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Elementi di meccanica quantistica 1) Equazioni di Hamilton - Jacobi :
sono equazioni in grado di descrivere completamente l´evoluzione temporale di un sistema di cui sia nota l´hamiltoniana.
2) Confronto tra le onde ed i sistemi classici di particelle : Posizione, velocità ed energia di una particella classica possono essere definite con precisione infinita mentre per un´onda se è noto il k non è noto x e viceversa.
3) Cause della crisi della meccanica classica : I seguenti effetti non trovano spiegazione con la meccanica classica : Spettro di emissione del corpo nero La teoria classica di Rayleigh e Jeans ha determinato che per l®0 la energia emessa dal corpo nero tende ad infinito, mentre nella realtà sperimentale tende a 0, l´ipotesi di Planck è che lo scambio di energia tra le pareti del corpo nero e la radiazione avvenga in forma quantizzata multipli di un quanto E0= hn . Effetto fotoelettrico Si tratta della emissione di elettroni da parte di un solido investito da un fascio di luce, sperimentalmente si ha che se la frequenza del fotone incidente è minore di un minimo non si estrae nessun elettrone indipendentemente dal numero di fotoni incidenti mentre se la frequenza è maggiore basta anche un solo fotone per estrarre un elettrone ed il numero è proporzionale al numero dei fotoni incidenti. La spiegazione venne fornita da Einstein il quale ipotizzò che l´onda elettromagnetica ceda agli elettroni energia in multipli di un quanto elementare E0=hn . Modello atomico di Bohr Lo spettro di emissione di un atomo risulta caratterizzato da righe ben distinte, il motivo di ciò è stato trovato nel modello di Bohr il quale prevede che gli elettroni possano ruotare intorno al nucleo soltanto su orbite stazionarie ben definite dalla quantizzazione del momento angolare e che su tali orbite gli elettroni non emettono radiazione.
4) Lunghezza d´onda di De Broglie :
è una relazione importante in quanto lega una grandezza corpuscolare ad una grandezza ondulatoria.
5) Equazione di Schroedinger :
6) Principio di corrispondenza :
7) Equazione di continuità :
8) Prodotto scalare di funzioni d´onda :
9) Valore atteso di un osservabile :
nel caso di operatori hermitiani si ha che il valore atteso è una grandezza reale.
10) Soluzione della equazione di Schroedinger nel caso di potenziale indipendente dal tempo : È possibile scomporre il potenziale nel prodotto f(r,t) = T(t) u(r) che per la parte dipendente dal tempo ha soluzione mentre la parte dipendente dal tempo da luogo all´equazione agli autovalori che ha soluzione generale .
11) Principio d´indeterminazione :
è un principio che deriva dalla non commutatività tra l´operatore posizione e l´operatore quantità di moto.
12) Funzione d´onda della particella libera : Si tratta di un´onda piana e l´elettrone ha quantità di moto .
13) Funzione d´onda della particella in una buca di potenziale a pareti infinite : Assumendo il potenziale nullo tra –a ed a ed ¥ all´esterno, si ha che i livelli di energia concessi assumono valori e la funzione d´onda per n dispari vale mentre per n pari vale .
14) Funzione d´onda della particella in una buca di potenziale a pareti finite : Assumendo il potenziale nullo tra –a ed a ed U0 all´esterno, si trova che i livelli energetici son quelli che soddisfano le equazioni trascendenti per soluzioni pari e per soluzioni dispari essendo e .
15) Energie quantizzate nel caso di un oscillatore armonico : I livelli energetici permessi sono pertanto si ha una energia minima non nulla per n = 0 ed i livelli quantici sono distanziati tra loro di multipli di .
16) Probabilità di Tunneling : La probabilità di Tunneling diminuisce esponenzialmente alla aumentare della larghezza d della barriera ossia .
17) Densità di stati nei casi tridimensionale, bidimensionale, monodimensionale : Nel caso della particella libera 3D si ha , per la particella in una buca di potenziale a pareti infinite ossia libera 2D si ha mentre per il filo quantico ossia la particella libera 1D si ha
18) Funzione di distribuzione per particella classica, fermione, bosone : La funzione di distribuzione f(E) rappresenta la probabilità che lo stato ad energia E ha di essere occupato, per una particella classica si ha la distribuzione di Maxwell-Boltzmann , per i fermioni caratterizzati da spin semintero invece si ha la distribuzione di Fermi-Dirac ed infine per i bosoni aventi spin intero si ha la funzione di distribuzione di Bose-Einstein . |