Irradiazione elettromagnetica
1) La funzione scalare di Green :
In elettromagnetismo si considera la risposta impulsiva nello spazio in quanto le sorgenti hanno un andamento sinusoidale nel tempo ma sono nulle ovunque tranne che nel punto r' in cui sono locate, essa consente di determinare le grandezze elettromagnetiche prodotte dalla sorgente nei punti r dello spazio, in particolare si può determinare il potenziale vettore 
in questo caso la risposta impulsiva coincide con la funzione scalare di Green, oppure si può determinare il campo 
dove stavolta la risposta impulsiva è la funzione diadica di Green la quale è più complessa trattandosi di un vettore. Per determinare la funzione scalare di Green si fa riferimento all'equazione delle onde scalare (…proiettata su uno degli assi cartesiani) in presenza di correnti impresse spazialmente impulsive 
di cui la funzione scalare di Green è soluzione.
L'origine del sistema di coordinate è il punto dove è posta la sorgente, se consideriamo l'equazione precedente nei punti esterni alla sfera che comprende le sorgenti si ha 
da cui dividendo per r e prendendo la soluzione rG si ha 
la cui soluzione è la somma di un'onda progressiva e di un'onda regressiva, quest'ultima non viene considerata in quanto fisicamente non ha senso un'onda che collassa. Dividendo per r si trova l'espressione della funzione scalare di Green 
dove il coefficiente C si trova integrando l'equazione 
sul volume sferico di raggio r0 contenente le sorgenti, utilizzando le coordinate sferiche e dividendo per r2 si ottiene 
che, svolgendo i calcoli porta a 
che per r®0 diviene infinita ma considerando gli infiniti di ordine superiore e semplificando si ottiene 
e quindi 
. In definitiva il potenziale vettore di un punto qualsiasi dello spazio si trova con la 
esteso al solo volume che contiene le sorgenti. In particolare nel caso di una sorgente impulsiva 
si trova 
il cui rotore in coordinate sferiche, semplificato tenendo conto che 
per via della simmetria assiale della sorgente, dà
ed è quindi sempre ortogonale alla sorgente, sostituendolo nella 
si ottiene 
quindi giace in un meridiano che contiene la direzione delle sorgenti. Dalle precedenti facendo il 
si ottiene il campo di induzione mentre col 
si ottiene il campo di radiazione.
2) Irradiazione da sorgenti di dimensioni finite :
Si considera una sorgente non più impulsiva ma di dimensioni finite, un suo punto è preso come origine del sistema di coordinate, tutti gli altri punti della sorgente distano r' da esso ed R dal punto p di osservazione che invece dista r dall'origine. Il campo H si ricava dal potenziale vettore A il quale è legato alle sorgenti tramite la risposta impulsiva (…la funzione scalare di Green) 
, chiaramente per r®0 dei termini dentro parentesi si considera solo 
mentre per r®¥ si considera solo jb . L'integrale che si ottiene per il campo a grande distanza 
si semplifica in quanto se la massima dimensione D della sorgente è molto minore della distanza R (…tra un punto della sorgente ed il punto p) si ha che il versore R0 @ r0 e quindi è costante nel volume V' che racchiude la sorgente e può essere portato fuori dall'integrale, come pure al denominatore R @ r mentre nell'argomento dell'esponenziale si sostituisce 
dove 
è il versore nella direzione che unisce l'origine con il punto di sorgente p' che dista r' , in definitiva si ha 
sostituendo nella si ottiene 
.
Le carateristiche dei campi ottenuti sono descritte dalle condizione di radiazione :
.
3) Reciprocità elettromagnetica :
Il campo prodotto da una sorgente A1 monocromatica costituita da correnti impresse magnetiche Jm1 ed elettriche Ji1 soddisfa le equazioni 
, 
, mentre per l'analoga sorgente A2 operante alla stessa frequenza si ha 
, 
, moltiplicando rispettivamente per H2 , E2 , -H1 , -E1 e sommando membro a membro si ottiene al 1° membro una quantità che con la solità identità vettoriale viene riportata a 
. Integrando al 1° ed al 2° membro su di un volume V che contiene le sorgenti, al 1° membro si può applicare il teorema della divergenza ottenendo in definitiva il teorema di reciprocità valido per un mezzo isotropo e lineare 
dove si è tenuto conto che le sorgenti Ji1 e Jm1 sono non nulle solo nel volume V1 che contiene la sorgente A1 ed analogamente per la sorgente A2. Dalle condizioni di radiazione si deduce che il campo all'infinito diviene infinitesimo quindi integrando su un volume V che contiene tutto lo spazio si annulla il flusso attraverso la superficie S che lo racchiude e si ha quindi l'uguaglianza delle reazioni 
da cui si possono dedurre i seguenti risultati :
a) considerando assenti le correnti magnetiche impresse in due dipoli sottili che possono essere contenuti in due cilindri e scomponendo l'integrale di volume nella serie di un integrale di superficie che per la presenza di J individua la corrente I e di un integrale di linea che, per la presenza di E, individua la tensione V, dividendo per I1I2 si ottiene l'uguaglianza delle impedenze mutue.
b) Applicando l'uguaglianza delle reazioni ad una sorgente A e ad una sorgente spazialmente impulsiva di test avente 
si ha 
che consente di ricavare il campo prodotto dalla sorgente A in un punto r.
4) Teorema di equivalenza :
Si supponga di avere una sorgente A ed una sorgente di test unitaria che consenta di valutare la reazione 
, per l'uguaglianza delle reazioni essa è anche uguale ad ItA , si consideri però il teorema di reciprocità su di un volume che contenga tutto lo spazio ad eccezione del volume che contiene la sorgente A ed è racchiuso dalla superficie SA , in tal modo non si ha l'integrale sul volume racchiuso da SA , si ottiene 
da cui tramite la relazione vettoriale 
si ottiene 
dove 
è la corrente superficiale elettrica mentre 
è la corrente superficiale magnetica.
Si ha quindi che il campo E nella direzione di t0 prodotto dalla sorgente A è lo stesso prodotto dalle correnti superficiali equivalenti che si trovano su una superficie che racchiude la sorgente A.