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Effetti della lunghezza finita dei registri

1) Rappresentazione binaria di numeri decimali :

In sostanza ad ogni bit deve essere associata una potenza della base due, tale potenza è positiva a partire da 0 per le cifre a destra della virgola binaria mentre è negativa a partire da –1 per le cifre a sinistra della stessa.

 

2) Aritmetica binaria in virgola fissa :

La posizione della virgola binaria che separa la sequenza che descrive la parte intera del numero dalla sequenza che descrive la parte frazionaria è fissa. Si osservi che il risultato della operazione di moltiplicazione eccede le dimensioni del registro ed è pertanto necessario ricorrere al troncamento oppure alla arrotondamento mentre l´operazione di somma da luogo ad una saturazione che può essere evitata unicamente utilizzando la rappresentazione in virgola mobile.

 

3) Rappresentazione in virgola mobile :

Ogni numero positivo è rappresentato come F = 2c M   dove c è detta caratteristica che può essere sia positiva che negativa mentre M è detta mantissa ed è un numero compreso tra ½ ed 1.

Il prodotto si realizza moltiplicando le mantisse come fossero frazioni a virgola fissa e sommando le caratteristiche mentre la somma si effettua mediante una operazione di traslazione, in entrambe i casi essa può eccedere le dimensioni del registro ed è pertanto necessario ricorrere al troncamento oppure alla arrotondamento.

 

4) Differenza principale tra la rappresentazione in virgola fissa e quella in virgola mobile :

La rappresentazione in virgola mobile necessità di arrotondamento o troncamento sia per la moltiplicazione che per la somma mentre per la rappresentazione in virgola fissa ciò è necessario soltanto per la moltiplicazione, però la addizione può dar luogo a saturazione.

 

5) Rappresentazioni dei numeri negativi :

Per rappresentare numeri negativi a virgola fissa sono disponibili i seguenti tre metodi :

a)       Il modulo è rappresentato mediante un numero binario il cui segno è dato dalla cifra binaria di testa.

In sostanza il primo bit della rappresentazione è dedicato al segno mentre i restanti bit individuano il modulo della frazione

b)       Complemento a uno

Le frazioni positive sono rappresentate in modulo e segno mentre le frazioni negative sono rappresentante complementando tutti i bit ossia laddove c´è 1 si sostituisce 0 e viceversa.

c)       Complemento ad uno

Le frazioni positive sono rappresentate in termini di modulo e segno mentre le frazioni negative si ottengono sottraendone il modulo da 2,0 .

 

6) Ampiezza di quantizzazione :

È il valore numerico di un 1 nel bit meno significativo, esso vale 2-b .

 

7) Errore di troncamento per la rappresentazione a virgola fissa :

dove Q[x] è il numero dopo il troncamento ed x è il numero prima del troncamento e per numeri positivi è una quantità negativa mentre per numeri negativi è una quantità positiva se essi sono rappresentati in complemento a due mentre è una quantità negativa se sono rappresentati in complemento ad uno oppure in modulo e segno.

 

8) Errore di arrotondamento per la rappresentazione a virgola fissa :

tale errore è indipendente dal modo in cui si rappresentano i numeri negativi.

 

9) Errore relativo nel caso della arrotondamento nella rappresentazione a virgola mobile :

 

10) Errore relativo nel caso del troncamento nella rappresentazione a virgola fissa :

Se la rappresentazione è in complemento ad uno oppure in modulo e segno si ha mentre per la rappresentazione in complemento a due si ha   se x > 0   altrimenti    se x > 0 .

 

11) Forma d´onda analogica normalizzata :

 

12) Campione espresso in termini della errore di quantizzazione :

                    dove e(n) è l´errore di quantizzazione che nel caso della arrotondamento vale   essendo D l´intervallo di quantizzazione ossia 2-b .

 

13) Ipotesi alla base del modello statistico nella quantizzazione della errore :

a)       La sequenza dei campioni di errore è una sequenza campione di un processo casuale stazionario

b)       La sequenza errore è scorrelata con la sequenza dei campioni esatti

c)       L´errore è un rumore bianco

d)       La densità di probabilità del processo errore è uniforme nel campo di valori della errore di quantizzazione

 

14) Media, varianza ed autocorrelazione del rumore di quantizzazione nel caso di arrotondamento :

                                                                          

 

15) Media, varianza ed autocorrelazione del rumore di quantizzazione nel caso di troncamento in complemento a due :

                                                                          

 

16) Rapporto segnale/rumore :

Si ha che nel caso della arrotondamento il rapporto segnale/rumore aumenta di 6dB per ogni bit che si aggiunge alla lunghezza del registro. Se il segnale d´ingresso eccede il range del quantizzatore, occorre ridurre la ampiezza ma ciò determina anche una riduzione del rapporto segnale/rumore.

 

17) Effetto della lunghezza finita dei registri nella realizzazione dei filtri numerici :

Si ha l´introduzione di elementi non lineari in alcuni rami della struttura del filtro.

 

18) Comportamento di ciclo limite per ingresso 0 :

Se ad un filtro numerico realizzato con registri finiti si applica un segnale nullo per n > n0  si ha che l´uscita si smorza sino ad un campo di valori di ampiezza non nulla e poi presenta un comportamento oscillatorio.

 

19) Banda morta per un filtro del primo ordine :

quando l´ingresso è 0 e la variabile di nodo |w(n-1)|  entra nella banda morta si instaurano dei cicli limite.

 

20) Oscillazioni da saturazione :

La saturazione inserisce un notevole errore in uscita , ed in alcuni casi l´uscita del filtro può iniziare ad oscillare tra i limiti massimi di ampiezza.

 

21) Ipotesi per la analisi statistica di filtri FIR realizzati in virgola fissa :

a)       la sequenza d´errore è una sequenza di rumore bianco

b)       la sequenza d´errore ha una densità di probabilità uniforme su un intervallo di quantizzazione

c)       la sequenza d´errore e(n) è scorrelata con l´ingresso e con l´uscita

tali ipotesi sono valide nel caso il segnale d´ingresso varia da campione a campione in maniera abbastanza complessa.