Quadriche
1) Scrivere l´equazione generica della ellissoide e descriverne le varianti:
si chiama ellissoide perchè se lo tagliamo lungo la asse z = 0 , x = 0 , y = 0 le sezioni sono ellissi.
le varianti sono :
a) se al secondo membro c´è -1 allora l´ellissoide è immaginario
b) se il termine noto è 0 l´ellissoide si riduce ad un punto
2) Scrivere l´equazione generica della iperboloide ad una falda e descriverne le varianti:
si chiama iperboloide ad una falda perchè se lo tagliamo lungo la asse y = 0 ed x = 0 le sezioni sono iperboli mentre se lo tagliamo lungo piani paralleli al piano xy otteniamo delle ellissi.
non ha varianti:
3) Scrivere l´equazione generica della iperboloide a due falde e descriverne le varianti:
si chiama iperboloide a due falde perchè se lo tagliamo lungo la asse y = 0 ed x = 0 le sezioni sono iperboli mentre se lo tagliamo lungo piani paralleli al piano xy otteniamo delle ellissi solo per valori superiori di |c|
non ha varianti:
4) Scrivere l´equazione generica del cono e descriverne le varianti:
È una equazione omogenea in quanto compaiono tutti elementi dello stesso grado questo vuol dire che può essere costruito utilizzando soltanto un fascio di rette. Da un punto di vista matematico coincide con la norma.
le varianti sono:
a) se il coefficiente di z2 è positivo allora il cono è immaginario.
5) Scrivere le equazioni dei paraboloidi e descriverne le caratteristiche:
è un paraboloide ellittico, è evidente che le sue sezioni sono delle ellissi , non è che una coppa convessa, per valori di z minori di 0 viene descritto un paraboloide ellittico immaginario.
è un paraboloide iperbolico o sella, è evidente che le sue sezioni lungo piani paralleli al piano xy sono delle iperboli mentre sezioni parallele al piano yz sono delle parabole concave mentre le sezioni parallele al piano zx sono delle parabole convesse.
6) Scrivere le equazioni dei cilindri e descriverne le caratteristiche:
è un cilindro ellittico
è un cilindro ellittico immaginario
è un cilindro iperbolico
è un cilindro parabolico
7) Per quali riduzioni di quadriche si ottengono dei piani:
a) 2 autovalori e corrispondenti termini lineari nulli
x2 = tn Þ se tn > 0 si hanno 2 piani reali paralleli
se tn = 0 si hanno 2 piani reali coincidenti
se tn < 0 si hanno 2 piani complessi paralleli
b) 1 autovalore 0 ed altri 2 di segno discorde, tn = 0
x2 - y2 = 0 Þ 2 piani incidenti
c) 1 autovalore 0 e gli altri 2 di segno concorde, tn = 0
x2 + y2 = 0 Þ 2 piani complessi incidenti la cui intersezione è la asse reale z.
8) Quale matrice ortogonale consente di ridurre ad una sola variabile lineare la forma lx2 + hy + jz = k ?
