Introduzione ai circuiti a costanti concentrate

1) Legge di Kirchoff delle correnti :

La corrente che complessivamente esce da una superficie chiusa è uguale a quella che vi entra.

2) Legge di Kirchoff delle tensioni :

La somma algebrica delle tensioni che si incontrano in un circuito spostandosi lungo una linea chiusa e finita è 0. Le tensioni sono da considerarsi positive se concordi con lo spostamento.

3) Porta :

Dati 2 morsetti, la corrente entrante nell´uno è uguale ed opposta alla corrente entrante nella altro.

4) Relazione costitutiva del resistore :

la corrente è da considerarsi positiva se scorre dal + al - .

5) Relazione costitutiva del condensatore :

6) Relazione costitutiva della induttore :

7) Relazione costitutiva del generatore indipendente di tensione :

v(t) = v₀(t) dove v₀(t) è una funzione del tempo assegnata

8) Relazione costitutiva del generatore indipendente di corrente :

i(t) = i₀(t) dove i₀(t) è una funzione del tempo assegnata

9) Generatore reale di tensione :

È costituito da un generatore ideale di tensione con in serie una resistenza R_v , si ha che la tensione ai capi del generatore complessivo della resistenza è .

10) Generatore reale di corrente :

È costituito da un generatore ideale di corrente con in parallelo una resistenza R_I , si ha che la corrente erogata dal generatore complessivo della resistenza è .

11) Condizione di equivalenza tra il generatore reale di tensione ed il generatore reale di corrente :

Sono equivalenti a patto che le resistenze siano uguali, il risultato si ottiene disegnando sia per il generatore di corrente che per il generatore di tensione la retta che individua la caratteristica tensione-corrente individuando per ognuna il valore all´intersezione con gli assi ed uguagliando tra di loro queste quantità.

12) Potenza erogata da un generatore reale ed ideale di tensione :

Sostituendo nella P =VI l´equazione del generatore di tensione reale si ottiene una espressione che per R_v=0 è una retta passante per l´origine mentre per R_v ¹0 è una parabola che ha il massimo per I_CC/2 .

13) Considerazioni su potenza e rendimento in un generatore reale di tensione :

Il rendimento è dato dal rapporto tra la potenza fornita al carico e la potenza generata, per valutarlo si considera il generatore reale chiuso su di una impedenza di carico R₀. Si ha . Per le applicazioni in cui è richiesto un rendimento elevato come per il trasferimento di tensioni a distanza si deve aumentare la resistenza di carico mentre per le applicazioni in cui è richiesto il massimo trasferimento di potenza la resistenza di carico deve essere uguale alla resistenza interna del generatore.

14) Relazione costitutiva del generatore di tensione controllato in corrente :

Infatti se nella porta 1 scorre I₁, non ci può essere caduta di potenziale, in quanto si presenta come un corto circuito, il parametro di controllo è una resistenza quindi si parla di transimpedenza.

15) Relazione costitutiva del generatore di tensione controllato in tensione :

Infatti se alla porta 1 è applicato v₁ è come se si avesse un circuito aperto e quindi non scorre corrente.

16) Relazione costitutiva del generatore di corrente controllato in tensione :

il parametro di controllo è in questo caso una ammettenza quindi si parla di transammettenza.

17) Relazione costitutiva del generatore di corrente controllato in corrente :

18) Relazione costitutiva del nullatore :

Si tratta di un bipolo la cui tensione ai capi vale 0 e così anche la corrente che lo attraversa, il suo simbolo –o-- .

19) Relazione costitutiva del noratore :

Si tratta di un bipolo la cui tensione ai capi e la corrente che lo attraversa possono assumere entrambe un valore qualsiasi, il suo simbolo è –oo-- .

20) Relazione costitutiva del nullore :

Si richiede un guadagno in tensione limitato mentre il guadagno in corrente ed in potenza si richiede sia infinito. Le condizioni da porre alla rete 2-porte sono :

mentre i₂ e v₂ possono assumere valori qualsiasi.

Queste relazioni derivano dal fatto che è un circuito a 2 porte con un nullatore come bipolo d´ingresso ed un noratore come bipolo d´uscita. Si deve osservare che nullatore e noratore non hanno alcun senso se considerati singolarmente.

21) Relazioni costitutive delle induttanze accoppiate :

22) Significato del puntino nelle induttanze accoppiate :

Se le due correnti che scorrono negli induttori sono entrambe entranti o uscenti dai puntini, le due cadute di tensione nella singola relazione sono con lo stesso segno, altrimenti hanno segni diversi.

23) Relazione costitutiva del trasformatore ideale :

Si hanno le due seguenti relazioni

dove è il rapporto di trasformazione, altrimenti si può osservare che nello scrivere le relazioni la tensione ha i pedici diversi mentre la corrente ha i pedici omogenei ossia , il meno per le correnti è dovuto a come si considera i₂ . La potenza assorbita dal trasformatore ideale è 0 e per dimostrarlo basta sostituire le sue equazioni costitutive nella P(t) = V₁I₁ + V₂I₂ .

24) Utilizzo del trasformatore ideale come trasformatore di impedenza :

Si immagini che la resistenza sul secondario sia R_out e si calcoli la resistenza R_in che si vede sul primario, sostituendo le equazioni costitutive del trasformatore ideale si trova quindi possiamo far si che il circuito su cui chiudiamo il primario veda una resistenza diversa da quella effettivamente collegata al secondario.

25) Valore del coefficiente di mutua induttanza :

Si ottiene calcolando l´energia e richiedendo che sia positiva imponendo in tal modo la passività del componente, raccogliendo si ottiene una equazione di 2° grado di cui il coefficiente del termine di 2° grado è un rapporto di induttanze quindi positivo pertanto basta imporre che non ci siano intersezioni con le ascisse ossia che il determinante sia minore di 0, si ottiene .

26) Coefficiente di accoppiamento :

27) Taglio :

Si tratta di una linea chiusa che interseca ogni elemento non più di una volta ed in corrispondenza ad un solo terminale individuando così un insieme di rami tale che la loro eliminazione rende il grafo risultante non connesso.

28) Maglia :

È una linea chiusa che interseca ogni elemento in corrispondenza ad entrambe i terminali.

29) Albero :

È un insieme connesso di rami che comprende tutti i nodi del grafo senza formare percorsi chiusi. Il n° dei rami è pari al n° dei nodi del grafo meno uno.

30) Co-albero :

Si tratta della insieme dei rami del grafo non appartenenti alla albero.

31) Maglia fondamentale associata alla albero :

Si tratta della maglia che si ottiene aggiungendo alla albero un solo ramo del co-albero.

32) Taglio fondamentale :

Si ottiene considerando un solo ramo della albero ed i rami del co-albero ad esso connessi.

33) Equazioni di equilibrio relative ai tagli e alle maglie fondamentali :

dove il pedice c indica i rami del coalbero mentre il pedice a indica i rami della albero.

34) Relazione tra la matrice [A] relativa ai tagli e la matrice [B] relativa alle maglie :

35) Principio di conservazione della potenza istantanea :

Afferma che la sommatoria delle potenze lungo R rami di un circuito è 0, . Si dimostra mediante le ; ; . si ha infatti

36) Teorema di Tallegen :

Se si considerano 2 circuiti aventi lo stesso grafo orientato ma con componenti distinti, si ha che la somma delle potenze mutue ossia il prodotto scalare tra il vettore delle correnti del circuito 1 ed il vettore delle tensioni del circuito 2 vale 0.