Filtri a microonde

Filtri non commensurati

1) Opzioni progettuali per filtri passivi a costanti distribuite :

a)       filtri non commensurati i quali utilizzano tratti di linea che non hanno tutti la stessa lunghezza

b)       filtri commensurati nei quali si hanno tratti di linea aventi tutti la stessa lunghezza cui si giunge mediante una trasformazione di frequenza

c)       utilizzo dei parametri immagine per caratterizzare una certa cella base, questo approccio è caduto in disuso

 

2) PLR :

Il Power Lost Ratio è il rapporto tra la potenza P_in in ingresso alla rete e la potenza P_T trasmessa al carico, in particolare si ha  , per un passa basso il P_LR vale 1 sino alla frequenza di taglio per poi tendere ad ¥ in maniera più o meno ripida a seconda che il filtro sia ideale o reale.

 

3) Tipologie di approssimazione :

Il P_LR nel caso di approssimazione di Butterworth vale  ed ha pertanto la forma di una parabola centrata in w = 0 . Nel caso di approssimazione di Chebyshev invece si ha  dove  sono i polinomi di Chebyshev.

 

4) Realizzazione di filtri passabasso :

Le tipologie di filtri passabasso che realizzano le approssimazioni di Butterworth e di Chebyshev sono differenti a seconda che sia N pari o N dispari ma in definitiva si tratta sempre di reti a scala costituite da capacità parallelo ed induttanze serie alimentate da un generatore di tensione dotato di impedenza interna e chiuse su una resistenza unitaria. Dobbiamo mutare questa rete a parametri concentrati valida a bassa frequenza in una rete a parametri distribuiti valida a frequenze di almeno qualche GHz , per ottenere ciò vi sono due approcci :

a)       le induttanze vengono sostituite con un tratto di linea corto e ad alta Z_C (…pertanto una linea molto stretta) mentre le capacità parallelo la cui matrice di trasmissione è vengono sostituite con un tratto di linea avente q piccola e Z_C piccola, in tal caso si ha infatti da cui eguagliando le due matrici ottengo  pertanto si ha   dove n è la velocità di propagazione sulla linea. La vera incognita è però la lunghezza l della linea , essa vale  .

b)       ricordando che la matrice Z del tronco di linea è  ed essendo note le relazioni tra gli elementi di una rete a T ed i coefficienti della sua matrice Z si ottiene per le impedenze longitudinali della stessa   mentre per l´impedenza trasversale si ha semplicemente . Ipotizzando q piccolo e pensando di realizzare Z_a e Z_b con una induttanza, ottengo per essa l´espressione  analogamente immaginando di realizzare Z_c con una capacità ottengo per essa . Questo modello si riconduce a quello della semplice capacità nel caso si faccia l´ipotesi di Z_c piccola. In maniera analoga si può pensare ad una rete a p che si comporti come una induttanza

Il filtro risultante è dato dalla serie di tratti di linea stretti che simulano l´induttanza e tratti di linea larghi che simulano le capacità, in realtà poi ci sarebbero anche da considerare i parassiti dovuti alle brusche transizioni.

 

5) Realizzazione di filtri passabanda :

Per passare dai passabasso di Chebyshev o Butterworth ai corrispondenti passabanda si utilizza la trasformazione  dove  w´ è la frequenza del passabasso ed w è la frequenza del passabanda inoltre. L´impatto circuitale di questa trasformazione si può ottenere uguagliando l´impedenza  di ogni induttanza L_k presente nel passabasso con l´impedenza della serie di una induttanza  ed una capacità  cioè , si ottiene   e  . In maniera ragionando sulle ammettenze si ottiene che le capacità del passabasso si trasformano nel parallelo di una capacità  e di una induttanza  .

 

6) Invertitore d´impedenza ed invertitore d´ammettenza :

Si tratta di reti che ci consentono di realizzare reti passabanda non commensurate con parametri distribuiti in particolare l´invertitore di impedenza è una rete che chiusa su di un carico Z_b presenta in ingresso una impedenza  mentre l´invertitore di ammettenza è una rete che chiusa su un carico Y_b presenta in ingresso una ammettenza . Gli elementi della matrice Z della invertitore di impedenza si ricavano dalla  imponendo infatti che sia uguale a  si ottiene che deve essere Z₁₁ = Z₂₂ = 0  e  , ricordando poi la relazione tra gli elementi della matrice Z e quelli della matrice di trasmissione si ha che per essa A = D = 0 .

Gli elementi della matrice Y della invertitore d´ammettenza si ottengono dall´uguaglianza  , si deve avere infatti Y₁₁ = Y₂₂ = 0   e     anche in questo caso pertanto per la corrispondente matrice di trasmissione si ha A = D = 0 .

 

7) Realizzazione pratica di un invertitore d´ammettenza :

L´invertitore d´ammettenza è il più utilizzato nella realizzazione di passabanda non commensurati in mstriscia, una possibile realizzazione è data dalla cascata di un tratto di linea avente impedenza Z₀ e lunghezza f/2 , una ammettenza serie di valore  ed un secondo tratto di linea uguale al precedente. La matrice di trasmissione risultante è il prodotto delle tre matrici , e a noi interessa porre A=0 che è una delle condizioni per realizzare un invertitore di ammettenza, si ottiene  mentre ponendo  si ottiene  e quindi .

 

8) Realizzazione di un passa banda con invertitore d´impedenza :

In parallelo al carico R_L del passabanda abbiamo una cella risonante parallelo costituita da  e  seguita da una cella risonante serie costituita da  e , l´impedenza d´ingresso di questa sottorete è :   , la uguagliamo alla impedenza d´ingresso  di una rete costituita dal carico R_0L , un invertitore d´impedenza K₁₀ , una cella risonante serie L₀₁ C₀₁ , un invertitore d´impedenza K₂₁ ed una seconda cella risonante serie L₀₂ C₀₂ , si ottengono i valori degli invertitori e  cioè   e  .

È possibile risalire verso il generatore semplicemente sostituendo la resistenza di carico R_L con una impedenza  nella schematizzazione precedente senza invertitori e sostituendo la resistenza R_0L con una impedenza nella schematizzazione con invertitori, si ottengono quindi i valori degli invertitori di impedenza , in particolare   e  . Passiamo ora ad analizzare la cella risonante  e  più vicina al generatore ed alla sua resistenza interna R_g , nel circuito con invertitori avremo la cella risonante  e  e la resistenza interna del generatore, possiamo pertanto mediante una proporzione ricavare l´impedenza interna del generatore   , se essa è diversa dal valore desiderato basta semplicemente inserire un ulteriore invertitore che va inserito anche nel caso di N dispari per il quale la cella risonante più vicina al generatore è di tipo parallelo. Rimangono ora da realizzare i risonanti serie con delle linee di trasmissione lunghe l/2 si ottiene  dalle quali si può determinare l´impedenza caratteristica di queste linee.

 

9) Realizzazione di un passa banda con invertitore d´impedenza :

In maniera complementare a quanto fatto con gli invertitori di impedenza, la rete passabanda può essere realizzata utilizzando degli invertitori di ammettenza aventi valori   e    intervallati da circuiti risonanti parallelo che possono essere realizzati mediante delle linee lunghe l/2 , in particolare uguagliando le derivate rispetto ad w degli elementi C delle matrici di trasmissione si giunge alla relazione  che consente di determinare l´impedenza caratteristica della linea lunga l/2 .

10) Filtri passa banda a gap capacitivo :

Questa realizzazione utilizza invertitori di impedenza costituiti da 2 tratti di linea f/2 inframmezzati da una capacità, i due invertitori sono poi separati da un risonatore parallelo realizzato con un tratto di linea lungo l/2 e avente impedenza caratteristica Z_c che si pone uguale a Z₀ , i valori delle capacità possono essere ricavati con la formula  posso pertanto determinare i  essendo il risonante serie descritto da mentre il risonante parallelo è descritto da  dove i g_K sono i coefficienti del passabasso di partenza.

Nella fattispecie per il primo invertitore si ha  mentre per l´invertitore prossimo al generatore si ha  nel caso di N dispari e  nel caso di N pari..

Noti i J è possibile determinare le suscettanze degli invertitori mediante la relazione  e le lunghezze  ne segue che le suscettanze sono separate da tratti di linea lunghi . Il problema principale di questo filtro sono le eccessive dimensioni.

 

11) Filtri passa banda a linee accoppiate :

A banda stretta si ha che una coppia di invertitori di ammettenza separati da un tratto di linea lungo l/2 (…la matrice di trasmissione della struttura ha    e     )   è equivalente a delle linee accoppiate chiuse su di un aperto ai lati opposti (… caratterizzata da    e    ).

Eguagliando tra loro le equazioni di A e le equazioni di B nonché delle loro derivate si giunge alle due equazioni di progetto     e     .

 

12) Realizzazione pratica di filtri passabanda a microstriscia :

Si parte dalle due frequenze di taglio a –3dB del passabanda, f₁ e f₂ , si ricava la frequenza centrale  e tramite la trasformazione in frequenza si determina la w del passabasso, essa insieme alla desiderata pendenza del filtro consente di determinare l´ordine N e quindi di estrarre dalle tabelle i valori dei componenti concentrati del filtro di Butterworth. A questo punto abbiamo N+1 invertitori separati da linee lunghe l/2 ed aventi impedenza Z₀ , il coefficiente del primo invertitore si trova con la formula mentre quelli dei restanti con la possiamo implementare le due seguenti realizzazioni :

a)       per il filtro a gap capacitivi le suscettanze sono immediatamente calcolabili e da esse le capacità e la distanza tra due capacità successive.

b)       Per il filtro a linee accoppiate dai J_K+1,K  si ricavano immediatamente Z_0e e Z_0o che determinano le larghezze delle linee mentre le lunghezze sono tutte pari a l/2.

Filtri commensurati

13) Trasformazione di Richard :

È una trasformazione periodica in quanto utilizza la tangente, si ha  dove w´ è la pulsazione nel passa basso mentre w è la pulsazione nel passa banda , del resto in realtà anche nel caso di filtri non commensurati si ottenevano delle risposte periodiche anche se noi abbiamo analizzato il solo comportamento passa-banda.

L´utilità di questa trasformazione è che consente di realizzare una capacità C_K con uno stub aperto lungo l/4 ed avente impedenza caratteristica C_K  mentre una induttanza di valore L_K viene realizzata con uno stub in corto lungo l/4 ed avente impedenza caratteristica L_K  .

Il problema che sorge è che nei filtri passa basso da cui si parte per ottenere i passa banda le induttanze sono in serie e quindi non possono essere sostituite con stub in quanto lo stub è sempre in parallelo, per le capacità invece non ci sono problemi e ad esse si cercherà di ricondursi mediante l´utilizzo degli elementi unitari di Kuroda.

 

14) Elemento unitario di Kuroda :

È un dispositivo due porte caratterizzato da una impedenza caratteristica Z₁ e da una lunghezza  pertanto alla frequenza di lavoro è sostanzialmente un l/4 , la sua matrice di trasmissione si ricava a partire dalla matrice di trasmissione di un tratto di linea di trasmissione lungo q  ossia  , in essa si può sostituire   infatti      ne segue che   pertanto  da ci si ottiene il valore di cosq. Del resto si ha anche  pertanto la matrice di trasmissione diviene  .

 

15) Equivalenze che coinvolgono gli elementi unitari di Kuroda :

Si possono dimostrare le due seguenti equivalenze :

a)       un elemento unitario con impedenza Z₁ avente in ingresso una capacità parallelo C è equivalente ad un elemento unitario con impedenza Z₂ avente in uscita una induttanza serie L

La matrice di trasmissione della struttura con la capacità è  mentre quella della struttura con l´induttanza è  i termini A sono uguali mentre dal termine B otteniamo la relazione  , dal termine C la relazione  ed infine dal termine D la relazione , a questo punto sono possibili le due vie seguenti :

·         Supponiamo noti Z₁ e C e poniamo , sostituendo nella  si ottiene mentre sostituendo nella  si ottiene

·         Supponiamo noti Z₂ e L e poniamo , sostituendo nella  si ottiene  mentre sostituendo nella  si ottiene

b)       un elemento unitario con impedenza Z₁ avente in ingresso una induttanza serie L è equivalente ad un elemento unitario avente in uscita una capacità parallelo C

La matrice di trasmissione della struttura con la induttanza è  mentre quella della struttura con la capacità è  i termini D sono uguali mentre dal termine A otteniamo la relazione  , dal termine B la relazione  ed infine dal termine C la relazione , a questo punto sono possibili le due vie seguenti :

·         Supponiamo noti Z₁ e L e poniamo , sostituendo si ottiene  e 

·         Supponiamo noti Z₂ e C e poniamo , sostituendo si ottiene e

 

16) Realizzazione di filtri passa banda mediante gli elementi unitari di Kuroda :

Consideriamo un passa basso del 4° ordine costituito da 2 induttanze serie e 2 capacità parallelo, inseriamo a monte un elemento unitario di Kuroda con impedenza Z₀ , esso non modifica la ampiezza della uscita, trasformiamo poi l´induttanza serie posta alla sua uscita in una capacità parallelo posta al suo ingresso a monte della quale si aggiunge un altro U.E. entrambi ora hanno alla loro uscita una capacità in parallelo e vengono trasformati in altri 2 U.E. aventi in ingresso una induttanza serie , a questo punto si aggiunge a monte un altro U.E. e si utilizza per tutti e tre la trasformazione che consente di passare da un U.E. con una induttanza serie alla sua uscita ad un U.E. con una capacità parallelo al suo ingresso. Le capacità del filtro ottenuto vengono realizzate con degli stub aperti mentre gli U.E. si realizzano con dei tratti di linea tutti di lunghezza l/4 alla frequenza di lavoro pertanto il filtro è di tipo commensurato.

 

16bis) Utilizzo delle linee accoppiate nei filtri commensurati :

Partendo da un passa basso di Butterworth, si giunge ad una configurazione costituita soltanto da elementi unitari di Kuroda aventi in uscita una induttanza serie, tale blocco può essere sostituito con delle linee accoppiate in particolare il segnale d´ingresso fuoriesce alla altro capo della medesima linea in modo da consentire il passaggio della continua mentre la linea accoppiata è chiusa in corto da un lato e su di un aperto dalla altro lato.

La condizione affinché la sostituzione sia valida è che abbiano la medesima matrice di trasmissione, procedendo pertanto nella maniera consueta si ottengono  e  da cui con le note eguaglianze si ha   e    inoltre  .

A questo punto eguagliando il B trovato per le linee accoppiate al B precedentemente trovato per U.E. più induttanza si ottiene l´equazione  mentre eguagliando i termini C otteniamo l´equazione  quindi risolvendo l´equazione quadratica  si ottengono     e      che consentono la progettazione del filtro.