale   rot F = V   si ottengono tre equazioni scalari , soddisfatte in termini di integrali, si debbono a questo punto soltanto individuare le costanti che scaturiscono dalla integrazione, cosa che è possibile sostituendo nella   e sfruttando il fatto che

div F = 0  si ottiene il potenziale vettore F = F₂j + F₃k   dove    e 

 

 

12) Caratteristica dei campi solenoidali :

Si abbiano 2 superfici che sono frontiera di un aperto limitato, e sia D il dominio costituito dalla intercapedine tra le due superfici, ebbene se in questo dominio la divergenza di un campo vettoriale F è 0 Þ il flusso attraverso una delle superfici è pari al flusso attraverso la altra.

 

13) Teorema di Gauss :

Sia S una superficie chiusa e sia r il vettore posizione che designa la distanza di un qualsiasi punto (x,y,z) dall´origine 0. Allora  vale :

a)    0       se l´origine è esterna alla superficie chiusa

b)    4p    se l´origine è interna alla superficie chiusa.

a) la divergenza di r / r³ è nulla secondo un risultato classico, quindi è nullo anche questo flusso.

b)    la divergenza è nulla anche questa volta ma a patto di eliminare una sferetta di raggio infinitesimo la cui superficie va parimenti considerata per il calcolo del flusso.

 

14) Interpretazione geometrica del teorema di Gauss :

Sia dS un elemento di superficie e congiungiamo tutti i punti del contorno di dS con l´origine O venendo in tal modo a formare un cono. Sia ora dW l´intersezione tra una sfera di centro O e raggio r ed il cono precedente Þ la angolo solido dw è individuato dal rapporto tra questa area ed il quadrato della distanza dall´origine   essendo  dunque la angolo solido è .

In sostanza se la sorgente è esterna alla superficie chiusa allora ad ogni contributo positivo allorché il flusso entra nella superficie corrisponderà un contributo negativo allorché il flusso ne esce. Se invece la sorgente è interna allora i 2 contributi si sommano e la angolo solido totale è pari alla area della sfera unitaria ossia 4p.

 

15) Significato della divergenza :

La divergenza di un campo vettoriale F nel punto P è data dalla   essendo DV il volume racchiuso dalla superficie dS , tale volume al limite si riduce al punto P.

Si ottiene a partire dal teorema della divergenza applicando il teorema della media per integrali e isolando quindi al 1° membro la divergenza, facendo poi il limite si ottiene la tesi il cui significato fisico è il flusso netto attraverso la superficie dS dovuto al campo F, se tale flusso è positivo, vuol dire che vi è una sorgente interna mentre se il flusso è negativo vuol dire che la sorgente è esterna. Se la divergenza è 0 significa che nella regione non vi sono ne pozzi ne sorgenti e pertanto il campo è solenoidale.

 

16) Significato del rotore :

Sia F un campo derivabile F : T®Â³ e sia S_r⁺ un disco avente centro in P, raggio r ed orientamento individuato dal versore normale esterno n. Þ  .

Si ottiene a partire dal teorema di Stokes applicando il teorema della media per integrali e isolando quindi al 1° membro il prodotto del rotore per il versore normale alla superficie, facendo poi il limite si ottiene la tesi il cui significato fisico è che il rotore individua la direzione in cui è massima la densità superficiale di circuitazione di F in P.