Fotoni e materia

1) Corpo nero :

Si tratta di un corpo capace di assorbire totalmente onde elettromagnetiche di qualunque frequenza. Si realizza effettuando una piccola apertura in una grande cavità.

 

2) Formula di Rayleigh Jeans e catastrofe ultravioletta :

I risultati sperimentali secondo cui l´intensità della radiazione emessa dal corpo nero tenuto a temperatura T in funzione della lunghezza d´onda ha un andamento a campana, la teoria classica però fallisce in quanto si ottiene che per piccole lunghezze d´onda, l´intensità emessa dovrebbe essere infinita e questa è chiamata catastrofe ultravioletta.

 

3) Ipotesi di Planck :

Nella cavità lo scambio di energia avviene secondo multipli di un quanto elementare che dipende dalla frequenza tramite la relazione  .

 

4) Effetto fotoelettrico esterno ed interpretazione di Einstein :

In un metallo ci sono elettroni che non ne escono in quanto l´energia potenziale è minore che non nel vuoto, cedendo però loro questo gap di energia, si può estrarli. Secondo la teoria classica ciò può avvenire inviando sul metallo onde elettromagnetiche di una qualsiasi frequenza mentre la realtà sperimentale è che basta anche un solo fotone di opportuna frequenza per estrarre un elettrone, Einstein spiegò il dilemma semplicemente utilizzando l´ipotesi di Planck ossia affermando che l´energia del fotone incidente dipende dalla frequenza  e se non è maggiore della barriera di potenziale, l´elettrone non viene estratto.

 

5) Problematiche della elettromagnetismo classico nei confronti degli spettri atomici :

a)    Il modello planetario di Rutherford ha il problema che un elettrone che si trovi su di una orbita circolare deve emettere energia elettromagnetica, ma se lo fa, esso finirà per cadere sul nucleo.

b)    Lo spettro di emissione degli atomi non è continuo bensì ogni atomo emette solo determinate frequenze date dalla legge di Rydberg.

 

6) Formula per ricavare le righe spettrali emesse da un atomo :

La frequenza delle righe spettrali emesse da un atomo obbediscono alla relazione  dove M ed N sono numeri interi ed R è la costante di Rydberg.

 

7) Ipotesi di Bohr :

L´ipotesi di Bohr prevede la quantizzazione del momento angolare e conseguentemente del raggio della orbita, della velocità angolare e della energia totale, ciò spiega sia le righe spettrali che la mancata caduta della elettrone sul nucleo.

 

8) Stato fondamentale :

Lo stato fondamentale di un atomo è quello ad energia più bassa, il più vicino al nucleo.

 

9) Fenomeno della diffrazione dei raggi X ed interpretazione :

I fenomeni della diffrazione e della interferenza avvengono quando le onde interagiscono con strutture geometriche con dimensioni caratteristiche simili alla lunghezza d´onda incidente, così ad esempio i raggi x possono essere diffratti dai piani reticolari, la condizione che l´onda deve rispettare per essere da essi diffratta è  essendo d la distanza tra i piani reticolari e q la angolo di incidenza compreso tra la direzione di propagazione ed il piano di incidenza (non la sua normale). I problemi per la meccanica classica nascono quando contro il materiale non si manda un´onda ma una particella dotata di massa come un elettrone e si vede che anche esso dà luogo a fenomeni di diffrazione quindi evidentemente ad esso deve esser associata un´onda il cui valore è dato dalla legge sperimentale di De Broglie.

 

10) Relazione di De Broglie :

De Broglie sostiene che la luce abbia una doppia natura, particellare ed ondulatoria per cui ad un elettrone è associata sia una massa che un´onda. La relazione che lega la lunghezza d´onda l della radiazione alla sua quantità di moto .

 

11) Interpretazione fisica della ipotesi di Bohr :

Sostituendo nell´ipotesi di quantizzazione del momento angolare di Bohr l´ipotesi di De Broglie si viene a determinare che la lunghezza d´onda della onda associata all´elettrone deve essere contenuta un numero intero di volte nell´orbita della elettrone, ossia l´onda deve essere stazionaria, unica tipologia di onda consentita in quanto altrimenti si verrebbero a creare delle interferenze che a lungo andare sarebbero distruttive. Effettuando il ragionamento a ritroso è chiaro che questa è la causa della quantizzazione del momento angolare.

 

12) Proprietà essenziali di ogni funzione che rappresenta un´onda di qualunque tipo :

Deve possedere una contemporanea dipendenza dal tempo e dallo spazio.

 

13) Equazione di Schroedinger :

Essa descrive la funzione d´onda y(x,y,z,t) ossia l´onda associata ad una particella dotata di massa. 

 .

Si giunge ad essa tramite i seguenti passaggi :

a)    Si scrive la relazione di un´onda piana, la si deriva rispetto ad x,y,z e si sostituisce in essa la relazione di De Broglie  , si ottiene quindi l´operatore da associare alla quantità di moto . In maniera analoga si deriva rispetto a t l´equazione di un´onda piana e si sostituisce , ottenendo l´operatore da associare ad E .

b)    Essendo l´energia di una particella libera  non si fa che sostituire gli operatori di E e di p, se poi la particella è soggetta a forze conservative ad energia potenziale V si sostituiscono gli operatori nella.

c)    Si applica l´operatore globale trovato alla funzione d´onda.

 

14) Significato fisico della funzione d´onda :

Il modulo quadro della funzione d´onda y cioè rappresenta la densità di presenza della particella nel punto x,y,z al tempo t . Tale densità va moltiplicata per una costante di normalizzazione che renda unitario l´integrale calcolato su tutto lo spazio.

 

15) Principio di indeterminazione di Heisenberg :

Afferma che vi sono coppie di variabili coniugate per le quali quando aumenta il grado di conoscenza di una diminuisce automaticamente il grado di conoscenza della altro, la coppia di variabili di interesse in quantistica è la quantità di moto e la posizione della elettrone ebbene Heisenberg afferma che date le ridotte dimensioni di questa particella, quando noi mediante un protone cerchiamo di individuarne la posizione sappiamo di averlo preso ma il fotone cede all´elettrone energia e lo manda a sbattere chissà dove. Il principio di indeterminazione di Heisenberg afferma che il prodotto delle incertezze vale  .

 

16) Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo :

Si ottiene sostituendo nella equazione di Schroedinger l´espressione di una funzione d´onda la cui dipendenza dal tempo e dallo spazio sia scomponibile nel prodotto di 2 funzioni, una dipendente dalla posizione e la altra dipendente dallo spazio. Essa è atta a descrivere gli stati stazionari.

 

17) Numeri quantici :

L´equazione di Schroedinger indipendente dal tempo è una equazione agli autovalori che ammette soluzione solo per alcuni livelli (n) di energia e _n . Inoltre per alcuni di detti livelli ci possono essere i soluzioni, ebbene n ed i sono i numeri quantici della equazione d´onda.

 

18) Soluzione della equazione di Schroedinger nel caso di particella libera :

Occorre porre V = 0 nella equazione di Schroedinger indipendente dal tempo e limitarsi al caso unidimensionale, si ottiene :                                  

 

19) Soluzione della equazione di Schroedinger nel caso di buca di potenziale a pareti infinite :

Si ha     per n pari              e            per n dispari.

In sostanza descrive che tra le 2 barriere di potenziale infinite si determinano delle onde stazionarie il cui n° di nodi cresce al crescere della energia dello stato stazionario.

 

20) Soluzione della equazione di Schroedinger nel caso di buca di potenziale a pareti finite :

Occorre raccordare la soluzione dentro la buca di potenziale che è uguale alla soluzione per pareti infinite con la soluzione della equazione di Schroedinger fuori dalla buca, ciò che si ottiene sono stati stazionari simili a quelli che si hanno per la buca a pareti infinite, con la differenza costituita dall´effetto Tunnel ossia vi è possibilità di trovare la particella fuori dalla buca di potenziale anche per i livelli energetici inferiori alla barriera di potenziale.

 

21) Soluzione della equazione di Schroedinger per l´oscillatore armonico unidimensionale :

Considerando come energia  si ottengono tutti stati di energia non degeneri.

 

22) Soluzione della equazione di Schroedinger per la atomo di idrogeno :

Si ottiene sostituendo nell´equazione di Schroedinger come energia potenziale  , si vengono a determinare i seguenti numeri quantici :

                n             legato alla energia dello stato

                l               legato al modulo del momento angolare

                m             legato alla proiezione di B su di un asse

ogni livello energetico è 2 l + 1  volte degenere.

 

23) Spin, bosoni e fermioni :

Lo spin descrive una rotazione della particella attorno ad un suo asse di simmetria, sono bosoni le particelle per le quali lo spin è un intero, come per il fotone, mentre sono fermioni le particelle per le quali lo spin è semintero, come per gli elettroni ed i neutroni.

 

24) Principio di esclusione di Pauli :

Due particelle a spin semintero non possono avere gli stessi numeri quantici, si ottiene confrontando le funzioni d´onda di un sistema a più particelle prima e dopo della inversione di due di esse.

 

25) Scopo delle statistiche di Boltzmann , Fermi, Bose:

Intendono descrivere il numero di particelle che, per una data temperatura, possiedono una data energia. Si distinguono tra loro per il tipo di particella cui sono applicate.

 

26) Statistica di Boltzmann :

Le particelle sono considerate distinguibili, essa mostra naturalmente che molte particelle possiedono energie basse mentre poche particelle possiedono energie alte.

 

27) Statistica di Bose - Einstein :

Si impone nella statistica di Boltzmann l´indistinguibilità delle particelle, si trova che a basse temperature la stragrande maggioranza dei bosoni va ad occupare lo stato ad energia minima. Per sistemi a bassa densità tende alla statistica di Boltzmann, in formule si ha     , nel caso dei fononi e di una qualsiasi particella priva di massa il potenziale chimico m vale 0.

 

28) Statistica di Fermi - Dirac :

Si impone nella statistica di Boltzmann l´indistinguibilità delle particelle, ed il principio di esclusione di Pauli, si ottiene una distribuzione a gradino i cui angoli si smussano al crescere della temperatura. Per sistemi a bassa densità tende alla statistica di Boltzmann, in formule si ha   .