Autovalori e basi ortonormali

Autovalori

1) Definizione di autovalore:

Vi sono delle applicazioni per le quali ad un certo vettore v, tramite la applicazione corrisponde un suo multiplo, in formule f(v) = lv in tal caso il valore del multiplo v è la autovalore mentre il corrispondente vettore v è la autovettore. Ad uno stesso autovalore possono corrispondere più autovettori, in tal caso l´insieme degli autovettori prende il nome di autospazio.

 

2) Quando esiste una base di autovettori per una applicazione:

Per una applicazione esiste una base di autovettori quando essa può essere rappresentata rispetto ad una particolare base da una matrice diagonale.

 

3) Quando una applicazione è diagonalizzabile:

Una applicazione è diagonalizzabile quando ha tutti gli autovalori sul campo e la loro molteplicità algebrica coincide con la corrispondente molteplicità geometrica. da ciò deriva che la somma delle molteplicità geometriche deve esser pari alle dimensioni dello spazio ospite.

 

4) A cosa servono gli autovalori nel calcolo di f ⁿ = f * f * f ....* f  :

Servono a diagonalizzare la matrice rappresentativa della applicazione f , a tal punto si esegue agevolmente la potenza ennesima direttamente sulla matrice diagonale ed infine si fa il cambiamento di base di quest´ultima utilizzando le stesse formule.

 

5) Come capire ad occhio dalla matrice gli autovalori di una applicazione :

Semplicemente sono i valori che abbassano il rango di una matrice, che lo rendono cioè non massimo.

 

6) Che tipo di autovalori ha una proiezione:

Una proiezione è una applicazione che se viene effettuata 2 volte dà lo stesso risultato che si ottiene effettuandola una volta sola, in formule :                f(v) = lv f(f(v)) = l(lv) = l²v

In base a quanto detto lv = l²v e dunque l(l-1) = 0 dunque gli autovalori sono 0 ed 1.

 

7) Quando una matrice A ed una matrice B possono essere coniugate:

Quando esiste una matrice C tale che B = C * A * C^-1 il che avviene unicamente a patto che A e B abbiano gli stessi autovalori con le stesse molteplicità geometriche e le stesse molteplicità algebriche.

 

8) Criterio per individuare immediatamente parte del polinomio caratteristico di una matrice:

Il  coefficiente del termine di grado n è (-1)ⁿ mentre il coefficiente del termine di grado n-1 è (-1)ⁿ * traccia A , infine il coefficiente del termine di grado 0 cioè il termine noto è pari al determinante della matrice A.

 

9) Quando una matrice è nilpotente e che tipo di autovalori ha:

                Una matrice è nilpotente quando una sua potenza di grado n >= 1 é la matrice nulla.

                Gli autovalori sono necessariamente tutti 0.

 

Forme quadratiche

10) Come si trova la segnatura di una forma quadratica:

Si calcola il polinomio caratteristico dopodichè se ne valuta il segno degli autovalori con il metodo di Cartesio.

 

11) Enunciare la regola di Cartesio per la individuazione della segnatura delle soluzioni di un polinomio:

si ordina il polinomio dal grado massimo al grado minimo, a tal punto si valuta :

                n° radici positive = n° delle variazioni di segno nel polinomio

                n° radici nulle      = grado minimo presente nel polinomio

                n° radici negative = grado massimo del polinomio - (n° radici positive + n° radici nulle)

Prodotti scalari

12) Quando una forma è bilineare:

Una forma è bilineare quando è lineare rispetto ad entrambe le variabili, si deve cioè verificare che

                a)            f(lv+mv¹,w) = lf(v,w) + m f(v¹,w)

                b)            f(v,lw+mw¹) = lf(v,w) + m f(v,w¹)

 

13) Cosa è un prodotto scalare e quale matrice è ad esso associato:

Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica tale cioè che f(v,w) =f(w,v).

La matrice ad esso associata è una matrice simmetrica, tale cioè che l´elemento a_ij = a_ji .

 

14) Definizione di prodotto scalare canonico:

Un prodotto scalare canonico è una forma bilineare simmetrica definita positiva, vale a dire che < v,v > è >= 0 e < v,v > è = 0 Û v =  0 .La matrice ad esso associata è una matrice simmetrica con determinante positivo.

                <v,w> = v_1*w₁ + v₂*w₂ +......+ v_n * w_n

 

15) Tipologie di prodotti scalari:

Esistono prodotti scalari definiti positivi, semidefiniti positivi, definiti negativi, semidefiniti negativi, indefiniti, i prodotti scalari semidefiniti positivi e negativi sono necessariamente degeneri ossia assumono il valore 0 non soltanto per il vettore 0 .

 

16) Come si trova la distanza tra un punto ed un sottospazio:

Si trova ricavando la proiezione ortogonale del punto sul sottospazio e calcolando la distanza rispetto a questo punto individuato. La proiezione ortogonale si può ricavare agevolmente quale intyersezione tra il sottospazio e la retta passante per il punto p ed avente quale vettore direttore il vettore ortogonale al piano il quale se il piano ha equazione ax +by +cz = d allora è il vettore (a , b , c).

Altrimenti si può più rapidamente calcolare la distanza tramite la formula

È da notare che in Âⁿ vale un estensione logica di questa formula da ricavarsi volta per volta.

 

17) < <x,v>v , v>v               è uguale a              <x,v> <v,v>v    :

Si, il passaggio è autorizzato, infatti <x,v> è uno scalare e non un vettore e pertanto può essere portato esternamente al prodotto scalare stesso.

 

18) Quando una forma è sesquilineare:

Una forma è sesquilineare quando sono verificate le due seguenti proprietà:

                f(lv+mv¹,w)= lf(v,w) + mf(v¹,w)

                f(v, lw+mw¹) = lf(v,w) + mf(v,w¹)

 

19) Cosa è un prodotto hermitiano e quale matrice è ad esso associata:

Un prodotto hermitiano è una forma sesquilineare che gode della hermitianità , vale a dire della seguente proprietà :

               

La matrice ad esso associata è una matrice simmetrica in cui l´elemento a_ij è il coniugato della elemento a_ji deve inoltre essere B= B^t

 

20) Definizione di prodotto hermitiano canonico :

Un prodotto hermitiano canonico è una forma sesquilineare hermitiana definita positiva, vale a dire che < v,v > è >= 0 e < v,v > è = 0 Û v =  0 .La matrice ad esso associata è una matrice simmetrica con determinante positivo.

                <v,w> = v_1*w₁ + v₂*w₂ +......+ v_n * w_n

 

21) Come determinare se una matrice è hermitiana:

Dever essere B = B^t  il che implica che sulla diagonale debbono essere presenti soltanto elementi reali in quanto la trasposizione lascia inalterata la diagonale ed a = a  Û a Î Â.

 

22) Caratteristica della matrice associata ad un prodotto scalare o Hermitiano definito positivo:

Sono entrambe matrici avente determinante positivo.

 

23) Scrivere la trasposta coniugata di e dire se è hermitiana:

Qui c´è il trabocchetto, infatti il coniugato di un n° vede cambiare di segno la parte immaginaria e non la parte reale pertanto la trasposta coniugata è : chiaramente non è hermitiana in quanto la trasposta coniugata è diversa dalla matrice di partenza.

Basi Ortonormali

24) Ha senso parlare di basi ortonormali senza aver introdotto il concetto di prodotto scalare:

No in quanto debbono essere costituite da vettori i quali sono ortogonali tra di loro e questo è misurabile unicamente attraverso un prodotto scalare il quale consente la misura di angoli e distanza.

 

25) Quale è il principale vantaggio di una base ortonormale di autovettori:

Credo che il più grande vantaggio sia che la matrice inversa è banalmente uguale alla matrice trasposta.

Inoltre una base ortonormale è l´unica attraverso la quale è possibile realizzare isometrie ossia trasformazioni che non alterano angoli nè dimensioni della oggetto di partenza e pertanto non lo deformano.

 

26) Descrivere i passi della Ortonormalizzazione di Gram - Schmidt :

a) Si normalizza v1 Þ v1*

b) Si rende il secondo vettore della base ortonormale al primo v2´ = v2 - <v2 , v1*> v1*

c) Si normalizza v2´ Þ v2*

d) Si rende il terzo vettore ortogonale al sottospazio formato da v1* e da v2* cioè:

                v3´ = v3 - <v3 , v1*> v1* - <v3 , v2*> v2*

e) Si normalizza v3´ Þ v3*

 

27) Che senso ha ortonormalizzare una base:

Una applicazione ha autovettori ortogonali soltanto se ha tutti autovalori distinti cioè se ad ogni autovalore corrisponde un solo autovettore, altrimenti gli autovettori inerenti allo stesso autospazio possono anche non essere ortogonali, in tal caso ha senso procedere alla Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt la quale a partire da uno dei 3 autovettori crea una base ortonormale la quale riesce a diagonalizzare con una trasformazione ortogonale la matrice rappresentativa della quale abbiamo trovato autovalori ed autospazi.

 

28) Normalizzare il vettore :

Il trucco è valutare la norma di tutto il vettore, poi dividere 1/3 per tale norma e moltiplicare per il vettore.

 

29) Come calcolare la proiezione di un punto sui vettori di una base ortonormale:

Le coordinate riferite ad un asse della base non sono altro che il prodotto scalare del vettore v per il versore della base diviso la norma del versore che è chiaramente 1 dunque il valore della coordinata di un vettore rispetto ad un versore di una base ortonormale non è che il prodotto scalare del vettore v per il versore _.

 

30) Descrivere il metodo dei minimi quadrati per l´identificazione della retta di migliore approssimazione di una serie di dati sperimentali:

Il metodo dati alcuni punti consente di individuare la retta che meglio li approssima, a tal fine si scrive il sistema lineare non compatibile contenente tutte le generiche equazioni delle rette passanti per i punti da ti lx+m º y         in tal modo si crea una matrice A(x) = b il nostro scopo è di proiettare il vettore b sul sottospazio delle soluzioni del sistema A(x) ossia su Im(A(x)). Questo in pratica si ottiene impostando l´uguaglianza ^tA * A = ^tA* b.

                A questo punto il sistema ottenuto è una matrice B 2*2 al 1° membro ed un vettore c 1*2 al secondo membro , si risolve con il metodo di Cramer, che trova il coefficiente della x quale rapporto tra il determinante della matrice ottenuta sostituendo in B al posto della 1ª colonna il vettore c ed il determinante di B. Il coefficiente della y si trova quale rapporto tra il determinante della matrice ottenuta sostituendo in B al posto della 2ª colonna il vettore c ed il determinante di B.

Applicazioni Ortogonali

31) Definire una applicazione ortogonale e descriverne le caratteristiche:

                La relazione < T(v), T(w) > = < v , w > vale sul campo dei reali.

                Il significato è quindi che non viene alterata la metrica dello spazio immagine, vale a dire che un oggetto al quale      applichiamo una trasformazione unitaria non viene deformato.

 

32) Come determinare se una matrice è ortogonale:

I vettori colonna di A formano una base ortonormale.

                a) deve essere |det B| = 1

                b) se è vero a) si controlla che i vettori colonna abbiano norma 1

                c) se è vero b) si controlla che i vettori colonna siano mutualmente ortogonali

                d) facoltativamente controllare che B^t  * B = Id

 

33) Se ho trovato per una applicazione 2 autovalori y₁ e y₂ con autovalori V_y1 e V_y2 normalizzati, come posso diagonalizzare la applicazione e come è fatta la matrice diagonalizzata:

Posso riunire gli autovettori in una matrice ortogonale di cambiamento di base tramite la quale la matrice rappresentativa si riduce ad una matrice diagonale sulla cui diagonale per la appunto compaiono gli autovalori.

 

34) È necessaria una matrice ortogonale per diagonalizzare una matrice rappresentativa:

No , una matrice rappresentativa viene diagonalizzata anche da una base di autovettori non normalizzata , il problema è che in tal modo un vettore al quale noi applichiamo la matrappr è diverso dal vettore ottenuto facendo il cambiamento di base verso la forma diagonalizzata, applicando la matrappr diagonalizzata e poi lo riportiamo nella vecchia base.

Applicazioni Unitarie

35) Definire una applicazione unitaria e descriverne le caratteristiche:

La relazione < T(v), T(w) > = < v , w > vale sul campo dei complessi.

Il significato è quindi che non viene alterata la metrica dello spazio immagine, vale a dire che un oggetto al quale applichiamo una trasformazione unitaria non viene deformato.

 

36) Come determinare se una matrice è unitaria:

                a) deve essere |det B| = 1

                b) se è vero a) si controlla che i vettori colonna abbiano norma 1

                c) se è vero b) si controlla che i vettori colonna siano mutualmente ortogonali

                d) facoltativamente controllare che B^t  * B = Id

 

37) Se i vettori colonna di una matrice A sono una base ortogonale, A è unitaria:

No, debbono essere una base ortonormale.

 

38) Quando è vero per una matrice che B = B^t = B^-1 :

Quando la matrice è sia Hermitiana che unitaria.

 

39) Quale artificio si può utilizzare per trovare le radici di un polinomio caratteristico di 2° grado sui complessi:

Il termine noto è il prodotto delle soluzioni per cui se ad esempio una soluzione è i ed anche il termine noto è i allora la altra soluzione è evidentemente anche essa i.

 

40) Se nel corso della ricerca di radici di un polinomio caratteristico di 2° grado sui complessi si incontra come lo si scompone:

Si considera =   e lo si risolve portando -2i in forma polare e poi applicando la formula di De Moivre per le potenze di numeri complessi. Inizio portando in forma polare -2i.

                | -2i | =     mentre arg( -2i ) =pertanto in forma polare abbiamo Þ pertanto = _.

Applicazioni Simmetriche

41) Definire una applicazione simmetrica e descriverne le caratteristiche:

Una applicazione è simmetrica quando si verifica che <f(v),w> = <v,f(w)> .

 

42) Come è fatta la matrice di una applicazione simmetrica:

È una matrice per la quale l´elemento a_ij è uguale all´elemento a_{ji .}

 

43) Che determinante ci si attende da una simmetria:

Det = -1 infatti le trasformazioni isometriche sono tutte e sole le rotazioni e le simmetrie e sappiamo che le simmetrie hanno determinante -1.

 

44) Che determinante ci si attende da una rotazione:

Det = +1 infatti le trasformazioni isometriche sono tutte e sole le rotazioni e le simmetrie e sappiamo che le rotazioni hanno determinante +1.

 

45) Quando una applicazione è anti-simmetrica:

Una applicazione è anti-simmetrica quando si verifica che <f(v),w> = -<v,f(w)> .

 

46) Come è fatta la matrice di una applicazione antisimmetrica:

È una matrice per la quale l´elemento a_ij è pari a  -a_ji , da questo segue che sulla diagonale sono presenti solo 0 , in quanto deve essere ^tA = - A  .

 

47) Descrivere le matrici anti-Hermitiane:

È una matrice per la quale l´elemento a_ij è pari a  -a_ji , da questo segue che sulla diagonale sono presenti solo termini con parte reale nulla , in quanto deve essere ^tA = - A  .

Determinanti

48) Se Det A = 7, quanto vale Det (B^-1 A B) :

Vale 7 perchè il determinante è una funzione invariante per cambiamento di base.

 

49) Enunciare il teorema di Binet sui determinanti:

Det (AB) = Det(A) * Det(B).