Teoremi sul calcolo differenziale e l'approssimazione di funzioni

Calcolo differenziale

1) Se f è derivabile in x₀ appartenente ad un intervallo Þ f è continua in x₀ .

Per essere continua la funzione deve aversi che  e dato che se f è derivabile in x₀ allora deve essere finito il limite  ossia la f(x) è approssimabile in x₀ da una retta tangente di equazione

y = f(x₀) + f ´(x₀)*(x-x₀) detta di migliore approssimazione lineare in particolare f(x) e la retta distano tra di loro o(x-x₀).

Si ottiene pertanto checioè f è continua in x₀ .

1-a) La derivata del prodotto di una funzione per una costante è pari alla costante moltiplicata per la derivata della f.

1-b) La derivata della somma (differenza) di 2 funzioni è pari alla somma (differenza) delle derivate delle 2 funzioni.

1-c) Derivata del prodotto di 2 funzioni derivabili :

Descrizione :

Nella definizione di derivata  applicata alla funzione (fg)´ si somma e sottrae al numeratore f(x₀)g(x) e si scinde quindi il rapporto nei 2 rapporti incrementali f ‘(x₀) e g‘(x₀) moltiplicati rispettivamente per g(x) e per f(x₀). È solo la continuità in x₀ che ci consente di sostituire g(x) con g(x₀).

 

2) Derivata del rapporto di 2 funzioni derivabili :

Descrizione :

Si utilizza prima la definizione di derivata  applicata alla funzione (1/g) e si ottiene  dopodiché si applica il 65-c) alla 1/g e ad f.

 

3) Formula di Leibnitz per il calcolo della derivata n-esima del prodotto di 2 funzioni derivabili:

Descrizione :

In pratica i coefficienti sono quelli del triangolo di Tartaglia ed il 1° indice della derivata scende mentre il 2° indice sale.

 

4) Se g è derivabile in x₀ ed f è derivabile in g(x₀) allora la funzione composta è derivabile in g(x₀) :

Descrizione :

Si scrive la consueta versione estesa della derivata sia per g :

Che per f°g  :  

e sostituendo la 1ª nella 2ª il teorema risulta dimostrato.

 

5) Se una funzione f continua e strettamente monotona su di un intervallo (pertanto invertibile e l´inversa è continua nel suo dominio)  e se questa è derivabile in x₀ e diversa da 0 , Þ  l´inversa è derivabile in f(x₀).

Descrizione :

Si applica la definizione di derivata nella quale si possono sostituire le corrispondenti x infatti f  ^-1(y)®x  , f  ^-1(y₀)®x₀ , y₀ ®f (x₀)  e y®f (x) ed il teorema risulta dimostrato.

 

6) (x ^a)´ = ax ^{a -1}

Si dimostra con la definizione coincisa di derivata ossia  con    h = x₀ - x .

In particolare in essa occorre sostituire f(x+h) con (x+h)^a ed f(x) con x^a si fa in modo di raccogliere all´esterno x ^{a -1} e poi sul restante internamente alla parentesi si utilizza il limite notevole (1+x)^a = 1 + ax +o(x).

 

7) (e^x)´ = e^x

Si dimostra con la definizione coincisa di derivata ossia  con    h = x₀ - x .

In particolare in essa occorre sostituire f(x+h) con e ^x+h ed f(x) con e^x si raccogliere all´esterno e^x e poi sul restante internamente alla parentesi si utilizza il limite notevole (e^x - 1)/x ® 1 per x ®0 .

 

8) (sinhx)´ = coshx

Ricordando che sinhx = (e^x - e ^-x)/2 derivarlo si riduce ad osservare che la costante può essere portata fuori mentre la derivata della differenza è pari alla differenza delle derivate, di cui la derivata di e^-x si calcola come derivata di una funzione composta alla funzione non derivata per la derivata della argomento, sostituendo si trova la definizione di coshx.

 

9) (coshx)´ = sinhx

Ricordando che coshx = (e^x + e ^-x)/2 si dimostra in maniera del tutto analoga a quanto fatto per sinhx.

 

10) (log_a|x|)´ = (log_ae)/x

Si dimostra con la definizione coincisa di derivata ossia  con    h = x₀ - x .

In particolare in essa occorre sostituire f(x+h) con log_a|x+h| ed f(x) con log_a|x| si raccogliere all´esterno 1/x in modo da riportarsi al logaritmo che moltiplica la definizione di e come limite di una successione

 

11) (a^x)´ = a^x log a

Ricordando che si applica a quest´ultima la regola di derivazione per le funzioni composte e sul risultato si considera log a  giustamente come una costante.

 

12-a) (sinx)´ = cosx

Si dimostra con la definizione coincisa di derivata ossia  con    h = x₀ - x .

In particolare in essa occorre sostituire f(x+h) con sin(x+h) ed f(x) con sinx e poi si utilizza la formula per il seno di una somma ossia   sen(a+b) = senacosb + cosasenb  ed infine il limite notevole senx/x ®1 per x®0.

 

12*-b) (cosx)´ = - sinx

Si dimostra con la definizione coincisa di derivata ossia  con    h = x₀ - x .

In particolare in essa occorre sostituire f(x+h) con cos(x+h) ed f(x) con cosx e poi si utilizza la formula per il coseno di una somma ossia   cos(a+b) = cosacosb - senasenb.

 

13) (tgx)´ = 1+tg²x  = 1/ cos²x

Si dimostra ricordando che tgx = senx / cosx ed utilizzando la regola per la derivata del rapporto di 2 funzioni derivabili.

 

14-a) (arcsinx)´ =

Occorre applicare il teorema per la derivazione della funzione inversa. A tal uopo osserviamo che

a)            arcsinx è l´inversa di senx la quale è una funzione strettamente crescente in [-p/2 , p/2] ed avente come derivata         la funzione cosx che nell´intervallo (-p/2 ,p/2) è sempre ¹ 0 pertanto non avremo mai che l´inversa ha una tangente verticale e quindi è sempre derivabile.

14-b)            si pone y = arcsinx e utilizzando il teorema si ha quindi                

                dove nell´ultimo passaggio si è sfruttato che se y = arcsinx allora è anche vero che x = seny.

15-a) (arccosx)´ =

Si dimostra in maniera analoga a quanto fatto per arcsinx.

16) (arctgx)´ =

Occorre applicare il teorema per la derivazione della funzione inversa. A tal uopo osserviamo che

a)            arctgx è l´inversa di tgx la quale è una funzione strettamente crescente in [-p/2 , p/2] ed avente come derivata             la funzione 1+tg²x ³ 1 nell´intervallo (-p/2 ,p/2) è pertanto sempre ¹ 0 quindi non avremo mai che l´inversa ha una tangente verticale e quindi è sempre derivabile.

b)            si pone y = arctgx ed utilizzando il teorema si ottiene :                

                dove nell´ultimo passaggio si è sfruttato che se y = arctgx allora è anche vero che x = tgy.

 

17) (|x|)´ = sgnx

Si dimostra con la definizione coincisa di derivata ossia  con    h = x₀ - x .

In particolare in essa occorre sostituire f(x+h) con |x+h| ed f(x) con |x| dopochè visto che h®0 la si suppone trascurabile e sciogliendo i moduli si ottiene a 2 diverse frazioni, quella per x >1 ha come limite 1 mentre quella per x < 1 ha come limite -1 il che coincide con la definizione della funzione sgnx.

18) Se f è derivabile in x₀ Î (a,b) ed f ha un estremo locale in x₀                Þ           f ´(x₀) = 0

Dimostriamo il caso in cui x₀ è un punto di massimo locale.

Dovrà esistere un intorno di x₀ nel quale la f(x) < f(x₀) ossia f(x) - f(x₀) < 0   per  x compresa tra (x₀ - e)  ed (x₀ + e).

Il rapporto incrementale avrà dunque il numeratore minore di 0 pertanto :

*             se ci troviamo a sinistra di x₀ il denominatore è negativo pertanto e così pure il limite ossia       la derivata sinistra in x₀.

*             se ci troviamo a destra di x₀ il denominatore è positivo pertanto e così pure il limite ossia          la derivata destra in x₀.

Per la derivabilità di f in x₀ deve essere il limite da destra uguale al limite da sinistra, condizione che è solo rispettata se f´(x₀) = 0.

 

19) Teorema di Rolle:        

Descrizione : Se f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) e se f(a) = f(b)        Þ        esiste un punto c tale che f ‘(c) = 0.

Essendo f una funzione continua su di un compatto allora ammette Min e Max e pertanto si possono verificare :

a) se la funzione è costante f(a) = f(b) = f(c) = Min = Max    pertanto f ‘(c) = 0  per ogni c Î (a,b) .

b) Se Max > f(a) allora deve esistere almeno un punto di estremo c nel quale la 81) ci dice che f ‘(c) = 0, analogamente se         Min < f(a).

 

20) Teorema di Cauchy:

Descrizione : Se f e g sono funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b)   Þ      esiste un punto c Î (a,b) tale che

(f(b)-f(a))g‘(c) = (g(b)-g(a))f ‘(c).

Mi riconduco a poter applicare il teorema di Rolle definendo su [a,b] una funzione h := (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f (x) tale che h(a) = h(b) dovrà pertanto esistere un punto di estrem c nel quale h´(c) = 0. Imponendo che la derivata 1ª di h(x) (si considerino  (f(b) - f(a)) e (g(b) - g(a)) come costanti ) sia uguale a 0 ottengo la formula di Cauchy.

 

21) Teorema del valor medio:

Descrizione : Se f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b)     Þ        esiste un punto c tale che

Si dimostra ponendo g(x) = x nel teorema di Cauchy.

 

22) Se f è continua in [a,b], derivabile in (a,b) e se esiste                   Þ          

Per il teorema del valor medio esiste un punto c tale che   , facendo il limite per c ® a⁺ si ottiene il risultato.

 

23) Se f è derivabile in (a,b)               Þ           f ´ non ammette discontinuità di 1ª specie (di salto)

Il teorema 22) ci dice che se dovessero esistere i 2 limiti da destra e da sinistra nel punto x₀ allora questi sarebbero uguali a f ´₊(x₀) e a  f ´_-(x₀)  ma la derivabilità implica che f ´₊(x₀) = f ´_-(x₀) pertanto non ci possono essere discontinuità di salto, sono invece possibili discontinuità di 2ª specie.

24) Se F e G sono funzioni primitive in un intervallo I della stessa f  Þ  esiste una costante C Î Â tale che

                G(x) = F(x) + C       " xÎI

Viene definita una funzione g(x) pari alla differenza tra G(x) ed F(x) , la sua derivata prima è la differenza delle derivate prime di G(x) e di F(x) le quali però coincidono con f di cui F e G sono primitive per ipotesi del teorema, quindi g´(x)= 0.

Applicando il teorema del valor medio si ottiene  e pertanto g(x₂) = g(x₁) e per la arbitrarietà di x₁ ed x₂ segue che g è costante quindi le 2 primitive F e G sono uguali a meno di una costante.

 

25) Se una funzione f definita su di un intervallo ha una discontinuità di 1ª specie Þ f non ammette primitive.

Se per assurdo dovesse esistere una primitiva, la sua derivata, ossia f avrebbe una discontinuità di 1ª specie il che è impossibile come dimostrato al punto 86) dove si affermava che se una funzione f è derivabile allora la sua derivata 1ª non può ammettere discontinuità di 1ª specie o di salto.

 

26) Se f è derivabile in un intervallo ed f ‘ è in esso limitata ossia esiste un L tale che | f ´(x) | £ L   Þ   f è lipschitziana nell´intervallo con costante di Lipschitz L ossia  .

Posso scegliere arbitrariamente x ed y e trovare per il teorema del valor medio un punto ad essi interno che ha la stessa derivata della retta che congiunge x ed y e siccome questa derivata deve essere £ L segue che questo sarà vero " x, y .

e dunque la funzione è lipschitziana.

 

27) Se una funzione è derivabile in (a,b) Þ

                a)            f ‘(x) ³ 0 " xÎ(a,b)                              Û                           f è crescente in (a,b)

                b)            f ‘(x) £ 0 " xÎ(a,b)                              Û                           f è decrescente in (a,b)

                c)            f ‘(x) > 0 " xÎ(a,b)                              Þ                           f è strettamente crescente in (a,b)

                d)            f ‘(x) < 0 " xÎ(a,b)                              Þ                           f è strettamente decrescente in (a,b)

Dimostro solo il caso a) in quanto le altre dimostrazioni sono analoghe.

Þ           Ipotizzando che sia a < x₁ < x₂ < b , applicando il teorema del valor medio, esisterà un punto c nel quale

                f(x₂) - f(x₁) = f ‘(c)(x₂ - x₁) ³ 0 in quanto f ‘(x) ³ 0 per ipotesi del teorema mentre (x₂ - x₁) ³ 0 in quanto x₁           precede x₂ per nostra ipotesi quindi f(x₂) ³ f(x₁) " x₁ , x₂ da cui segue che la funzione è crescente.

Ü           Se f è crescente allora il rapporto incrementale non può che essere ³ 0 e così pure la derivata 1ª che ne è il limite        per x ® x₀ .

28) Teorema di de L´Hopital :

Descrizione :    Se f e g sono 2 funzioni derivabili in (a,b) e soddisfano le 3 seguenti ipotesi :

                               a)           

                               b)            g´(x) ¹ 0                 per ogni   xÎ(a,b)

                               c)           

                               allora si ha che anche .

dalla c) deriva che vi deve essere un intorno   , del resto questa equivale alla  per il teorema di Cauchy infatti se f e g sono funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b)  allora, presi 2 punti x,y in un intorno destro di a, esiste un punto c Î (a,b) tale che . Al  tendere y®a⁺ , per la ipotesi a) si ha che   ossia  il che dimostra il teorema.

Approssimazione polinomiale

29-a) Formula di Taylor:

Descrizione :

Al fine di effettuare una approssimazione della f(x) per x®x₀ si estrapolano le seguenti osservazioni :

a) Se f(x) è continua   Þ f(x) = f(x₀) + o(1)                                        = T₀(x₀)

b) Se f(x) è derivabile Þ f(x) = f(x₀) + f ´(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀) = T₁(x₀)

In generale quindi la approssimazione si realizza imponendo il contatto di ordine n tra la funzione ed il polinomio, in particolare si dovrà avere T_n^(K)(x₀) = f ^(K) (x₀). Intuitivamente si deduce che il polinomio di Taylor di ordine n debba assumere la forma T_n(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + ... + a_n(x-x₀)ⁿ nella quale il valore del termine a_x può essere ricavato imponendo che T_n ^(K)(x₀) = f ^(K) (x₀)  Û  k !a_n = f ^(K) (x₀) e quindi a_n = (f ^(K) (x₀) )/ (k !) e si potrà in definitiva quindi scrivere il polinomio

 

29-b) Formula di Mac Laurin

Descrizione :   non è altro che la formula di Taylor con x₀ = 0.

 

30) Teorema di Peano

Descrizione : Se f è n volte derivabile in x₀ il polinomio di Taylor di grado n  è                   l´unico polinomio di grado £ n tale che :

                               a)            f(x) = T_n(x) + o((x-x₀)ⁿ)  per x®x₀

                                               b)            T_n^(K)(x₀) = f ^(K)(x₀)

b) deriva dalle considerazioni svolte nella costruzione del polinomio.

a) Che T_n(x) sia un polinomio con queste caratteristiche si ricava per induzione infatti :

                *             E´ vero per T₀(x) = f(x₀) + o(1)

                *             E´ vero per T₁(x) = f(x₀) + f ‘(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

                **           Supponiamo che sia vera per ogni funzione derivabile n-1 volte e si ha f(x) = T_{n - 1}(x) + o((x-x₀) ^{n - 1})

                               pertanto applicando de l´Hopital si ha che

                               Dove nell´ultimo passaggio si sfrutta  ** osservando che è il polinomio di Taylor di grado n -1                      di .

L´unicità del polinomio di Taylor si dimostra considerando un P(x+dx) di grado £ n tale che f(x) = P(x) + o((x-x₀) ⁿ ) per x®x₀ , del resto è anche f(x) = T_m(x) + o((x-x₀)ⁿ) , uguagliando si ha :    P(x) - T_n (x) = o((x-x₀) ⁿ ) e dato che entrambe i polinomi sono di grado £ n ne consegue che o((x-x₀) ⁿ ) non è in grado di assorbire nessun termine degli stessi e dunque P(x) = T_n(x).

 

31) Se f è derivabile in x₀Î(a,b) almeno n ³ 2 volte e se tutte le derivate di ordine inferiore ad n sono nulle in x₀ allora

                 n è pari                 Û           x₀ è un punto di minimo locale forte se la derivata ennesima di f in x₀ è > 0

                                                               x₀ è un punto di massimo locale forte se la derivata ennesima di f in x₀ è < 0

                 n è dispari            Þ           x₀ non è un punto di estremo

Dal teorema di Peano, considerando che tutte le derivate di ordine minore di n sono nulle in x₀ segue che

 per x ® x₀

se n è pari (x-x₀) ³ 0 e pertanto se f ⁽ⁿ⁾(x₀) > 0 allora c´è un minimo in x₀ in quanto in un suo intorno f(x) > f(x₀)

                                      mentre se f ⁽ⁿ⁾(x₀) < 0 allora c´è un massimo in x₀ in quanto in un suo intorno  f(x₀) > f(x)

se n è dispari il segno della f(x)-f(x₀) dipende sia dal segno della derivata che dalla posizione in cui si trova l´x considerato rispetto ad x₀ , in particolare si potrà notare che se ad esempio a sinistra f(x) > f(x₀) ebbene a destra si ha il contrario quindi x₀ non è un estremo locale.

Funzioni convesse

32) Una funzione è strettamente convessa in (a,b) Û   "  a < x₁ < x₂ < x₃ < b si ha la seguente relazione d´ordine :

                P(x₁,x₂) £ P(x₁,x₃) £ P(x₂,x₃)  essendo P la pendenza della congiungente i 2 punti.

 

33) Se ho una funzione convessa Þ

                a)            " xÎ(a,b) esistono finiti il limite delle derivate prime da destra e da sinistra

                b)            " xÎ(a,b) il limite della derivata prima da destra è maggiore del limite della derivata prima da sinistra

                c)            La derivata prima da destra e la derivata prima da sinistra sono crescenti in (a,b)

                d)            f è una funzione continua in (a,b)

a) L´esistenza del limite finito per le derivate destre e sinistre in ogni punto appartenente ad (a,b) si dimostra semplicemente prendendo 5 punti di cui quello centrale è x₀ , il 2° è x che tende ad x₀ da sinistra ed il 4° è y che tende ad x₀ da destra ebbene facendo tendere x a x_{0 ,}il limite della pendenza della congiungente corrisponde alla derivata prima da sinistra in x₀ ed è limitata superiormente (per il 95) dalla pendenza della retta che unisce x₀ con il 5° punto, pertanto questo limite esiste finito in quanto per una funzione monotona il limite esiste sempre, esso è +¥ se la funzione non è limitata mentre se la funzione è limitata, esisto finito il limite. Analogamente facendo tendere y a x₀ il limite della pendenza della congiungente corrisponde alla derivata prima da destra in x₀ ed è limitata inferiormente (per il 95) dalla pendenza della retta che unisce x₀ con il 1° punto.

b) La derivata da destra in x₀ è maggiore della derivata da sinistra in quanto ogni punto a destra di x₀ ha pendenza inferiore rispetto ad ogni punto a sinistra di x₀ effettuando il limite delle pendenze il teorema è dimostrato.

c) Si dimostra che f ´₊ è crescente ricordando che f ´₊ non è altro che il limite per h®0 di P(x , x+h), quindi considerando x₁ < x₂ si deve dimostrare che f ´₊(x₁) < f ´₊(x₂) ossia P(x₁ , x₁+h) < P(x₂ , x₂+h) il che avviene in base al 95) e disegnando una funzione convessa e sulle ascisse i punti a , x₁ , x₁ + h, x₂ , x₂ + h, b si hanno le due disuguaglianze  P(x₁ , x₁+h) < P(x₁ , x₂+h)  e P(x₁ , x₁+h) < P(x₁ , x₂+h) quindi si ha anche P(x₁ , x₁+h) < P(x₂ , x₂+h). Al  tendere h®0 il teorema è dimostrato.

d) L´esistenza del limite per la derivata prima sia da destra che da sinistra implica la continuità sia da destra che da sinistra infatti se una funzione è derivabile in un punto è anche continua in quel punto.

 

34) f è convessa in (a,b) Û esistono finite le derivate da destra e da sinistra in ogni punto e sono funzioni crescenti.

 

35-a) Se f è derivabile in (a,b) le seguenti affermazioni sono equivalenti:

                a)            f è (strettamente) convessa in (a,b)

                b)            f ‘ è strettamente crescente in (a,b)

                c)            " x₀Î(a,b) la funzione si trova al di sopra della retta tangente di migliore approssimazione lineare in x₀

a) e b) se ne dimostra l´equivalenza direttamente osservando che derivabile significa f ‘₊ = f ‘_- = f ‘ e poi applicando il 97).

c) se ne dimostra l´equivalenza ad a) ricordando che nel  96) avevamo stabilito che la pendenza rispetto ad x₀ è maggiore per i punti a destra di x₀ che non per i punti a sinistra di x₀ il che può essere riassunto nella formula f(x) - f(x₀) ³ f ‘(x₀)(x-x₀) che si può anche scrivere f(x) ³  f(x₀) + f ‘(x₀)(x-x₀) dove il 2° membro è la retta di migliore approssimazione lineare in x₀ .

 

35-b) Se f è 2 volte derivabile in (a,b) allora

                a)            f è convessa in (a,b)           Û           f ´´ ³ 0 in (a,b)

                b)            f ´´ > 0                                    Þ           f è strettamente convessa in (a,b)

La f convessa abbiamo visto nel 98-a) implica che la derivata prima è strettamente crescente pertanto essendo la derivata seconda corrispondente alla derivata prima di f ‘ essa è ³ 0 in quanto derivata di una funzione crescente.

 

36) Se f  ha un flesso in x₀ Î (a,b) ed è 2 volte derivabile in x₀ Þ f ‘´(x₀) = 0

Viene definita una funzione u(x) := f(x) - f(x₀) - f ‘(x₀)(x - x₀) , per essa si ha u´(x₀) = 0   Þ  u´(x) = f ‘(x) ed f ´(x) = 0 in quanto dal lato di x₀ dove f è convessa si ha u(x) ³ 0 mentre dalla altro lato dove f è concava si ha u(x) £ 0. Del resto per il 94) anche u´´(x₀) = 0 in quanto u(x) non ha un estremo locale in x₀ ed n è pari, del resto u´´(x₀) = f ´´(x₀) quindi f ‘´(x₀) = 0.

Errore nella approssimazione con il polinomio di Taylor

37) Se f  è una funzione n volte derivabile in [a,b] , n+1 volte derivabile in [a,b]/{0} e la derivata n-esima è continua in            [a,b] Þ  per ogni xÎ[a,b] x¹x₀ , esiste un q Î(0,1) :

Per dimostrare il teorema vengono definite 2 funzioni,

u(x) := f(x) - T_n(x)  le cui derivate in x₀ sino all´ordine n sono 0 mentre la derivata in x di ordine n+1 è uⁿ⁺¹(x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

v(x) := (x-x₀)ⁿ⁺¹      le cui derivate in x₀ sino all´ordine n sono 0 mentre la derivata in x di ordine n+1 è vⁿ⁺¹(x) = (n+1)!

Dovendo giungere al risultato che   applichiamo ricorsivamente il teorema di Cauchy sino a giungere alla derivata di ordine n+1 sfruttando in ogni passaggio che le derivate sino al grado n sono nulle in x₀ , in particolare, applicando una 1ª volta il teorema di Cauchy si identifica un punto y₁ nel quale il rapporto tra le due funzioni è pari al rapporto tra le 2 derivate prime. Applicando una 2ª volta questo teorema all´intervallo (x₀ , y₁) si determina un punto y₂ nel quale il rapporto delle derivate seconde è pari al rapporto delle funzioni. Procedendo ulteriormente, al passo n+1 si individua un punto y ^{n +1} nel quale è verificato quanto esposto dal teorema ossia .