Sintesi di reti passive

1) Impedenza driving-point di una rete e funzioni di energia :

Le equazioni di Kirchoff ai nodi possono essere scritte in forma matriciale  dove i(t) è il vettore delle correnti ed A è la matrice d´incidenza la quale trasposta relaziona anche il vettore v(t) delle tensioni ai rami con il vettore v_n(t) delle tensioni ai nodi  . tramite queste relazioni si giunge all´espressione della potenza  dove b è il numero dei rami costituenti il circuito , la trasformata di Laplace è  da cui  che nel caso di una rete LC si riscrive  essendo T₀(s)  e  V₀(s)  funzioni di energia che sono sempre reali e non negative.

 

2) Proprietà delle funzioni LC driving-point :

Gli zeri si trovano sulla asse jw infatti ponendo   si trova   che è immaginario in quanto le funzioni di energia T₀ e V₀  sono reali e positive. Ragionando sulla funzione ammettenza si trova un analogo risultato per i suoi zeri e quindi poli e zeri di immettenze LC driving-point si trovano sulla asse immaginario, essi inoltre sono semplici e si alternano infatti imponendo lo stato stazionario sinusoidale s = 0 si ottiene  ossia l´impedenza diviene puramente immaginaria ed è detta reattanza e la sua derivata è    e  quindi X(w) è monotona crescente il che è possibile solo se poli e zeri sono semplici e si alternano . Si ha inoltre che il comportamento nell´origine o ad infinito è quello di un polo o di uno zero il che implica che numeratore e denominatore debbono differire per 1 grado. In base ai ragionamenti precedenti si può scrivere  dove i c_i debbono essere reali e positivi.

 

3) Sintesi di funzioni LC driving-point :

a)       Metodi di Foster

Se dobbiamo sintetizzare una funzione impedenza  basta mettere in serie una induttanza di valore  , un condensatore di valore  ed alcuni paralleli di induttanze di valore  e condensatori di valore  con .

Se dobbiamo invece sintetizzare una funzione ammettenza  basta mettere in parallelo una induttanza di valore , un condensatore di valore K_¥ ed alcune serie di induttanze di valore  e condensatori di valore .

I metodi di Foster sono realizzazioni canoniche in quanto utilizzano il minimo numero possibile di elementi.

 

b)       Forme di Cauer

Sono due metodi basati sull´utilizzo delle frazioni continue e sul fatto che rimuovendo da una funzione LC-realizzabile un polo nell´origine o un polo all´infinito si ottiene ancora una funzione LC-realizzabile

 

b1) rimozione dei poli all´infinito

        Se Z_LC(s) ha un polo all´infinito il circuito realizzante ha un´induttanza in serie di valore  , rimuovendo questo polo rimane una funzione Z_LC  con un polo nell´origine cui corrisponde una Y₁ = 1 / Z_LC  avente un polo all´infinito che può essere rimosso ed al quale corrisponde un condensatore in parallelo con valore  , si prosegue così finché non è stata realizzata tutta la funzione Z₃(s).

 

b2) rimozione dei poli nell´origine

        Se Z_LC(s) ha un polo nell´origine il circuito realizzante ha un condensatore in serie di valore 1/a , lo si rimuove e si prosegue come sopra.

 

4) Poli di funzioni di trasferimento :

Per una rete LC i poli della funzione di trasferimento sono semplici e si trovano sulla asse jw, per reti RC ed RL sono semplici e si trovano sulla asse reale negativo mentre per reti RLC sono ovunque ed anche non semplici. Non tutti i poli delle funzioni driving-point sono presenti nelle funzioni di trasferimento, quelli non presenti sono detti poli privati mentre tutti i poli sulla asse jw della funzione di trasferimento debbono essere presenti nelle funzioni driving-point in quanto debbono verificare la condizione sui residui  dove k_ij è il residuo di z_ij(s) nel polo s = jw_i .

I poli non appartenenti alla asse jw possono anche non essere presenti nelle funzioni driving-point.

5) Condizione di Fialkow :

Ogni rete a scala di ammettenze può essere ridotta ad una rete p costituita da ammettenze non negative mediante trasformazioni t « p  , si ha    ,      ,     , se ne deduce la condizione di Fialkow secondo la quale i coefficienti del numeratore di –y₁₂(s) debbono essere non negativi e più piccoli rispetto ai rispettivi coefficienti di y₂₂(s) ed y₁₁(s) , ne segue che non ci possono essere zeri sul semiasse positivo.

6) Funzioni di trasferimento adimensionali :

dove P(s) contiene i poli privati della funzione driving-point ed N₁₁(s) i suoi zeri mentre N₂₁(s) contiene gli zeri della funzione di trasferimento. I coefficienti del numeratore e quelli del denominatore sono poi soggetti alla condizione di Fialkow. Analoghe considerazioni si applicano poi alla  .

 

7) Condizioni sulla parte reale dei parametri di una rete passiva :

tali condizioni derivano dal fatto che un valore negativo di queste parti reali implicherebbe energia fornita dalla rete al generatore il che non è possibile per una rete passiva.

 

8) Zeri delle reti a scala :

Consideriamo una rete a scala costituita da un´impedenza shunt Z₁ , un´impedenza serie Z₂ ed una rete passiva z_ij´ , la funzione di trasferimento è  da cui si evince che gli zeri di trasmissione di una rete a scala sono prodotti dagli zeri delle impedenze shunt e dai poli delle impedenze serie e si trovano quindi nel semipiano sinistro e sulla asse jw .

 

9) Sintesi di funzioni di trasferimento utilizzando reti a scala senza perdite:

I polinomi di Hurwitz hanno tutti i coefficienti positivi e non nulli ed i zeri sono tutti nel semipiano sinistro, una loro importante proprietà è che il rapporto della parte pari con la parte dispari o viceversa è realizzabile come una immettenza LC driving-point. Considerando una rete LC chiusa su di un resistore i poli possono essere ovunque nel semipiano sinistro quindi il denominatore della funzione di trasferimento è un polinomio di Hurwitz mentre gli zeri sono sulla asse jw, si ha   ne deriva che se N(s) è pari allora   ed     ed y₂₂(s) è LC-realizzabile come pure se N(s) è dispari si ha   e   .  Se la y₂₂(s) da realizzare possiede dei poli privati rispetto alla y₂₁(s) allora questi andranno rimossi aggiungendo al circuito l´elemento adatto a rappresentarli.

 

10) Sintesi di funzioni di trasferimento con zero shifting :

Nel caso che gli zeri della funzione di trasferimento sono posizionati ovunque in coppie simmetriche sulla asse jw , si utilizza la tecnica dello spostamento degli zeri che consiste nel diminuire il potere del polo all´infinito sottraendogli una quantità in modo da far si che y₂₂(s) ed y₂₁(s) abbiano gli stessi zeri. Questa tecnica viene utilizzata per realizzare le approssimazioni Chebyshev-Inverso ed ellittiche le quali richiedono zeri sulla asse jw . Nella pratica si deve sottrarre alla y₂₂(s) un termine Y₀ = Ks dove  .

11) Reti a scala senza perdite doppiamente caricate :

Questa configurazione oltre a comprendere il carico R₂ e la resistenza R₁ interna al generatore ha anche ottime proprietà di sensibilità. Siccome la rete interna è LC allora P_in(jw) = P_out(jw) , ne segue

dove  è la funzione trasduttore e    è la funzione caratteristica . Mediante continuazione analitica si ottiene  che può essere anche espressa in una delle due seguenti forme :

                   ,                     .

 

12) Scalatura della funzione trasduttore  :

Ha lo scopo di aumentare la sensibilità ed il guadagno moltiplicando la funzione trasduttore per una opportuna costante.