Analisi circuiti con memoria

1) u_-1(t) :

È il gradino unitario definito come  , esso descrive appropiatamente il comportamento fisico della interruttore, tranne che nei circuiti dove sono presenti induttori e quindi occorre la derivata della corrente, ma u_-1(t) non ammette derivata nell´origine in quanto discontinua.

2) u_-1,e(t) :

in tal modo la funzione gradino unitario che è discontinua nell´origine viene definita come limite per e ® 0 di una classe di funzioni continue  .

3) Ulteriore definizione del gradino unitario u_-1,e(t) :

4)u₀(t) :

È la funzione impulso unitario o d di Dirac   , nella teoria delle distribuzioni è la derivata del gradino unitario u_-1(t).

5) u_0,e(t) :

derivando la u_-1(e,t) si ottiene infatti     per essa si ha  , basta osservare che la funzione vale 1/e per 0<t<e però se si utilizza il limite per e®0 si hanno valori diversi a seconda che il limite sia fuori o dentro a quest´ultimo integrale.

6) Ulteriore definizione della impulso unitario u_0,e(t) :

Si osserva che coincide con la funzione che descrive la scarica di un condensatore.

7) Proprietà della d di Dirac :

 

8) Utilità della teoria delle distribuzioni :

La teoria delle funzioni è valida dal gradino u_-1(t)  in poi   u_-2(t) = rampa   ,   u_-3(t) = rampa parabolica     le quali si possono ottenere integrando ripetutamente, quando però ci sono funzioni come il gradino che hanno delle discontinuità, per derivarle occorre utilizzare la teoria delle distribuzioni.

 

9) Fasore :

Il fasore è un vettore associato ai segnali sinusoidali isofrequenziali, è caratterizzato solo da ampiezza e fase e ruota nel piano complesso con una velocità che è pari alla pulsazione del segnale .

 

10) Come passare dall´espressione nel tempo al fasore :

Occorre individuare la ampiezza che è quella che moltiplica il coseno e la fase che è il termine che all´interno della argomento del coseno non è moltiplicato per t, tale fase è la argomento della esponenziale complesso.

 

11) Come passare dal fasore all´espressione nel tempo :

Dal fasore occorre determinare il modulo e la fase mediante le consuete formule, dopodichè il modulo va a moltiplicare il coseno il cui argomento è la pulsazione (che deve essere nota a priori) moltiplicata per il tempo e sommata alla fase.

 

12) Relazione tra il fasore e la e(t) :

La grandezza sinusoidale e(t) è uguale alla proiezione sulla asse reale del vettore rotante associato al fasore della grandezza stessa   , un´altra interpretazione vede il fasore ed il suo complesso coniugato ruotare in senso opposto e la loro somma istante per istante dà luogo alla e(t), si ottiene esprimendo il coseno come semisomma di esponenziali.

 

13) Ordine di un sistema di equazioni differenziali associato ad un circuito con memoria :

L´ordine è pari alla somma dei condensatori e delle induttanze presenti nel circuito.

 

14) Interpretazione della costante di tempo :

La costante di tempo è l´intersezione con la tangente nell´origine alla curva che descrive la grandezza che si stà osservando e la asse dei tempi. Essa coincide con l´intervallo di tempo necessario affinché la grandezza si riduca ad 1/e del suo valore massimo.

 

15) Analisi nel dominio del tempo :

Questo tipo di analisi si basa sull´impostazione di una serie di equazioni relative sia al circuito che ai componenti in esso presenti, dopodichè si deve fare in modo di ridurle ad una unica equazione integro - differenziale in funzione di una incognita, tale equazione deve essere risolta con i metodi relativi alle equazioni differenziali, ed in essa devono essere sostituite le condizioni iniziali.

 

16) Definizione di trasformata di Laplace :

La trasformata di Laplace è definita dal seguente limite ,  dove s è un numero complesso che ha come unità di misura l´inverso di un tempo.

 

17) Definizione di trasformata di Laplace in ambito distribuzionale:

Occorre considerare anche 0^- in quanto altrimenti per una funzione come l´impulso, si trascura il contributo informativo che si ha nell´origine.

 

18) Trasformata nel dominio di Laplace del generatore indipendente di tensione e sua unità di misura :

Il valore del generatore nel dominio di s è la trasformata della funzione che descrive il generatore nel dominio del tempo, l´unita di misura è [V][s].

 

19) Trasformata nel dominio di Laplace del generatore indipendente di corrente e sua unità di misura :

Il valore del generatore nel dominio di s è la trasformata della funzione che descrive il generatore nel dominio del tempo,  l´unita di misura è [A][s].

20) Impedenza :

Quando si può scrivere la legge di Ohm nel dominio di s, in maniera lineare, la costante di proporzionalità tra tensione e corrente è chiamata impedenza ed è l´equivalente della resistenza nel caso reale.

 

21) Ammettenza :

Quando si può scrivere la legge di Ohm nel dominio di s, in maniera lineare, la costante di proporzionalità tra corrente e tensione è chiamata ammettenza ed è l´equivalente della conduttanza nel caso reale.

 

22) Relazione costitutiva del condensatore nel dominio di s :

Si ottiene applicando le trasformate di Laplace alla  ottenendo la  , si vede pertanto come nel circuito equivalente nel dominio di s si deve aggiungere un generatore che simuli la presenza delle condizioni iniziali, in questo caso è un generatore di corrente aggiunto in parallelo alla capacità di valore  mentre se si scrive l'equazione nella forma  , dove si può riconoscere una conduttanza moltiplicata per una differenza di potenziale, nel circuito equivalente si ha la serie di una capacità di valore  ed un generatore di tensione di valore  .

 

23) Relazione costitutiva della induttore nel dominio di s :

Si ottiene applicando le trasformate di Laplace alla  ottenendo la . È interessante vedere che il circuito associato vede una induttanza di valore sL con in serie un generatore di tensione di valore Li(0^-) che antitrasformato corrisponde ad un generatore impulsivo di valore Li(0^-)u₀(t) . Raccogliendo sL è anche possibile associare un circuito con una induttanza di valore sL avente in parallelo un generatore di corrente di valore  che antitrasformato corrisponde ad un generatore a gradino di valore i(0^-)u_-1(t).

 

24) Metodo delle condizioni iniziali per la risoluzione dei circuiti :

Quando non sia semplice l'antitrasformazione, si può lavorare direttamente nel dominio del tempo sostituendo al componente il suo circuito equivalente avente dei generatori impulsivi o a gradino al posto dei generatori di condizioni iniziali che si hanno nel dominio di Laplace.

 

25) Calcolo della trasformata di Laplace di un segnale sinusoidale :

Il segnale   possiede trasformata .