Semiconduttori

1) Descrivere un semiconduttore :

È un materiale avente valenza media 4, per il quale a temperatura 0K si ha che le 2 bande inferiori sono completamente occupate mentre la terza banda è vuota, pertanto se non c´è un elevato gap di energia tra la 2ª e la 3ª banda, si ha che già a temperatura ambiente un discreto numero di elettroni si trova nella banda di conduzione.

 

2) Tipologie di gap in un semiconduttore:

Si ha una gap diretta quando il massimo della banda di valenza si ha per lo stesso k per il quale si ha il minimo della banda.di conduzione mentre si ha una gap indiretta quando il massimo della banda di valenza si ha per un k diverso dal k per il quale si ha il minimo della banda di conduzione. Il silicio ad esempio ha la gap indiretta.

 

3) Assorbimento ottico applicato alla rivelazione della tipologia della gap :

L´assorbimento ottico è un esperimento che si effettua per individuare la tipologia della gap di un semiconduttore, in sostanza si bombarda una lamina con fotoni aventi diverse l, e si misura all´uscita la assorbimento della lamina, si vede che la assorbimento è nullo sin quando non si invia un fotone con un k cui corrisponde una energia prossima a quella della gap, dopodichè si ha una crescita lineare della assorbimento sin quando non si verificano fenomeni di saturazione.

Nel caso di gap indiretta, la assorbimento in funzione della frequenza del fotone incidente sembrerebbe dover iniziare a partire da una w più elevata rispetto a quella che si ha per la gap diretta in quanto l´urto di un fotone con un elettrone non ne può cambiare il k e, per lo stesso k, la gap è maggiore. Nel cristallo sono però sempre presenti dei fononi i quali sono caratterizzati da k elevati e poca energia pertanto un urto elettrone-fotone-fonone può determinare un assorbimento non nullo per la stessa w del fonone da cui inizia la assorbimento della gap diretta.

 

4) Semiconduttore non degenere :

Un semiconduttore è non degenere quando si ha  , e quindi si può trascurare l´1 vicino all´esponenziale nella funzione di distribuzione di Fermi-Dirac .

 

5) Concentrazione di elettroni nella banda di conduzione alla temperatura T :

Essa è data dall´integrale   dove per la densità di stati in e  , D(e) si rigirano gli assi e si osserva che k in funzione di e è per la banda di conduzione una parabola che non passa per l´origine analogamente a quanto si era trovato per la D(e) di un gas di elettroni liberi tridimensionale con la differenza che in quel caso la parabola passava per l´origine. Si aveva    mentre nel nostro caso tenendo conto della traslazione e considerando la massa efficace, si avrà    mentre per f(e,T) si utilizza la consueta funzione di Fermi-Dirac, in definitiva quindi l´integrale è    facendo l´ipotesi di semiconduttore non degenere ossia e-m >> KT l´uno al denominatore si può trascurare ottenendo    sul quale operando il cambio di variabile   e ricordando che   si ottiene    .

 

6) Concentrazione di lacune nella banda di valenza alla temperatura T :

E´ data dall´integrale   dove si deve tener conto che :

a)       La probabilità f_p che vi sia una lacuna è uguale alla probabilità che non vi sia un elettrone quindi f_p =1-f_e(e,T).

b)       La banda di valenza con gli assi rigirati ha una forma parabolica simile a quella della D(e) nel caso tridimensionale per gli elettroni liberi ma ribaltata rispetto ai k, in essa si deve inoltre sostituire la massa efficace della lacuna m_h in definitiva si ha  .

Svolgendo l´integrale si trova .

 

7) Legge della azione di massa :

Afferma che il prodotto del numero di lacune per il numero di elettroni presenti nella banda di conduzione ad una data temperatura è costante.

Si dimostra semplicemente moltiplicando n(T) e p(T) e verificando che si tratta di una quantità che varia solo con la temperatura, si ottiene infatti .

 

8) Semiconduttore intrinseco e drogaggio involontario :

È un semiconduttore nel quale la concentrazione di lacune è uguale alla concentrazione di elettroni, questo in realtà non è mai verificato in quanto sono sempre presenti delle impurezze che possono comportarsi come lacune o come elettroni. Per ottenere un semiconduttore intrinseco si effettua un controdrogaggio consistente nel rilevare tramite misure di effetto Hall la tipologia dei portatori predominanti ed inserire nel semiconduttore portatori della altro tipo.

 

9) Valore del potenziale chimico in un semiconduttore intrinseco :

Si considera un semiconduttore intrinseco per il quale   , si eguaglia tale valore con il valore generico  e si ottiene  .

 

10) Mobilità dei portatori :

Rappresenta cioè il coefficiente di proporzionalità tra il campo applicato e la velocità di deriva assunta dai portatori

        ma essendo anche  pertanto    e ricordando che  si ottiene 

.

 

11) Proprietà di trasporto nei semiconduttori puri :

La conducibilità elettrica è  , essa ha un minimo se n = p , nel caso di un semiconduttore intrinseco o puro per il quale si ha   si vede quindi che   allora     e quindi      pertanto se facciamo un grafico di    in funzione di  si vede che è una retta con pendenza . Da questa curva per un semiconduttore come il silicio si vede che il numero di elettroni in banda di conduzione a temperatura ambiente è piccolo e quindi la resistività alta, si rende quindi necessario ricorrere al drogaggio del semiconduttore.

 

12) Donore :

Un elemento pentavalente inserito in un cristallo semiconduttore notoriamente tetravalente, possiede un elettrone il quale non può creare legami covalenti e da un confronto con l´elettrone nella atomo di idrogeno si trova che il raggio della sua orbita è di 30 Angstrom e l´energia di ionizzazione è di circa 0,02eV quindi già a temperatura ambiente esso potrà essere sottratto al relativo donore.

 

13) Effetto del drogaggio con donori :

Si crea uno stato libero avente energia di poco inferiore all´energia minima della banda di conduzione , questo stato è popolato da tutti gli elettroni spaiati dovuti ai donori, per essi basta KT = 0,02eV per passare in banda di conduzione, ossia già a temperatura ambiente.

 

14) Accettore :

Un elemento trivalente inserito in un cristallo semiconduttore notoriamente tetravalente, crea tre legami covalenti quindi un elettrone del semiconduttore rimane nel cristallo pronto ad accalappiare un qualsiasi elettrone vagante per formare un legame covalente.

 

15) Effetto del drogaggio con accettori :

Si crea uno stato libero avente energia di poco superiore all´energia della banda di valenza, quindi già a temperatura ambiente si ha il passaggio della elettrone dalla banda di valenza allo stato libero, con conseguente creazione di una lacuna nella banda di valenza.

 

16) Concentrazione di elettroni in banda di conduzione in funzione della energia dei donori :

Per un semiconduttore di tipo n si ha che la concentrazione n(T) di elettroni nella banda di valenza è   essendo   la concentrazione di donori ionizzati. Avanzando l´ipotesi che   si ha   confrontando questa quantità con la generica concentrazione di elettroni nella banda di conduzione alla temperatura T    si ottiene  e sostituendo si ha .

 

17) Concentrazione di lacune in banda di valenza in funzione della energia degli accettori :

Con le stesse considerazioni fatte per ricavare la concentrazione di elettroni in banda di conduzione si trova

 

18) Resistività in funzione della temperatura per un semiconduttore drogato :

Supponendo che il semiconduttore sia drogato di tipo n , abbiamo che la conducibilità è   quindi dipende dalla temperatura sia tramite il tempo di rilassamento t ma in maniera più pesante tramite l´esponenziale che compare nella   si ha cioè    allora     che, esprimendo il  in funzione di  è una retta con pendenza . Al crescere della temperatura si ha un effetto di saturazione per cui tutti i donori sono passati in banda di conduzione e quindi il semiconduttore è come se fosse intrinseco e si ha una retta con pendenza .

 

19) Giunzione p-n :

Creando la giunzione tra un semiconduttore di tipo p ed un semiconduttore di tipo n si ha un gradiente di concentrazione di cariche il quale dà luogo ad un procedimento di diffusione per cui gli elettroni affluiranno verso la zona p e si ricombineranno lasciando nel semiconduttore di tipo n (..a ridosso della giunzione) una regione di carica positiva mentre delle lacune affluiranno verso la zona n e si ricombineranno lasciando nel semiconduttore di tipo p (..a ridosso della giunzione) una regione di carica negativa. Man mano che il processo di diffusione va avanti la distribuzione di cariche dà luogo ad un campo elettrico sempre più intenso che impedisce che continui il processo di diffusione, a questo punto si avrà un potenziale chimico uguale in entrambe i semiconduttori.

Saranno comunque presenti anche in questo caso delle correnti in quanto la agitazione termica genera in entrambe i semiconduttori delle coppie lacuna-elettrone uno dei quali è agevolato dal campo elettrostatico ad attraversare la giunzione.

 

20) Posizione all´equilibrio delle bande del semiconduttore di tipo n rispetto alle bande del semiconduttore di tipo  p :

La gap tra banda di valenza e banda di conduzione è circa la stessa, essi però debbono avere in comune lo stesso potenziale chimico, che per il semiconduttore di tipo n si trova a metà tra e_d e la banda di conduzione mentre per il semiconduttore di tipo p si trova a metà tra la cima della banda di valenza ed e_a . Si può avere un potenziale chimico costante solo se le bande della zona p si trovano ad energie più alte rispetto alle bande della zona n.

 

21) Correnti in una giunzione p-n :

J_nr            è la corrente di elettroni di ricombinazione che scorre dalla zona n verso la zona p

J_ng           è la corrente di generazione termica di elettroni che scorre dalla zona p verso la zona n

J_pr            è la corrente di lacune di ricombinazione che scorre dalla zona p verso la zona n

J_pg           è la corrente di generazione termica di lacune che scorre dalla zona n verso la zona p

All´equilibrio si ha :               e            

 

22) Proprietà della giunzione come raddrizzatore :

Applicando una tensione alla giunzione si ha che ci si sposta verso il nuovo equilibrio in cui il potenziale chimico non è lo stesso nei due semiconduttori bensì da un lato sarà più alto di una quantità eV rispetto alla altro lato, questo determina un abbassamento o un innalzamento della barriera di potenziale che lascia invariate le correnti di generazione   e      mentre varia le correnti di ricombinazione di una quantità pari al fattore di Boltzmann    ed analogamente per le lacune si ha  pertanto la densità di corrente totale è .

In definitiva quindi si ha    .

 

23) Polarizzazione inversa :

Applicando una tensione positiva sul catodo (..regione n) si ha   che al crescere di V tende a J₀.

Nella rappresentazione a bande si ha che il potenziale chimico nella regione p sale di eV rispetto al valore che aveva in assenza di polarizzazione, e dato che esso si deve trovare sempre a metà tra il livello e_a degli accettori e la cima della banda di valenza si ha che le bande della zona p si aontanano dalle bande della zona n incrementando la barriera di potenziale.

 

24) Polarizzazione diretta :

Applicando una tensione negativa sul catodo (..regione n) si ha   che al crescere di V tende ad infinito esponenzialmente.

Nella rappresentazione a bande si ha che il potenziale chimico nella regione n sale di eV rispetto al valore che aveva in assenza di polarizzazione, e dato che esso si deve trovare sempre a metà tra il livello dei donori e la base della banda di conduzione si ha che le bande della zona n si avvicinano alle bande della zona p riducendo la barriera di potenziale.