Filtri numerici

1) Risposta impulsiva di un generico sistema numerico LTI :

Partendo dalla definizione di sistema LTI per il quale ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle rispettive uscite, si giunge alla seguente formulazione :

nella quale sia la produttoria a numeratore che quella a denominatore introducono sia poli che zeri.

Se N=0 il sistema non ha poli se non in z = 0 e si dice essere un filtro FIR, altrimenti se N>0 il sistema ha dei poli ciascuno dei quali contribuisce ad h(n) con una sequenza esponenziale, si dice essere un filtro IIR.

2) Considerazioni sulla scelta della regione di convergenza di un generico sistema numerico LTI :

Le regioni di convergenza della H(z) possono essere diverse, si tratta di regioni anulari limitate da poli, al variare della scelta della regione di convergenza R si ottiene una diversa h[n]. Si hanno i seguenti casi:

• Se il sistema è stabile allora R contiene il cerchio unitario
• Se il sistema è causale ne consegue che:
• R è esterna al cerchio passante per il polo di H(z) più lontano da z = 0 .
• I poli cadono all'interno del cerchio unitario
• La regione di convergenza contiene il cerchio unitario

3) Risposta in frequenza normalizzata :

Si ottiene dividendo la risposta in frequenza (.ottenuta sostituendo ) per la risposta in frequenza che si ha per f = 0

4) Filtro FIR :

E' caratterizzato dalla risposta impulsiva  e conseguentemente l'equazione alle differenze è  . La risposta in Z è   pertanto lo schema generale di un FIR è :

Si tratta di filtri stabili per definizione in quanto hanno soltanto degli zeri e nessun polo e che possono esser resi a fase lineare a patto di imporre .

5) Filtro IIR :

E' un filtro per il quale l'uscita è funzione anche dei suoi valori precedenti , lo schema generale:

Sono filtri che possono essere instabili ma rispetto ai FIR richiedono meno coefficienti a parità di qualità della risposta in frequenza tuttavia hanno fase fortemente non lineare.

6) Realizzazione di filtri IIR in forma diretta I :

E' costituito da una cascata di due reti, una che realizza i poli ed una che realizza gli zeri

7) Realizzazione di filtri IIR in forma diretta II :

E' una rete che presenta il numero minimo di rami e pertanto di ritardi