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Approssimazione di funzioni 1) Algoritmo di approssimazione : a) Scelta della funzione approssimante e della norma b) Verifica della esistenza della soluzione c) Verifica della unicità della soluzione d) Esame delle caratteristiche e delle proprietà della soluzione e) Calcolo della soluzione
2) Errore pesato tra una funzione da approssimare e la sua approssimante :
essendo S(y) la funzione da approssimare, F(f,y) la approssimante ed w(y) la funzione peso la quale consente in alcuni casi di ottenere l´ottimo anche utilizzando una norma differente da quella che si reputa necessaria.
3) Norma p-esima : con 1 £ p £ ¥ nel caso di p = 1 minimizzare la norma corrisponde a rendere minima la area compresa tra le due funzioni mentre per p®¥ significa minimizzare lo scarto massimo in valore assoluto tra le due funzioni, in quest´ultimo caso si parla di norma di Chebyshev che può essere ricavata con metodi iterativi in un n° notevole di passi. La norma più comoda si ha per p = 2 in quanto è sempre possibile il calcolo della approssimante in forma chiusa. 4) Approssimazione nella norma di Chebyshev : Si parla di approssimazione minimax in quanto ci si propone di rendere minimo lo scarto massimo tra funzione approssimata e funzione approssimante mediante opportuna scelta dei coefficienti di un polinomio o di una funzione razionale che costituiscono il polinomio approssimante.
5) Migliore approssimante nella norma di Chebyshev : Condizione necessaria e sufficiente affinché F(f,y) sia la migliore approssimante di S(y) (… funzione continua in I) è che la curva errore abbia almeno n alternanze in I ossia vi sono n+1 punti nei quali essendo n il n° dei componenti del vettore f. Se j appartiene ad un insieme discreto formato da n+1 punti la migliore approssimazione si ottiene risolvendo il sistema lineare . Se invece j appartiene ad un insieme discreto formato da più di n+1 punti occorre individuare un insieme estremale composto da n+1 punti sul quale la migliore approssimazione corrisponda alla migliore approssimazione sull´insieme di partenza.
6) Approssimazione polinomiale minimax : Il polinomio che si allontana meno da una funzione continua assegnata è determinato univocamente in quanto il n° di punti consecutivi in corrispondenza dei quali Pn(y) –S(y) assume con segni alternati il valore massimo è non minore di n+2, esso verifica cioè le relazioni e . Non essendo noto l´insieme estremale esso può essere calcolato con metodi iterativi mediante la algoritmo di Remel o di Stiefel. 7) Algoritmo di Remel : a) Data una funzione da approssimare S(y) ed un polinomio approssimante si scelgono n+2 punti della stessa e si scrivono le equazioni , che può essere risolto rispetto alle n+2 incognite aj individuando in tal modo il polinomio approssimante b) Per ogni punto y si calcola la funzione errore, se essa si alterna almeno n+1 volte e non assume valori assoluti maggiori di |E| si è raggiunto l´ottimo altrimenti occorre variare l´insieme dei punti selezionati includendo i punti che presentano errore con valore assoluto maggiore di |E| scelti sempre col criterio della alternanza della errore tra punti consecutivi.
8) Algoritmo di Stiefel : a) data la funzione S(y) assegnata mediante un numero finito di punti, se ne scelgono n+2 per formare un polinomio di ordine n b) si calcolano le quantità con 1 = 1, 2, … , n+2 c) Si calcola la deviazione massima d) si calcola per interpolazione il polinomio Pn(y) usando i primi e gli ultimi n+1 punti della insieme {yi} e) si calcola l´errore in corrispondenza di tutti i punti della insieme prescelto e si sceglie il punto corrispondente all´insieme più alto, tale punto viene sostituito a quello più vicino nel quale si ha l´errore dello stesso segno f) si itera sin quando non si ottiene l´errore ottimo. 9) Approssimazione minimax mediante funzioni razionali : Si utilizza ancora la algoritmo di Remes che però, essendo la approssimante razionale, dà luogo ad un sistema non lineare che può essere risolto in uno dei seguenti modi : a) utilizzando artifici per eliminare la non-linearità Il sistema viene riscritto nella forma dove se nota è semplicemente una funzione peso, in particolare si procede come segue : a1) si fissano arbitrariamente dei coefficienti iniziali per B(y) e si risolve il corrispondente problema di approssimazione pesata minimax a2) si procede risolvendo al generico passo n il problema minimax a3) se il procedimento converge ad un generico passo L si ha BL-1(y) @ BL(y) b) Risolvendo il sistema non lineare b1) nei metodi diretti si assume temporaneamente nota la quantità E b2) metodi indiretti |