La risposta impulsiva
1) Risposte canoniche :
Risposta impulsiva w(t) : è la risposta all´impulso di Dirac
Risposta indiciale w-1(t) : è la risposta al gradino unitario
2) Risposta indiciale w-1(t) :
È la risposta al gradino unitario.
3) Risposta impulsiva w(t) :
È la risposta alla d di Dirac, è importante perché la trasformata di Laplace della impulso è 1 quindi 
pertanto la risposta impulsiva corrisponde alla antitrasformata della funzione di trasferimento w(s).
4) Risposta a regime :
È la parte della risposta che rimane quando si sono esauriti i transitori ed è dovuta al forzamento indotto dall´ingresso
5) Risposta in transitorio :
6) Funzione di trasferimento di un sistema elementare del 1° ordine e risposte associate :
La risposta impulsiva è 
, si ha che la tangente nell'origine alla risposta impulsiva interseca l'asse delle ascisse per t = t valore per il quale l'ampiezza si è ridotta ad 
del valore massimo. La risposta indiciale è 
, si osserva che è necessario un tempo superiore a 3t prima che l'ampiezza rimanga entro il 5% del valore finale.
7) Tempo di assestamento :
È il tempo occorrente perché la ampiezza della uscita rimanga entro il 5% del valore finale.
8) Funzione di trasferimento tipica di un sistema del 2° ordine :
Dove x è il seno dell'angolo compreso tra l'asse immaginario positivo ed il vettore congiungente l'origine con uno dei due poli complessi coniugati mentre wn è il modulo di tale vettore.
9) Caratteristica delle risposte indiciali di un sistema del 2° ordine nel caso di x variabile ed wn costante :
Si ha che per x = 0 si ha la massima sovraelongazione in quanto i poli sono immaginari mentre per x = 1 non si ha sovraelongazione in quanto i poli sono reali coincidenti.
10) Caratteristica delle risposte indiciali di un sistema del 2° ordine nel caso di x costante ed wn variabile :
La massima sovraelongazione rimane invariata ma al crescere di wn aumenta il tempo necessario affinchè l'uscita raggiunga il valore di regime.
11) Caratteristica delle risposte indiciali di un sistema del 2° ordine nel caso di wi costante e s variabile :
La pulsazione per la quale avviene la massima sovraelongazione è sempre la stessa, s deve naturalmente essere negativo altrimenti si ha una risposta illimitata, quanto più il polo è vicino all'origine, tanto più elevata è la sovraelongazione.
12) Risposta di un sistema qualunque :
È ottenibile come combinazione delle risposte dei sistemi elementari componenti del 1° e del 2° ordine.
13) Risposta di un sistema con 2 poli ed uno zero al variare della posizione dello zero :
Se lo zero è prossimo all´origine ma nel semipiano negativo si ha una sovraelongazione della risposta mentre se lo zero è nel semipiano positivo si ha una sottoelongazione, in ogni caso lo zero può modificare solo l'ampiezza della risposta, non la tipologia.
14) Polo dominante :
È il polo principale, normalmente il più vicino all´origine, ciò non è vero solo se vicino ad esso c´è uno zero che ne rende il residuo infinitesimo e quindi un polo anche più lontano ha maggiore influenza.
15) Sistema instabile :
Presenta una uscita illimitata anche in corrispondenza ad ingressi limitati.
16) Modi :
Si tratta di termini la cui somma dà luogo alla risposta nel tempo di sistemi lineari e stazionari in presenza di poli semplici.
17) Definizioni possibili di sistema stabile :
a) la risposta rimane limitata in corrispondenza ad ogni ingresso limitato 
.
b) la funzione di trasferimento possiede tutti poli allocati nel semipiano complesso sinistro.
c) La risposta impulsiva è assolutamente sommabile ossia è limitato l´integrale 
Dalla definizione c) segue che l´integrale è convergente Û la risposta impulsiva tende a 0 per t®¥.
18) Variazione della stabilità in funzione delle condizioni iniziali e della ingresso :
La stabilità è invariante per variazione della ingresso o delle condizioni iniziali, essa è quindi una proprietà intrinseca del sistema.
19) Sistema asintoticamente stabile :
È un sistema che presenta una risposta che converge asintoticamente a zero per t®¥ .
20) Possibili comportamenti di un sistema con condizioni iniziali nulle sottoposto ad un ingresso limitato in durata :
a) risposta limitata , il sistema viene detto stabile.
b) risposta divergente, il sistema viene detto instabile.
c) risposta limitata che converge asintoticamente a 0 , il sistema viene detto asintoticamente stabile.
21) Condizione necessaria e sufficiente di stabilità :
La funzione di trasferimento del sistema deve possedere unicamente poli a parte reale negativa oppure nulla , quest´ultimi unicamente se con molteplicità pari ad uno.
22) Condizione necessaria e sufficiente di stabilità asintotica :
La funzione di trasferimento del sistema deve avere solo poli a parte reale strettamente negativa.
23) Sistema al limite di stabilità :
Un sistema è al limite di stabilità quando ci sono poli a parte reale nulla con molteplicità pari ad uno.
24) Stabilità BIBO :
Un sistema lineare e stazionario che abbia condizioni iniziali nulle è stabile BIBO se ad ogni segnale d´ingresso u(t) limitato corrisponde una uscita y(t) limitata.
25) Tipologia dei poli per un sistema stabile BIBO :
Si tratta di poli a parte reale strettamente negativa.
26) Relazione tra un sistema stabile BIBO ed un sistema asintoticamente stabile :
Un sistema è stabile BIBO se e solo se è asintoticamente stabile, ossia se i poli della funzione di trasferimento sono tutti a parte reale strettamente negativa.
27) Condizione necessaria affinché le radici di un polinomio siano tutte a parte reale negativa :
La condizione necessaria è che tutti i coefficienti del polinomio siano positivi.
28) Realizzazione della tabella di Routh :
Dato un polinomio nella forma 
si realizza una tabella numerando le righe a partire dal grado del polinomio sino a zero. Le prime due righe si riempiono posizionando i coefficienti del polinomio alternativamente sulla 1ª e sulla 2ª riga si ottiene pertanto 
.
Il 1° coefficiente della riga 3 si ottiene dalla matrice 
e vale 
mentre Il 2° coefficiente della riga 3 si ottiene dalla matrice 
e vale 
, in entrambe i casi la divisione per b è necessaria nel caso sia b<0 altrimenti si può evitare, ma per tutta la riga.
Analogamente si procede per i restanti coefficienti, si deve ottenere che il coefficiente della colonna 0 è pari al termine noto ma questo non è vero nel caso in cui per semplificare i calcoli si sia divisa una intera riga per un numero positivo.
29) Criterio di Routh :
Il criterio di Routh consente di realizzare una tabella tale che le variazioni di segno della prima colonna sono pari al numero di radici positive del polinomio, quindi per la stabilità interessa che non vi sia nessuna variazione di segno ossia che gli elementi della 1ª colonna siano tutti positivi.
30) Come sostituire un coefficiente pari a zero nella 1ª colonna della tabella di Routh :
Sono possibili i due seguenti artifizi :
a) invertire il polinomio ossia sostituire s con 
.
b) moltiplicare per (s+a) in genere (s+1) oppure (s+2) si creano però dei problemi nel caso in cui questi valori siano già radici del polinomio.
31) Come sostituire una riga con coefficienti tutti nulli nella tabella di Routh :
Si utilizzano i coefficienti della riga precedente per scrivere un polinomio di grado pari all'ordine della stessa (…è sempre un n° pari) , il polinomio così trovato deve esser derivato ed i suoi coefficienti divengono i coefficienti della riga nulla.
32) Misura diretta della risposta impulsiva e sua validità :
Essa si compie mandando in ingresso al sistema 3 rampe con opportune pendenze in modo da creare una forma d'onda trapezoidale che approssimi l'impulso ideale, l'uscita del sistema approssima bene la risposta impulsiva a patto che la durata della ingresso pulsante sia molto minore della più piccola costante di tempo del sistema, ma le costanti di tempo sono ignote quindi per determinare la durata della impulso non si fa altro che alterare le rampe in modo da dimezzare il periodo della impulso, ed al contempo se ne aumenta la ampiezza in modo che la area rimanga unitaria, iterando la procedura si giunge al momento in cui la risposta rimane invariata, ebbene il periodo della impulso corrispondente risulta essere molto minore della più piccola costante di tempo del sistema.
Il problema è che per mantenere l´impulso di area unitaria per costanti di tempo piccole si debbono richiedere ampiezze del segnale molto elevate, il che può creare dei problemi di saturazione.
33) Misura della risposta indiciale :
Il gradino viene simulato mediante la differenza di due rampe di pendenza 1/T , la risposta del sistema viene detta pseudoindiciale, non è applicabile nel caso il sistema presenti già un polo nell'origine in quanto si avrà in uscita una rampa che non consente di ottenere risultati.
34) Processo ergodico :
Si tratta di un processo stazionario il quale può generare unicamente funzioni con probabilità nulla o unitaria.
35) Funzione di autocorrelazione :
È una funzione jf che valuta il grado di correlazione di una funzione f(t) con se stessa, si ha :
o anche 
quest'ultima è scritta in termini di un ritardo e quindi da un punto di vista fisico è più significativa.
36) Funzione di mutua correlazione :
È una funzione jfg che valuta il grado di correlazione tra due funzioni f e g , si ha :
nella realtà dovendo operare con tempi di integrazione finiti occorre effettuare una stima che consiste semplicemente nel prendere l´integrale così com´è senza farne il limite.
37) Relazione di Wiener - Lee :
Quando si voglia effettuare una misura indiretta della risposta impulsiva si può inserire un correlatore che calcoli appunto la funzione di mutua correlazione tra il segnale d'ingresso ed il segnale d'uscita del sistema infatti sostituendo l'integrale di convoluzione nella funzione di mutua correlazione si ottiene 
che essendo noto il segnale d'ingresso u(t) e quindi la sua funzione di autocorrelazione, tramite una deconvoluzione restituisce la risposta impulsiva.
38) Proprietà del rumore bianco :
Il rumore bianco è caratterizzato dalle 4 seguenti proprietà :
a) media nulla
b) densità di probabilità di tipo gaussiano o uniforme
c) stazionarietà ed ergodicità
d) funzione di autocorrelazione jr(t) pari ad un impulso di area proporzionale alla varianza sr2.
39) Misura indiretta della risposta impulsiva con e senza l´ingresso normale :
a) con ingresso disinserito
Mandando in ingresso al sistema un rumore bianco si ha che la funzione di mutua correlazione tra ingresso ed uscita del sistema rilevata dal correlatore è pari al prodotto della varianza sr2 del rumore binaco moltiplicata per la risposta impulsiva ed è quindi proporzionale ad essa.
b) con ingresso inserito
Si invia in ingresso al sistema la somma del segnale u(t) e del rumore bianco r(t). Al correlatore si invia invece il segnale d'uscita y(t) ed il rumore bianco, si ottiene quindi che la funzione di mutua correlazione rumore-uscita restituisce ancora la risposta impulsiva moltiplicata per la varianza del rumore più un termine che può essere reso nullo a patto che la correlazione tra il segnale d'ingresso ed il rumore sia nulla.