Approssimazione di funzioni
1) Algoritmo di approssimazione :
a) Scelta della funzione approssimante e della norma
b) Verifica della esistenza della soluzione
c) Verifica della unicità della soluzione
d) Esame delle caratteristiche e delle proprietà della soluzione
e) Calcolo della soluzione
2) Errore pesato tra una funzione da approssimare e la sua approssimante :
essendo S(y) la funzione da approssimare, F(f,y) la approssimante ed w(y) la funzione peso la quale consente in alcuni casi di ottenere l´ottimo anche utilizzando una norma differente da quella che si reputa necessaria.
3) Norma p-esima :
con 1 £ p £ ¥
nel caso di p = 1 minimizzare la norma corrisponde a rendere minima la area compresa tra le due funzioni mentre per p®¥ significa minimizzare lo scarto massimo in valore assoluto tra le due funzioni, in quest´ultimo caso si parla di norma di Chebyshev che può essere ricavata con metodi iterativi in un n° notevole di passi. La norma più comoda si ha per p = 2 in quanto è sempre possibile il calcolo della approssimante in forma chiusa.
4) Approssimazione nella norma di Chebyshev :
Si parla di approssimazione minimax in quanto ci si propone di rendere minimo lo scarto massimo tra funzione approssimata e funzione approssimante mediante opportuna scelta dei coefficienti di un polinomio o di una funzione razionale che costituiscono il polinomio approssimante.
5) Migliore approssimante nella norma di Chebyshev :
Condizione necessaria e sufficiente affinché F(f,y) sia la migliore approssimante di S(y) (… funzione continua in I) è che la curva errore 
abbia almeno n alternanze in I ossia vi sono n+1 punti nei quali 
essendo n il n° dei componenti del vettore f.
Se j appartiene ad un insieme discreto formato da n+1 punti la migliore approssimazione si ottiene risolvendo il sistema lineare 
. Se invece j appartiene ad un insieme discreto formato da più di n+1 punti occorre individuare un insieme estremale composto da n+1 punti sul quale la migliore approssimazione corrisponda alla migliore approssimazione sull´insieme di partenza.
6) Approssimazione polinomiale minimax :
Il polinomio 
che si allontana meno da una funzione continua assegnata è determinato univocamente in quanto il n° di punti consecutivi in corrispondenza dei quali Pn(y) –S(y) assume con segni alternati il valore massimo è non minore di n+2, esso verifica cioè le relazioni 
e 
.
Non essendo noto l´insieme estremale esso può essere calcolato con metodi iterativi mediante la algoritmo di Remel o di Stiefel.
7) Algoritmo di Remel :
a) Data una funzione da approssimare S(y) ed un polinomio approssimante si scelgono n+2 punti della stessa e si scrivono le equazioni , che può essere risolto rispetto alle n+2 incognite aj individuando in tal modo il polinomio approssimante
b) Per ogni punto y si calcola la funzione errore, se essa si alterna almeno n+1 volte e non assume valori assoluti maggiori di |E| si è raggiunto l´ottimo altrimenti occorre variare l´insieme dei punti selezionati includendo i punti che presentano errore con valore assoluto maggiore di |E| scelti sempre col criterio della alternanza della errore tra punti consecutivi.
8) Algoritmo di Stiefel :
a) data la funzione S(y) assegnata mediante un numero finito di punti, se ne scelgono n+2 per formare un polinomio di ordine n
b) si calcolano le quantità 
con 1 = 1, 2, … , n+2
c) Si calcola la deviazione massima 
d) si calcola per interpolazione il polinomio Pn(y) usando i primi e gli ultimi n+1 punti della insieme {yi}
e) si calcola l´errore in corrispondenza di tutti i punti della insieme prescelto e si sceglie il punto corrispondente all´insieme più alto, tale punto viene sostituito a quello più vicino nel quale si ha l´errore dello stesso segno
f) si itera sin quando non si ottiene l´errore ottimo.
9) Approssimazione minimax mediante funzioni razionali :
Si utilizza ancora la algoritmo di Remes che però, essendo la approssimante razionale, dà luogo ad un sistema non lineare che può essere risolto in uno dei seguenti modi :
a) utilizzando artifici per eliminare la non-linearità
Il sistema viene riscritto nella forma 
dove 
se nota è semplicemente una funzione peso, in particolare si procede come segue :
a1) si fissano arbitrariamente dei coefficienti iniziali per B(y) e si risolve il corrispondente problema di approssimazione pesata minimax 
a2) si procede risolvendo al generico passo n il problema minimax 
a3) se il procedimento converge ad un generico passo L si ha BL-1(y) @ BL(y)
b) Risolvendo il sistema non lineare
b1) nei metodi diretti si assume temporaneamente nota la quantità E
b2) metodi indiretti
