Stabilità ed oscillatori

1) Effetto della controreazione sulla larghezza di banda :

La controreazione negativa è in grado di ampliare la larghezza di banda, per il semplice motivo che riduce il guadagno dell'amplificatore, si deve però far attenzione al fatto che viene ampliata la banda solamente rispetto al parametro per il quale è progettato l'amplificatore ossia la tensione, la corrente, la transresistenza o la transconduttanza, mentre la banda relativa agli altri parametri rimane inalterata. Le nuove frequenze di taglio w_fl e w_fH possono essere dedotte sostituendo rispettivamente   ed   nella  si ottiene   e   . Si osservi che in maniera analoga la controreazione positiva aumenta il guadagno e stringe la banda.

 

2) Sistema instabile :

Si tratta di un sistema che, eccitato da un segnale a gradino, dà una risposta che cresce indefinitamente.

 

3) Criterio di Nyquist :

Nell'ipotesi che il guadagno a catena aperta Ab non abbia poli nel semipiano destro, il corrispondente sistema a catena chiusa è stabile se il diagramma di Ab non racchiude il punto critico  -1+j0 .

 

4) Margine di guadagno :

È il valore in dB di |Ab| calcolato alla frequenza a cui   ÐAb = 180°  .

 

5) Margine di fase :

È il complemento a 180° di  ÐAb calcolato alla frequenza a cui il modulo vale 0dB .

 

6) Classificazione degli amplificatori :

a)       Sinusoidali

b)       A rilassamento   (…in quanto utilizzano delle costanti di tempo)

 

7) Criterio di Barkhausen :

Debbono essere soddisfatte le seguenti due coppie equivalenti di relazioni:

a)            Im[Ab(w₀)]=0                       Re[Ab(w₀)]=1

b)            Ð[Ab(w₀)] =0                       |Ab(w₀)|     =1

in sostanza per mantenere una oscillazione occorre che lo sfasamento complessivo lungo l'anello sia zero e che il guadagno d'anello sia uguale ad 1 mentre per instaurare l´oscillazione occorre inizialmente avere Ab >>1 , saranno le non linearità o un controllo automatico di guadagno a garantire che a regime siano rispettate le condizioni di Barkhausen.

 

8) Numero di componenti reattivi necessari per avere un oscillatore :

Un solo elemento reattivo introduce uno sfasamento tra 0 e 90° pertanto, dato che per il criterio di Barkhausen  lo sfasamento complessivo lungo la anello deve essere zero risultano necessari almeno due elementi reattivi diversi oppure uguali a patto di collegarli uno in serie e la altro in parallelo in modo che lo sfasamento introdotto da un elemento sia uguale ed opposto allo sfasamento introdotto dall'altro elemento.

 

9) Oscillatore a mezzo ponte di Wien :

Utilizza un amplificatore non invertente con una serie RC tra ingresso ed uscita ed un parallelo RC tra ingresso e massa,

l´espressione della tensione al morsetto non invertente è  dalla quale dividendo numeratore e denominatore per   ed eguagliando i coefficienti di v_i  si ottiene  da cui per soddisfare   è necessario che   ed a tale pulsazione si ha Re[A_v]=3  quindi per avere |Ab|=1 deve essere b=1/3 .

 

10) Oscillatore a ponte di Wien :

Il circuito è lo stesso della oscillatore a mezzo ponte di Wien tranne che viene utilizzato un amplificatore differenziale con una retroazione negativa tramite un partitore R₁ , R₂ . L´espressione della tensione al morsetto non invertente è   sottraendo ad essa la tensione al morsetto invertente   si ricava un´espressione dalla quale annullando la parte immaginaria si ha  ed  quindi per rispettare la condizione di Barkhausen è sufficiente che sia R₁=2R₂ . Più in generale A_d può assumere qualsiasi valore compreso tra 1/3 ed ¥ infatti variando il rapporto delle resistenze che determina la controreazione negativa si riesce sempre a verificare le condizioni di Barkhausen.

 

11) Oscillatore a sfasamento :

È costituito da un amplificatore invertente il quale sfasa di 180° quindi per rispettare la condizione di Barkhausen secondo la quale lo sfasamento lungo la anello di un oscillatore deve essere 0° occorre inserire delle reti che sfasino di 180°. Si opta per delle reti RC in quanto meno costose e con Q più elevato rispetto alle RL, ciascuna di esse sfasa tra 0 e 90° tuttavia l´estremo superiore 90° può non essere raggiunto per la presenza di resistenze parassite ed allora occorre inserire 3 reti RC invece che due. Si scrive l´espressione della v_i , utilizzando Thevenin 3 volte quindi uguagliando a 1° e 2° membro i coefficienti della stessa si ottiene  da cui essendo   e   o viceversa, si osserva che la condizione di Barkhausen  sulle fasi è rispettata  se la somma delle potenze dispare è zero ossia se   da cui si ottiene   se il condensatore è in serie all´uscita quindi la controreazione è solo in alternata mentre si ottiene una pulsazione più alta   nel caso il condensatore sia in derivazione e quindi la controreazione vada progettata anche in alternata. In entrambe i casi per w=w₀ si ottiene A_v=29  il che rende l´oscillatore molto critico e difficile da realizzare soprattutto nel caso in cui le resistenze sono in serie e quindi influiscono sulla polarizzazione della amplificatore.

 

12) Oscillatore a 3 punti :

È costituito da un amplificatore di transconduttanza invertente con una impedenza Z₁ dall'ingresso verso il comune, una impedenza Z₂ dall'uscita verso il comune ed una impedenza Z₃ tra l'ingresso e l'uscita. L´espressione della tensione V all´ingresso della amplificatore è   da cui uguagliando i coefficienti di v si ottiene   che non è verificata se tutte e 3 le impedenze sono puramente immaginarie in quanto si avrebbe l´uguaglianza tra un numero immaginario ed un numero reale, in particolare o Z₁ o Z₂ deve possedere una parte reale. Nel caso che Z₁=R₁//jX₁ sostituendo nella precedente si trova per le fasi la condizione   e  , analogamente nel caso che Z₂ =R₂//jX₂ con le stesse considerazioni si giunge alle condizioni    e   .  Si osservi che in maniera duale si può realizzare un oscillatore a 3 punti anche mediante un amplificatore di transresistenza con 3 ammettenze che vanno verso il comune. Dovendo essere nulla la somma delle reattanze si ha che due elementi debbono essere condensatori ed uno induttanza o viceversa.

 

13) Oscillatore Colpitts :

È un oscillatore a 3 punti con due condensatori ed una induttanza mentre l´elemento amplificatore è un FET, dalla condizione sulle fasi   si ottiene la pulsazione di risonanza  dove  mentre sostituendo il circuito equivalente del FET si trova che si ha una resistenza in parallelo ad X₂  e quindi facendo riferimento alle formule trovate per l´oscillatore a 3 punti la condizione sui moduli  si scrive  pertanto si ha che variando L si può cambiare la pulsazione di risonanza lasciando inalterata la condizione sui moduli. Questo schema viene preferito all´Hartley negli oscillatori a frequenza fissa in quanto è presente una sola induttanza che è un elemento che aumenta molto l´imprecisione della analisi dato che presenta molti parassiti.

 

14) Oscillatore Hartley :

È un oscillatore a 3 punti con due condensatori ed una induttanza mentre l´elemento amplificatore è un BJT del quale si sostituisce il modello a p-ibrido nel quale si trascurano r_bb´ , r_b´c , r_ce   , , dalla condizione sulle fasi   si ottiene la pulsazione di risonanza  dove L = L₁+L₂ si osserva inoltre che si ha   quindi facendo riferimento alle formule per l´oscillatore a 3 punti la condizione sui moduli si scrive  pertanto variando C si può cambiare la pulsazione di risonanza lasciando inalterata la condizione sui moduli e dato che i condensatori variabili sono più precisi rispetto agli induttori variabili, l´oscillatore Hartley è da preferire al Colpitts nella realizzazione di oscillatori a frequenza variabile.

 

15) Realizzazione alternativa di un oscillatore a 3 punti :

Si utilizza un BJT polarizzato tramite R₁ ed R₂ e stabilizzato termicamente tramite R_E e C_E , il collettore è connesso a +V_CC tramite il primario di un trasformatore avente in parallelo un condensatore C che risulta determinante nella selezione della frequenza di oscillazione , ricordando che l´uscita presa sul collettore è sfasata di 180° e che la condizione di Barckausen sulle fasi prevede che lo sfasamento totale sia di 360° , il secondario del trasformatore posto tra base e massa ha gli avvolgimenti invertiti rispetto al primario inoltre c´è un condensatore in serie che in continua separa la base da massa, si osservi che il circuito risonante posto sul collettore alla frequenza di risonanza non sfasa in quanto si comporta come una resistenza . Si ottiene che la frequenza di risonanza è funzione oltre che degli elementi reattivi reali e parassiti, anche del carico R_L pertanto è necessario anteporre un buffer.

 

16) Caratteristiche del quarzo :

Sottoposto ad un campo elettrico, esso si deforma mentre se gli viene applicata una deformazione meccanica, genera ai suoi capi un campo elettrico. Il suo circuito equivalente prevede la serie di una induttanza associata alla massa, una capacità associata alla costante elastica ed una resistenza associata agli attriti del cristallo, il tutto in parallelo ad una capacità dovuta al fatto che il quarzo è frapposto tra due piastre metalliche. È caratterizzato sia da una frequenza di risonanza serie   che da una frequenza di risonanza parallelo  , si ha che w_p>w_s in quanto la capacità in parallelo è molto maggiore della capacità in serie. L´andamento della reattanza in funzione della frequenza mostra che essa è negativa quindi capacitiva per w compresa tra 0 ed w_s , è positiva tra w_s ed w_p in corrispondenza della quale diviene infinita (…pertanto si possono realizzare grosse induttanze variando di poco la frequenza) infine per w>w_p la reattanza è di nuovo capacitiva.

 

17) Fattore di sensibilità di un oscillatore :

Se in un circuito oscillante si altera uno dei componenti, si ha una variazione di frequenza dovuta al fatto che lo sfasamento della anello non è più zero tuttavia  se nel circuito è presente un elemento avente un Q alto, si ha che anche il fattore di sensibilità  è molto elevato pertanto lo sfasamento viene compensato variando la frequenza di pochissimo. In particolare per un oscillatore a 3 punti è  quindi realizzando un Colpitts con un quarzo al posto della induttanza si ottiene un ottimo oscillatore (PIERCE) per frequenze comprese tra la frequenza di risonanza serie e la frequenza di risonanza parallelo. Il problema è che è aumentata la stabilità ma il circuito è divenuto molto critico pertanto o oscilla ad una frequenza precisa o non oscilla affatto.

 

18) Realizzazione di un´oscillazione non distorta :

Affinché si inneschi l´oscillazione è necessario che sia Ab>1 il che comporta che la ampiezza cresce sin quando è limitata dalla non linearità dei dispositivi attivi, altrimenti si può agire dinamicamente su A o su b in modo da avere il guadagno d´anello |Ab|=1 una volta che si sia instaurata l´oscillazione.

 

Controllo automatico di b

 

Con riferimento all´oscillatore a ponte di Wien si può sostituire la resistenza R₂ relativa alla retroazione negativa con un FET la cui resistenza tra drain e source è funzione della tensione negativa sul gate che si ottiene raddrizzando la semionda negativa tramite un diodo ed un condensatore ed attenuandola in modo da rendere compatibili le tensioni presenti in uscita con le V_GS del FET che debbono essere comprese tra 0 e la tensione di Pinch-Off che vale circa –2V .

Controllo automatico di A

Si ha un Colpitts realizzato con un BJT stabilizzato termicamente tramite C_E ed R_E mentre il circuito oscillante è posto sul collettore dove è anche alimentato a +V_CC tramite un´induttanza di Choke molto grande la quale lascia passare solo la continua ma dinamicamente si comporta come un circuito aperto in maniera analoga viene posto un condensatore C₃ molto grande tra il circuito risonante e la base del BJT per evitare che dinamicamente essa si trovi a massa. Sul collettore viene prelevato il segnale da un buffer sul cui emettitore si ha un condensatore che blocca la continua ed un diodo che fa passare solo la semionda negativa che si va a sottrarre alla tensione presente su un condensatore inizialmente carico alla tensione imposta da uno zener tramite una resistenza , la tensione sul condensatore è prelevata tramite una resistenza variabile e va a variare la polarizzazione del BJT che inizialmente presentava il b massimo e che quindi col crescere della ampiezza delle oscillazioni deve diminuire sino a che |Ab| =1 .

Analisi grafica di circuiti non lineari

19) Effetto dinamico di condensatore ed induttore in presenza di un salto di tensione :                    

Il condensatore tende ad essere un corto circuito, mentre l'induttore un circuito aperto.

 

20) Analizzare il circuito costituito dalla serie di una induttanza e di un diodo con in parallelo una resistenza R :        

Il punto di lavoro del diodo è inizialmente nell´origine , un impulso di tensione, non si tramuta immediatamente in una corrente in quanto l'induttanza produce una tensione uguale ed opposta, il punto di lavoro quindi rimane nell'origine ma una volta che si esauriscono i transitori si sposta tendendo alla intersezione tra la retta di carico e il segmento che corrisponde alla resistenza dinamica del diodo il quale è in conduzione. Applicando ora una tensione negativa si ha che l'induttanza non lascia passare la corrente immediatamente pertanto il diodo permane in conduzione e il punto di lavoro tende all´intersezione della nuova retta di carico con il prolungamento del ramo della caratteristica linearizzata del diodo, giunti nell'origine questo si interdice ed il punto di lavoro tende all´intersezione tra la retta di carico e il ramo R_i della caratteristica linearizzata del diodo. L´andamento della tensione ai capi del diodo si ottiene per via grafica ribaltando la caratteristica del diodo su cui è stato sovrapposto il ciclo di lavoro e connettendo con gli esponenziali gli istanti topici del segnale d´ingresso, in particolare quando il diodo conduce la costante di tempo è   mentre quando è interdetto è   che è più piccola della precedente e quindi l´esponenziale arriverà più velocemente al valore limite.

 

21) Analizzare il circuito costituito da un transistore avente sul collettore un relay con in parallelo un diodo :

Inizialmente il transistor è interdetto come pure il diodo pertanto il punto di lavoro è all´intersezione tra la retta di carico statica e la i_b = i_bl quando la corrente sulla base del BJT diviene i_bk il punto di lavoro tende all´intersezione tra la retta di carico statica e la i_b=i_bk ma lo fa muovendosi istantaneamente lungo la retta di carico dinamica che dato che al salto l´induttanza si comporta come un circuito aperto , coincide con la caratteristica inversa del diodo opportunamente ribaltata e traslata. A questo punto l´induttanza inizia a far passare corrente il che sulla caratteristica i_b = i_bk corrisponde ad un aumento della V_CE  e la costante di tempo è inizialmente    mentre quando si esce dalla saturazione diviene  e con essa il punto di lavoro tende all´intersezione tra la i_b = i_bk e la retta di carico statica, punto che raggiungerà dopo un tempo sufficientemente lungo. Quando il segnale d´ingresso passa allo stato basso, il punto di lavoro tende all´intersezione tra la retta di carico statica e la i_b = i_bL lo fa inizialmente spostandosi lungo la retta di carico dinamica che ancora una volta coincide con la caratteristica inversa del diodo opportunamente ribaltata e traslata, istantaneamente lungo essa giunge in V_CE =V_CC e a questo punto il diodo inizia a condurre e la retta di carico dinamica diviene la caratteristica diretta del diodo quindi la costante di tempo è  con la quale raggiunge la tensione V_CE=V_CC  per la quale il diodo si interdice nuovamente e si giunge al punto di lavoro con costante

 

22) Diodo di "Free-wheeling" :

È un diodo che si pone in parallelo ad un relais al fine di evitare che le forti sovratensioni presenti nell´induttanza alla atto della commutazione si presentino ai capi del transistor facendogli raggiungere la zona di breakdown con conseguente rottura.

 

23) Analizzare il circuito costituito da un transistore avente sul collettore un condensatore ed un diodo verso massa :

Inizialmente il punto di lavoro è nell´intersezione tra la retta di carico statica e la i_b =i_bL , al salto di tensione positivo in ingresso si ha un salto di tensione negativo sul collettore, il condensatore si comporta inizialmente come un corto circuito  pertanto il diodo si interdice così il punto di lavoro si sposta istantaneamente sulla i_b=i_bK seguendo la retta di carico dinamica con pendenza R_i//r_i per poi spostarsi lungo la i_b=i_bK tendendo al punto di intersezione della stessa con la retta di carico, la costante di tempo è . Al salto di tensione negativo in ingresso si ha un salto di tensione positivo sul collettore, il condensatore si comporta come un corto circuito pertanto il diodo conduce  così il punto di lavoro si sposta istantaneamente sulla i_b = i_bL seguendo la retta di carico dinamica con pendenza R₁//r_d per poi spostarsi lungo la i_b = i_bL  tendendo al punto di intersezione della stessa con la retta di carico, la costante di tempo è .

 

Oscillatori non sinusoidali (multivibratori)

24) Comportamento monostabile per un dispositivo a resistenza negativa di tipo n :

Il diodo Tunnel va inserito in serie ad una resistenza ed una induttanza, al variare della resistenza R e della tensione di alimentazione, varia la retta di carico e si possono presentare i seguenti casi :

Intersezione della retta di carico con il ramo a resistenza R₁

Si ha l´equazione differenziale   dove da un punto di vista grafico v´ si ottiene proiettando nella direzione di R il generico punto della caratteristica di coordinate i_D , v_D . Partendo dall´origine si osserva graficamente che V_CC > v´  pertanto  e quindi il punto di lavoro si sposta finche non raggiunge il punto di equilibrio K .

Intersezione della retta di carico con il ramo a resistenza R₃

Partendo dall´origine il punto di equilibrio K viene raggiunto percorrendo il ramo R₁ e poi con un salto a corrente costante per la presenza della induttore ci si sposta sul ramo R₃ e quindi sul punto di equilibrio K. Il comportamento monostabile si dimostra applicando un impulso negativo di ampiezza e durata tale da superare il punto di rottura , con un salto a corrente costante il punto di lavoro si sposta sul tratto a resistenza R₁ e da esso evolve sino a riportarsi sul tratto a resistenza R₃ nel punto di equilibrio K .

 

25) Comportamento astabile per un dispositivo a resistenza negativa di tipo n :

La retta di carico deve intersecare il solo ramo R₂ del tunnel di tipo n, a tal fine immaginiamo che sia pressoché verticale come pure è in verticale la proiezione sulla asse delle tensioni del generico punto della caratteristica, giunto al 1° punto di rottura V_CC > V´ pertanto la corrente deve ancora aumentare, si rende quindi necessario un salto a corrente costante sul ramo R₃ dove però V_CC < V´ pertanto la corrente deve diminuire quindi il punto di lavoro percorre questo ramo sin quando in corrispondenza del 2° punto di rottura avviene un salto a corrente costante che ci riporta sul ramo R₁, ne segue che il circuito si comporta come un oscillatore in quanto il punto di equilibrio K non viene mai raggiunto.

Come grandezze d´uscita si possono prendere sia la tensione che la corrente ai capi del diodo, le forme d´onda si ottengono tracciando delle parallele al tempo a partire dai punti estremali del ciclo di lavoro ed unendoli tra loro mediante esponenziali con costanti di tempo   mentre quando è interdetto è  mentre i salti che avvengono a corrente costante sono istantanei nel diagramma della v_d , si osservi che essi sono possibili soltanto per la presenza di una capacità parassita in parallelo al tunnel, essa assorbe l´effettiva variazione di corrente che consentirebbe al ciclo di lavoro di permanere sulla caratteristica del tunnel.

 

26) Comportamento bistabile :

Si ottiene facendo si che la retta di carico intersechi tutti e tre i rami della caratteristica del Tunnel, si ha che il punto di equilibrio sul tratto a resistenza negativa è instabile in quanto una volta che ci si allontana da esso, il punto di lavoro diventa, a seconda della sollecitazione applicata, uno degli altri due punti di intersezione tra la caratteristica e la retta di carico. In particolare se ci si trova sul punto di equilibrio del ramo R₁ , un impulso positivo di opportuna ampiezza e durata ci porta sul punto di equilibrio del ramo R₃ e di qui un impulso negativo di opportuna ampiezza e durata ci porta al punto di equilibrio sul ramo R₁ .

 

27) Realizzazione di una resistenza negativa di tipo S :

Si ha un transistore montato ad emettitore comune con la base a massa tramite una resistenza R_b , si ha che l'effetto valanga inizialmente tende ad essere come per il base comune, per poi appiattirsi sull'effetto valanga caratteristico dell'emettitore comune in quanto quando aumenta la corrente che scorre nell'emettitore, aumenta anche la caduta di potenziale sulla resistenza di base. Per inclinare la caratteristica dopo il ginocchio si mette una resistenza r_C sul collettore che limita la corrente evitando la rottura del transistor.

 

28) Realizzazione di multivibratori astabili, monostabili e bistabili con la resistenza negativa di tipo S :

Il circuito a cui si fa riferimento prevede la resistenza negativa di tipo S con in parallelo un condensatore C, il tutto alimentato dalla tensione V_CC tramite una resistenza R. Per la analisi si scrive l´equazione differenziale   e poi si procede analogamente a quanto fatto per la resistenza negativa di tipo N , in particolare si ha un astabile se il punto di lavoro si trova sul ramo a resistenza negativa, si ha un monostabile se il punto di lavoro si trova su uno dei due rami a resistenza positiva ed infine si ha un bistabile se il punto di lavoro interseca tutti e tre i rami della caratteristica. Si osservi che per la presenza del condensatore i salti avvengono a tensione costante, possibili solo per la presenza di induttanze parassite nei fili di collegamento, si considera il segno di   e non di  .

 

29) Condizioni di oscillazione per le resistenze negative di tipo n e di tipo s :

Se la retta di carico è parallela al ramo della caratteristica a resistenza negativa (…sia di tipo S che di tipo S) si ha un oscillatore sinusoidale, se la retta di carico è caratterizzata da una resistenza molto alta al limite se infinita (…circuito aperto) diviene verticale e nel caso dei dispositivi S si ha un bistabile (non oscilla) mentre per i dispositivi N si ha un astabile (oscilla) quindi per sapere se un dispositivo è di tipo S o N basta lasciarlo aperto, se oscilla è S altrimenti è N.

Analogamente se la retta di carico è caratterizzata da una resistenza molto bassa al limite nulla (corto circuito) diviene orizzontale e nel caso dei dispositivi S si ha un astabile (oscilla) mentre per i dispositivi N si ha un bistabile (non oscilla) quindi per sapere se un dispositivo è S o N basta chiuderlo in corto circuito, se oscilla è di tipo S altrimenti di tipo N.

In sostanza se abbiamo un dispositivo a resistenza negativa R_n ai cui morsetti si affaccia un circuito a resistenza positiva R_p affinché permanga l´oscillazione si deve avere R_n + R_p = 0 o analogamente G_n + G_p = 0 ed anche in alta frequenza g₁g₂=1. Nella fase di instaurazione della oscillazione deve però essere Re[Ab]>1 e si deve tener presente che R_n + R_p >0 corrisponde a G_n + G_p < 0 .