Richiami sui segnali

SEGNALI DETERMINATI NEL DOMINIO DEL TEMPO

1) Energia del segnale :

L´energia è l´integrale della potenza istantanea  , se essa assume un valore finito allora il segnale è detto essere di energia .

 

2) Potenza media del segnale :

Nel caso un segnale s(t) sia illimitato nel tempo e non abbia energia finita, si considera la potenza media temporale del segnale          essendo       il segnale troncato. Se per un dato segnale essa assume un valore finito, allora il segnale è detto essere di potenza.

 

3) Valor medio di un segnale :

   , esso è diverso da 0 solo per i segnali di potenza.

 

4) Componente alternata del segnale s(t) :

 

5) Fattore di picco :

È riferito ai segnali simmetrici, i quali sono privi di componente continua ed hanno valore massimo s_M e valore minimo s_m uguali ed opposti |s_m| = s_M = s_p , si ha :                                                          

 

6) Funzione di replica :

in pratica il segnale replica è ottenuto sommando i segnali che si ottengono traslando un segnale x(t) di una quantità multipla del periodo T₀ della ripetizione, si osservi che soltanto se il periodo T₀ è maggiore del periodo T_X del segnale sorgente si ottiene un andamento simile ad esso.

 

7) Potenza di un segnale periodico ottenuto per ripetizione di un segnale di durata finita :

essendo E(T₀) l´energia calcolata all´interno di un periodo, essa coincide con E solo se T_X < T₀ .

 

8) Funzione di intercorrelazione temporale o correlazione mutua temporale per segnali di energia :

Individua il grado di somiglianza tra 2 funzioni    , attenzione al fatto che non coincide con il prodotto di convoluzione.

 

9) Energia mutua :

Si tratta della funzione di intercorrelazione calcolata in t = 0   .

 

10) Prodotto scalare di 2 segnali di energia :

Si tratta del valore nell´origine della funzione di intercorrelazione tra due segnali    , misura la affinità dei due segnali non traslati.

 

11) Segnali paralleli, antipodali, ortogonali :

Si valuta l´indice di intercorrelazione  si ha :

a) r_xy  = 1              Þ           segnali paralleli

b) r_xy  = 0              Þ           segnali ortogonali

c) r_xy  = -1             Þ           segnali antipodali

 

12) Funzione di intercorrelazione di segnali di potenza :

 

13) Funzione di covarianza temporale per segnali di potenza :

È la funzione di intercorrelazione temporale delle componenti a valor medio nullo :

 

14) Relazione tra intercorrelazione ed intercovarianza di due segnali di potenza :

 

15) Famiglia di segnali incorrelati :

Una famiglia di segnali si dice incorrelata se tutte le funzioni di covarianza K_xy(t) sono nulle.

 

16) Famiglia di segnali incoerenti :

È un insieme di segnali di potenza per i quali per ogni t sono nulle tutte le funzioni di intercorrelazione R_xy(t) , si dice anche che si tratta di una famiglia di segnali ortogonali.

SEGNALI DETERMINATI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

17) Trasformata di Fourier :

dove S(f) è lo spettro del segnale, in particolare nel caso che s(t) sia un segnale reale, lo spettro d´ampiezza è una funzione pari mentre lo spettro di fase è una funzione dispari.

 

18) Antitrasformata di Fourier :

ossia il segnale s(t) è esprimibile mediante la somma di un numero infinito di funzioni armoniche complesse e^jwt di ampiezza infinitesima e frequenza f distribuite in modo continuo sulla asse reale.

 

19) Proprietà della trasformata di Fourier :

 

20) F [1] :

d(f)    

 

21) F [sgn(t)] :

    

 

22) F [u(t)] :

    

 

23) F [rect(t/T)] :

  

 

24) F [sinc(t/T)] :

    

 

25) Serie di Fourier di un segnale periodico tempo continuo :

    

essendo C_n i coefficienti di Fourier aventi espressione  , applicando la trasformata di Fourier si ottiene  ossia si ha uno spettro discreto e tutte le righe sono spaziate di una quantità .

 

26) Densità spettrale di energia :

da essa si può ottenere l´energia del segnale integrando sulla asse delle frequenze  .

 

27) Densità spettrale di potenza :

È la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione per segnali di potenza, ossia :

 

28) Segnale strettamente limitato in banda :

Lo spettro di energia E(f) è una funzione reale pari per un segnale reale nel caso ideale, si estende tra una frequenza massima f_M ed una frequenza minima f_m , la banda del segnale è quindi B = f_M - f_m , definizione valida anche nel caso reale dove lo spettro è illimitato ma si possono trascurare le frequenze al di sopra di f_M ed al di sotto di f_m .

 

29) Segnale in banda base :

È il tipico segnale fornito da una sorgente di informazione, la sua banda è così allocata    0 £ f_m £ f_M  , si considera il solo semiasse positivo perché per i segnali reali lo spettro di energia è una funzione reale e pari.

30) Segnale in banda traslata :

Si ottiene elaborando un segnale in banda base al fine di adattarlo al mezzo trasmissivo, la sua banda è così allocata  :

0 < f_m £ f_c £ f_M

molto spesso l´estensione della banda è circa uguale alla frequenza massima f_M , sebbene la frequenza minima f_m sia diversa da zero.

 

31) Segnale in banda traslata stretta :

È un segnale che rispetta la condizione   oppure B < f_m .

 

32) Segnale in banda traslata molto stretta :

È un segnale che rispetta la condizione   dove f_c è una frequenza contenuta all´interno della banda B, questa condizione include la  .

ULTERIORI RAPPRESENTAZIONI DEI SEGNALI

33) Spettro di un segnale di energia reale :

Si tratta di una funzione pari, è pertanto sufficiente studiare lo spettro che si estende nel semiasse negativo  oppure lo spettro che si estende nel semiasse positivo .

 

34) Segnale analitico :

Per la linearità della antitrasformata di Fourier si ha che a   corrisponde  del resto lo spettro di un segnale reale è hermitiano pertanto   cui corrisponde  sostituendo si ha   essendo  il segnale analitico associato ad s(t). In realtà la forma completa del segnale analitico è  dove  è la trasformata di Hilbert di s(t).

35) Trasformata di Hilbert di s(t) :

  è la trasformata di Hilbert di s(t) , da essa si riottiene s(t) mediante la antitrasformata

 . Nel dominio della frequenza la relazione tra gli spettri è

  .

 

36) Inviluppo complesso del segnale :

Si tratta della antitrasformata dello spettro del segnale analitico  traslato in modo da portare la f_c nell´origine , si ha        da cui si ha   e quindi  . L´inviluppo complesso ha pertanto lo scopo di consentire di trattare un segnale in banda traslata s(t) mediante due componenti in banda base, esse si evincono scrivendo in termini di parte reale e parte immaginaria  si hanno infatti la componente in fase  e la componente in quadratura  , mediante queste componenti il segnale in banda traslata può essere scritto nella forma .

 

37) Relazione di ortonormalità :

 

38) Rappresentazione di un segnale s(t) tramite una base :

  dove {y_k(t)} è un insieme discreto di funzioni ortonormali e i coefficienti c_k sono scelti in modo da minimizzare l'errore quadratico medio .

 

39) Teorema di Nyquist - Shannon :

Ammettendo per un segnale s(t) illimitato nel tempo e limitato in banda base una rappresentazione nel dominio della frequenza mediante la base    si ottiene che esso può essere ricostruito a partire dalla conoscenza dei suoi campioni C_k = s(kT_N) purché ottenuti con una frequenza di campionamento almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente all´interno del segnale, si ha infatti     , l´intervallo di Nyquist è in questo caso  .  Un segnale in banda traslata  può essere invece ricostruito a partire dalla conoscenza dei campioni delle sue componenti in banda base s_c(t) ed s_s(t) aventi frequenza massima  si ha infatti   con   ed  x = c,s  e l´intervallo di Nyquist è in questo caso dimezzato  .

 

40) N° di funzioni necessarie per rappresentare qualsiasi segnale nel suo intervallo di definizione :

Ne occorre un numero infinito, tuttavia per alcuni tipi di segnale si può raggiungere una buona accuratezza anche con un numero finito di segnali, è il caso dei segnali fisici praticamente limitati in banda ed in durata per i quali è sufficiente un campionamento con un numero di campioni N=2BT essendo B la banda del segnale fisico e T la sua durata.

 

SEQUENZE E ELEMENTI DEI SEGNALI NUMERICI

41) Sequenza :

È un insieme ordinato di valori che si può ottenere da un segnale continuo s(t) considerando invece della variabile continua t la variabile discreta nT dove n è la successione dei numeri interi, la generica sequenza ha espressione .

 

42) Energia per sequenze :

 

43) Potenza per sequenze :

 

44) Sequenze di intercorrelazione tra sequenze ad energia finita :

 

45) Sequenze di intercorrelazione temporali per sequenze di potenza :

 

46) Sequenze di intercovarianza per sequenze di potenza :

 

47) Alfabeto M-nario :

Gli elementi di una sequenza numerica possono assumere soltanto valori appartenenti ad un insieme discreto {s_q}, ad ognuno di questi valori può essere associato uno degli elementi di un alfabeto M_nario {z_q} di cardinalità M che in genere è una potenza di 2 ossia  M = 2^b in modo da poter utilizzare alfabeti con parole binarie lunghe b bit.

 

48) Flusso numerico :

Si tratta della successione di simboli z_q appartenenti alla alfabeto M-nario, ciascuno associato ad un elemento della sequenza {s_q} e che si ripetono con la stessa temporizzazione kT.

 

49) Tempo di simbolo :

È l´intervallo di tempo T che intercorre tra un simbolo ed il successivo del flusso numerico, il suo inverso è il ritmo di simbolo che nel caso ad ogni simbolo venga associata una parola binaria costituita da   bit viene definito ritmo binario  il cui inverso è il tempo di bit T_b .

 

50) Segnale numerico multilivello :

I segnali campionati numerici introducono delle d(t) che per essere trasmesse richiedono mezzi a banda infinita, per ovviare a ciò si sostituisce la d(t) con una funzione impulsiva di energia f(t) avente durata finita e per i quali si può ottenere una limitazione pratica in banda ottenendo in tal modo il segnale numerico multilivello  , ad esempio si ottiene il segnale numerico squadrato  nel caso si utilizzi l´impulso rettangolare ad energia unitaria  da non confondere con il segnale analogico squadrato  .

 

51) Velocità di modulazione :

I segnali numerici asincroni  sono tali per cui gli intervalli t_k tra un simbolo ed il successivo non sono costanti pertanto non si può più parlare di ritmo di simbolo bensì di velocità di modulazione  essendo T_V il minimo degli intervalli tra un simbolo ed il successivo appartenenti alla sequenza. La velocità di modulazione si esprime in Baud e rappresenta il massimo numero di simboli veicolabili dal segnale nell´unità di tempo.

GENERALITÀ SUI PROCESSI STOCASTICI

52) Quantità di informazione :

Nel caso di una sorgente numerica la quantità di informazione è la grandezza associata alla scelta di un simbolo, z_q , tra gli M possibili elementi che formano un alfabeto M-nario , essa vale   essendo P(z_q) la probabilità che venga emesso il simbolo z_q . La definizione è coerente se si pensa che per un alfabeto binario con simboli (0,1) equiprobabili [ p(0) = p(1) = 0,5 ] la quantità di informazione è unitaria.

 

53) Processo stocastico continuo :

Le sue realizzazioni sono funzioni continue x(t) che possono essere emesse dalla sorgente analogica. Per un dato istante T il processo si riduce ad una v.a. continua X_t = X(t) con densità di distribuzione p(X_t , t).

 

54) Processo stocastico discreto a valori discreti :

È il caso di un flusso numerico emesso da una sorgente numerica, sia il tempo che il valore delle realizzazioni non sono continui bensì discreti.

 

55) Densità di probabilità congiunta del 2° ordine :

  esprime la probabilità che al tempo t₁ sia X₁ compresa tra x₁ ed  x₁+dx₁ ed al tempo t₂ sia X₂ compresa tra x₂ ed  x₂+dx₂   , dove X₁ ed X₂ sono due variabili aleatorie che si ottengono dal processo stocastico fissando il tempo negli istanti t₁ e t₂ .

 

56) Densità di probabilità condizionata di ordine n :

in sostanza la variabile X_n al tempo t_n è condizionata dalla conoscenza delle v.a. emesse negli istanti precedenti.

 

57) Processo di Markoff  di ordine n:

È un processo del quale si ha la piena conoscenza se si conosce la densità di probabilità congiunta di ordine n+1 .

 

58) Valore medio statistico :

 

 

59) Potenza media statistica :

 

 

60) Varianza :

 .

 

61) Relazione tra varianza e potenza :

 

62) Funzione di autocorrelazione statistica:

 

63) Funzione di autocovarianza statistica :

per t₁ = t₂ la autocovarianza coincide con la varianza.

 

64) Relazione tra la autocovarianza e la autocorrelazione :

 

65) Processo stazionario in senso stretto :

È un processo per il quale le densità di probabilità sono invarianti rispetto ad una arbitraria traslazione temporale.

 

66) Processo stazionario in senso lato :

È un processo per il quale le densità di probabilità sono invarianti rispetto ad un´arbitraria traslazione temporale, mentre la densità di probabilità congiunta di 2° ordine dipende soltanto da t , si ha cioè :

a)       p(x;t) = p(x)                                                                  b)   p₂(x₁,x₂;t₁,t₂) = p₂(x₁,x₂;t)   essendo     t = t₂ - t₁

per un processo stazionario in senso lato si ha che il valor medio statistico, la potenza e la varianza sono costanti e corrispondono ai valori attesi delle corrispondenti grandezze temporali per una singola realizzazione del processo mentre le funzioni di autocorrelazione R(t) e autocovarianza K(t) dipendono solo da t.

 

67) Relazione tra la autocovarianza e la autocorrelazione per processi stazionari :

 

68) Prima relazione di Wiener - Khinchine :

che evidenzia quindi una componente spettrale discreta nell´origine.

 

69) Processo stazionario ergodico :

È un processo per il quale la singola realizzazione, osservata sull´intero asse dei tempi, assomma tutte le proprietà statistiche del processo aleatorio, così che le grandezze temporali convergono alle grandezze statistiche .

 

70) Densità spettrale di potenza incrociata :

 

71) Seconda relazione di Wiener - Khinchine :

 

72) Caratteristica del processo somma di due processi stazionari  a(t) = x(t) + y(t)   :

Considerando il processo a(t) = x(t) + y(t)  si ha il valor medio statistico h_a = h_x + h_y   mentre la autocorrelazione è  quindi il processo somma è anche esso stazionario. La densità di potenza è  quindi i due processi addendi cono semplicemente sommabili in potenza se sono ortogonali oppure se  .

 

73) Caratteristica del processo complesso b(t) = x(t) + j y(t)  :

Considerando il processo b(t) = x(t) + jy(t)  si ha il valor medio statistico h_b = h_x + jh_y   mentre la autocorrelazione è  quindi il processo complesso è anche esso stazionario. La densità di potenza è .

PROCESSI STOCASTICI CICLOSTAZIONARI

74) Processo stocastico ciclostazionario :

Si tratta di un processo la cui funzione di autocorrelazione è periodica in t, in particolare si parla di processi ciclostazionari del 1° ordine se la periodicità è presente anche nel valor medio statistico e processi ciclostazionari del 2° ordine se è presente solo nella autocorrelazione. L´analisi può essere ricondotta a quella dei processi stazionari effettuando una traslazione z sulla asse dei tempi ed effettuando una media statistica anche su tale v.a. indipendente ma uniforme nel periodo , in tal modo h_s ed R_ss(t) si calcolano come valori medi delle rispettive funzioni periodiche in t .

 

75) Processi rappresentati tramite inviluppo complesso :

Il processo  avente realizzazione  è stazionario se i due processi componenti sono congiuntamente stazionari mentre è ciclostazionario se lo è anche uno solo di essi, la autocorrelazione è

 quindi  mentre il processo  è in generale ciclostazionario in quanto la sua autocorrelazione mediata su un periodo è   ed ha intensità di potenza  .

 

76) Processo stazionario in banda traslata :

Essendo il processo S(t) stazionario in banda traslata si ha che anche i processi in banda base S_c(t) ed S_s(t) sono stazionari in senso lato con identiche funzioni di autocorrelazione   e valor medio nullo. Si ricava che la potenza non si divide sui due processi bensì si ritrova identica su ciascuno di essi.

 

77) Processi reali con fattori aleatori rappresentati mediante serie temporali :

Si considera un processo S(t) avente realizzazione  essendo z_k determinazioni delle variabili aleatorie continue Z_k che formano con la loro sequenza Z(n) un processo discreto reale stazionario mentre p(t) è una funzione reale avente durata pratica T_p . In generale S(t) è un processo ciclostazionario avente valor medio  , autocorrelazione  e densità spettrale di potenza  . La potenza del processo è semplicemente  nel caso siano ortogonali le v.a. z_k oppure i segnali addendi di energia che costituiscono la forma periodica.

 

78) Processi campionati in banda base :

È un caso particolare della situazione precedente, si considera infatti un processo in banda base S(t) avente realizzazione  , si ottiene che il valor medio statistico h è uguale al valor medio h_c del processo discreto costituito dalla sequenza dei campioni aleatori mentre la densità spettrale di potenza è .

 

79) Processi complessi con fattori aleatori :

Consideriamo un processo continuo reale ciclostazionario in banda traslata cui è associato il processo inviluppo complesso  avente realizzazione   , la densità spettrale di potenza ad esso associata è :

 

80) Processo somma di processi reali con fattori aleatori :

Si abbia un processo S(t) con rappresentazione nella forma  , la correlazione risultante è  .

 

81) Processo continuo gaussiano :

È un processo del quale si ha la piena conoscenza statistica solo in base alla conoscenza della funzione di densità di probabilità del 2° ordine, nel caso di stazionarietà l´espressione della densità di probabilità del 1° ordine è . Una importante proprietà di questo processo è che la somma di processi gaussiani indipendenti è ancora un processo gaussiano con valor medio somma dei valori medi e varianza somma delle varianze inoltre la somma di n processi arbitrari ma indipendenti è un processo gaussiano per n ® ¥  secondo quanto affermato dal teorema del limite centrale.

 

82) Rumore Gaussiano :

È il processo gaussiano risultante dalla somma di numerosi segnali aleatori additivi , in particolare abbiamo un rumore gaussiano bianco se la densità spettrale di potenza è N(f) = N₀ = costante cui corrisponde la autocorrelazione .

 

83) Rumore gaussiano stazionario in banda traslata :

Consideriamo una generica rappresentazione del rumore in banda traslata  , i processi in banda base N_c(t) ed N_s(t) risultano gaussiani stazionari e la potenza del rumore in banda traslata si ritrova identica su ciascuno di essi mentre la densità spettrale presenta una larghezza di banda diversa a seconda di come viene scelta f_c , in particolare è massima e pari a 2B se f_c è ad uno degli estremi della banda traslata mentre è minima e pari a B se f_c è al centro della banda traslata.

 

84) Rumore gaussiano bianco nello spazio dei segnali :

Nello spazio con dimensione N tendente all´infinito , una realizzazione del rumore bianco è rappresentabile con un vettore n avente componenti ciascuna con densità di probabilità del 1° ordine   .