La risposta armonica
1) Condizioni di Dirichlet :
Si tratta delle condizioni sotto le quali esiste lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica f(t) :
a) in ogni periodo di f(t) ci deve essere un numero finito di massimi, di minimi e di discontinuità
b) f(t) deve essere univoca
c) f(t) deve essere sommabile 
2) Sviluppo in serie di Fourier in forma trigonometrica :
Si ha 
essendo
3) Sviluppo in serie di Fourier in forma esponenziale :
essendo 
4) Integrale di Fourier :
esso corrisponde all'antitrasformata di Fourier.
5) Trasformata di Fourier di una funzione f(t) :
la funzione f(t) pur potendo non essere periodica deve comunque soddisfare le condizioni di Dirichlet e l'integrale deve esistere per ogni valore di w .
6) Spettro e spettro di energia della f(t) :
La trasformata di Fourier di f(t) è un numero complesso e si può scrivere nella forma 
dove A(w) viene chiamato spettro della f(t) mentre A2(w) viene chiamato spettro di energia della f(t).
7) Proprietà di cambio della scala temporale :
si osserva che ad una espansione nel dominio del tempo corrisponde una contrazione nel dominio della frequenza.
8) Proprietà di traslazione nel tempo :
si osserva che la traslazione nel dominio del tempo mantiene il segno.
9) Proprietà di traslazione nella frequenza :
si osserva che la traslazione nel dominio della frequenza altera il segno.
10) Proprietà di differenziazione nel tempo :
11) Proprietà di differenziazione nella frequenza :
12) Proprietà di convoluzione nel tempo :
13) Proprietà di convoluzione nella frequenza :
14) Formula di Parseval :
dove A2(w) è lo spettro di energia mentre l'integrale a primo membro rappresenta proprio l'energia del segnale.
15) Relazioni tra risposta impulsiva, risposta armonica, funzione di trasferimento e trasformate di Laplace e Fourier :
La risposta impulsiva è la antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento e coincide anche con la antitrasformata di Fourier della risposta armonica.
16) Utilità della risposta armonica :
a) è di facile rilievo sperimentale, basta infatti sottoporre al sistema sinusoidi a diversa frequenza
b) è funzione complessa di variabile reale quindi può essere facilmente rappresentata.
17) Risposta armonica e sua relazione con la funzione di trasferimento :
Si tratta del valore della funzione di trasferimento W(s) calcolata in s = jw il che corrisponde al considerare come ingresso una sinusoide e trascurare la andamento transitorio.
18) Decade ed ottava :
Si ha una variazione di una decade quando da una frequenza f0 si passa ad una frequenza f1 = 10 f0 .
Si ha una variazione di una ottava quando da una frequenza f0 si passa ad una frequenza f1 = 2 f0 .
Si ha che una variazione di 20 dB per decade corrisponde ad una variazione di 6 dB per ottava.
19) Decibel :
La introduzione del Decibel è giustificata dal dover rendere lineare la scala delle ampiezze nei diagrammi di Bode in quanto è lineare anche la scala delle fasi, e questo non si poteva fare dato che viene inserito il logaritmo per scomporre la G(jw) nella somma e differenza di diversi fattori che erano moltiplicati o divisi , si ha 
.
20) 
:
0.3
21) Rappresentazione della funzione G0 :
Essa corrisponde in modulo al guadagno statico espresso in dB ed è quindi una retta orizzontale mentre la fase è pari a 0° oppure -180° a seconda che il guadagno statico sia positivo oppure negativo.
22) Rappresentazione della funzione G1N(jw) :
Essa rappresenta uno zero nell´origine, dà luogo per il modulo ad una retta avente pendenza +20dB/decade che interseca la asse delle ascisse per w = 1 mentre la fase è caratterizzata da una retta orizzontale che interseca le ordinate per j = 90°.
23) Rappresentazione della funzione G1D(jw) :
Essa rappresenta un polo nell´origine, dà luogo per il modulo ad una retta avente pendenza di -20dB/decade equivalenti a -6dB/ottava mentre la fase è caratterizzata da una retta orizzontale che interseca le ordinate per j = -90° .
24) Diagrammi di Bode nel caso di zeri o poli nell'origine con molteplicità maggiore di uno :
La pendenza è pari alla molteplicità moltiplicata per ±20dB/decade mentre nel diagramma delle fasi la pendenza è pari alla molteplicità moltiplicata per ±90°. In entrambe i casi i + sono relativi agli zeri ed i - sono relativi ai poli.
25) Punto di rottura :
Si ha un punto di rottura in corrispondenza a 
dove t è la costante di tempo relativa al polo 
.
26) Rappresentazione della funzione G2N(jw) in modulo e relativi errori caratteristici :
Si tratta di uno zero reale, il diagramma asintotico del modulo vale 0dB prima del punto di rottura mentre dopo di esso sale con pendenza pari a 20dB/decade, l´errore della approssimazione è di 3dB nel punto di rottura, 1dB una ottava prima ed una dopo il punto di rottura e 0.1dB una decade prima ed una decade dopo il punto di rottura.
27) Rappresentazione della funzione G2N(jw) in fase e relativi errori caratteristici :
Il diagramma asintotico delle fasi è costante e vale 0° sino ad una decade prima del punto di rottura, è costante e vale 90° a partire da una decade dopo il punto di rottura mentre presenta una pendenza pari a 45°/decade nell´intervallo compreso tra una decade prima ed una decade dopo del punto di rottura.
28) Rappresentazione della funzione G2D(jw) :
Si tratta di un polo reale, il diagramma asintotico del modulo vale 0dB prima del punto di rottura mentre dopo di esso scende con pendenza pari a -20dB/decade, l´errore della approssimazione è di -3dB nel punto di rottura, -1dB una ottava prima ed una dopo il punto di rottura e -0.1dB una decade prima ed una decade dopo il punto di rottura.
29) Sistema a fase minima :
Un sistema è detto a fase minima quando poli e zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto sono tutti nel semipiano destro.
30) Radici del fattore trinomio in relazione al coefficiente di smorzamento :
Þ si hanno radici reali coincidenti
Þ si hanno radici reali complesse coniugate
Þ si hanno radici immaginarie
31) Segno di zeri e poli in corrispondenza a coefficienti di smorzamento negativi :
Si tratta di zeri e poli a parte reale positiva.
32) Tracciamento del diagramma dei moduli per il fattore trinomio G3N(jw) :
Per pulsazioni inferiori alla pulsazione di rottura, il modulo vale 0dB mentre a partire dalla pulsazione di rottura in avanti il modulo cresce di +40dB/decade .
33) Rappresentazione esatta della funzione G3(jw) :
la curva interseca l'asse delle ascisse dopo wn quindi è sempre sopra al diagramma asintotico
la curva interseca l'asse delle ascisse prima di wn
la curva non interseca l'asse delle ascisse quindi è sempre sotto al diagramma asintotico
si osserva inoltre che per 
si ha sempre sovraelongazione.
34) Tracciamento del diagramma delle fasi per il fattore trinomio G3N(jw) :
la fase vale 0° per pulsazioni inferiori alla frequenza di risonanza, scende lentamente sino a valere +90° in corrispondenza della stessa mentre per frequenze superiori sale sino a valere +180° .
la fase vale 0° per pulsazioni inferiori alla frequenza di risonanza, dopodichè c´è una brusca discontinuità che porta la fase a valere +180°
35) Modalità di calcolo della fase iniziale :
È pari al prodotto della differenza tra il numero di poli ed il numero di zeri nell´origine moltiplicata per –90°. Al valore trovato si deve aggiungere –180° nel caso che il guadagno statico sia negativo.
36) Modalità di calcolo della fase finale :
È pari al prodotto della differenza tra il numero di poli ed il numero di zeri moltiplicata per –90°, dove tra i poli si debbono considerare anche gli zeri a parte reale positiva mentre tra gli zeri si debbono considerare anche i poli a parte reale positiva. Al valore trovato si deve aggiungere –180° nel caso che il guadagno statico sia negativo.
37) Modalità di calcolo della pendenza iniziale :
È pari al prodotto della differenza tra il numero di poli nell´origine ed il numero di zeri nell´origine moltiplicata
per –20dB/decade.
38) Modalità di calcolo della pendenza finale :
È pari al prodotto della differenza tra il numero di poli ed il numero di zeri moltiplicata per –20dB/decade.
39) Effetto sul diagramma di Bode di uno zero o polo a parte reale positiva :
L´effetto sul modulo è indifferente dall´effetto prodotto da uno zero o da un polo a parte reale negativa mentre l´effetto sulle fasi è opposto così uno zero a parte reale positiva determina una pendenza negativa di –45°/decade mentre un polo a parte reale positiva determina una pendenza positiva di +45°/decade.
40) Effetto sul diagramma di Bode di una coppia di poli complessi coniugati :
Determinano una pendenza nel modulo di –40dB/decade ed una discontinuità nella fase di –180°.