Grafi di flusso e matrici per la rappresentazione di filtri numerici

1) Nomenclatura :

Il nodo sorgente è un nodo che non ha rami entranti, l´uscita di un ramo che congiunge un nodo sorgente j con un nodo di rete k è indicata con s_jk  mentre un nodo destinazione è un nodo che non ha rami uscenti, l´uscita di un nodo che connette un nodo di rete j con un nodo di destinazione k è indicata con r_jk . Inoltre il valore del nodo j è indicato con w_j mentre il segnale d´uscita dal ramo jk al nodo k è indicato con v_jk .

 

2) Insieme delle equazioni rappresentate da un grafo :

che in sostanza affermano che il valore di un nodo è dato dalla somma dei segnali d´uscita dai rami che lo connettono sia ai nodi di rete che ai nodi di sorgente mentre il valore di un nodo destinazione è pari alla somma dei segnali d´uscita dai rami che lo connettono ai nodi di rete.

 

3) Rappresentazione matriciale di una rete numerica :

risolvendo la prima rispetto a W(z) si ha  dove T(z) è detta matrice funzione di trasferimento del sistema.

 

4) Grafo non calcolabile :

È un grafo nel quale non è possibile riordinare i nodi in modo che le variabili di nodo possano essere generate in sequenza, ma questo non implica che l´insieme delle equazioni che rappresenta il grafo sia non risolubile.

Ci sono due criteri che consentono di affermare che un grafo non è calcolabile e sono :

a)       la matrice  ha tutti 0 sopra la diagonale principale e gli elementi di questa sono tutti nulli

b)       non ci sono maglie nel grafo prive di elementi di ritardo

 

5) Realizzazione in forma diretta di un sistema IIR :

Sia l´ingresso che l´uscita soddisfano l´equazione alle differenze finite  si realizza ponendo in cascata una rete che realizza gli zeri ed una rete che realizza i poli, l´ordine in cui sono disposte le due reti non è importante pertanto invertendole ossia facendo precedere la rete che realizza i poli ed osservando che le due reti hanno il ramo centrale in comune, si può realizzare la forma diretta II che presenta il numero minimo di ritardi.

 

6) Realizzazione in forma in cascata di un sistema IIR :

In sostanza la funzione di trasferimento H(z) viene scomposta in una produttoria  che al fine di minimizzare la memoria si riduce a .

 

7)       Realizzazione in forma in parallelo di un sistema FIR :

La funzione di trasferimento viene scomposta in fratti semplici ottenendo una forma

 

8)       Trasposizione di un grafo :

Si ottiene invertendo la direzione di tutti i rami della rete, per sistemi ad un ingresso ed una uscita il grafo risultante ha la stessa funzione di trasferimento del grafo originale con l´ingresso e l´uscita scambiati.

 

9) Funzione di trasferimento di un filtro FIR :

e presenta N-1 poli nell´origine e N-1 seri al finito.

 

10) Realizzazione in forma diretta di un filtro FIR :

Ci si basa sulla somma di convoluzione .

 

11) Realizzazione in forma in cascata di un filtro FIR :

La funzione di trasferimento viene scritta come prodotto di fattori del 2° ordine

 

12) Reti per sistemi FIR a fase lineare :

Si tratta di sistemi che presentano la proprietà di simmetria  la quale implica che gli zeri della funzione di trasferimento si presentano in coppie speculari

 

13) Realizzazione di un sistema FIR basato sul campionamento in frequenza :

La funzione di trasferimento del sistema FIR può anche essere scritta nella forma

che in sostanza evidenzia la possibilità di realizzare un filtro FIR come cascata di un filtro FIR molto semplice con un sistema IIR .

 

14) Realizzazione di un sistema FIR basato su formule di interpolazione polinomiale :

La funzione di trasferimento viene approssimata con un polinomio di grado N-1 che fornisce il valore corretto nei punti di campionamento z_k , l´espressione di questo polinomio è  .

15) Effetto della quantizzazione dei parametri su di un sistema IIR :

Si ha uno spostamento dei poli e degli zeri dalle posizioni desiderate, in particolare viene definita una sensibilità del polo i-esimo ad un cambiamento del coefficiente k-esimo del denominatore di H(z) ossia  .essa dimostra che se i poli o gli zeri sono fittamente raggruppati , piccoli errori nei coefficienti determinano grandi spostamenti nella posizione dei poli.

 

16) Effetto della quantizzazione dei parametri su di un sistema FIR :

La posizione degli zeri risulta più precisa se invece di utilizzare una struttura in forma diretta se ne utilizza una in cascata.