Variabili aleatorie

1) Variabili aleatorie :

Si tratta di una funzione che ha come dominio l´insieme S dei risultati di un esperimento e come codominio l´insieme dei numeri reali.

2) Funzione di distribuzione cumulativa :

Permette di quantificare la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori od uguali ad un dato valore x

3) Proprietà della funzione di distribuzione :

a) F_X(-¥) = 0 F_X(+¥) = 1

b) F_X è una funzione monotona non decrescente, cioè se x₁ £ x₂Û F_X(x₁) £ F_X(x₂)

c) P{X>x} = 1 - F_X(x)

d) La funzione di distribuzione è continua da destra

e) P{x₁ < X £ x₂ } = F_X(x₂) - F_X(x₁)

f) il salto della funzione di distribuzione in corrispondenza di un punto di discontinuità x₀ è uguale alla probabilità che la variabile assuma il valore x₀

4) Variabile aleatoria di tipo continuo :

Una variabile aleatoria x si dice di tipo continuo se la sua funzione di distribuzione è continua.

5) Variabile aleatoria di tipo discreto :

Una variabile aleatoria x si dice di tipo discreto se la sua funzione di distribuzione è una funzione a gradini.

6) Variabile aleatoria di tipo misto :

Una variabile aleatoria x si dice di tipo misto se la sua funzione di distribuzione è discontinua ma non a gradini.

7) Distribuzione empirica :

Una distribuzione empirica è una funzione a gradini avente come punti del dominio i valori della variabile aleatoria corrispondente all´esito della prova, ad ognuno di essi la funzione empirica associa un gradino di altezza 1/n .

8) Percentile :

Il percentile u (o percentile n-esimo) della variabile aleatoria X è quel valore x_u tale che P{X £ x_u} = u. La funzione percentile è quindi l´inversa della funzione di distribuzione. In altre parole il 10 percentile indica il valore di x per il quale la area che va da -¥ ad x e sottesa dalla funzione di distribuzione è pari al 10% .

9) Mediana della variabile aleatoria X :

Si tratta del valore 0.5 percentile ed è indicato con la lettera m..

10) Funzione densità di probabilità :

La densità di probabilità f_X(x) è definita come la derivata della funzione di distribuzione .

11) Proprietà della densità di probabilità :

a) La funzione di densità è non negativa f_X(x) ³ 0

b) F_X(x₂) - F_X(x₁) =

c) F_X(x) =

e) P{ x₁ < X £ x₂ } =

12) Funzione di massa di probabilità per variabili aleatorie :

Si tratta della funzione p_k = P { X = x_k}.

13) Valore atteso :

Il valore atteso di una variabile aleatoria X è il centro di gravità della densità o delle masse di probabilità nei casi continuo o discreto rispettivamente. In altre parole è il valore medio della distribuzione.

14) Valore atteso di una variabile aleatoria continua :

15) Valore atteso di una variabile aleatoria discreta :

16) Proprietà della media statistica :

a) E[a*X] = a*E[X]

b) E[a*X + b*Y] = a*E[X] + b*E[Y]

17) Varianza :

La varianza di una variabile aleatoria X esprime una misura della “concentrazione” dei valori assunti da una variabile aleatoria attorno al suo valore medio.

18) Deviazione standard :

È la radice della varianza

19) Varianza di una variabile aleatoria continua :

20) Varianza di una variabile aleatoria discreta :

21) Relazione tra media quadratica e varianza :

22) Momento di ordine n di una variabile aleatoria X :

m_n = E[Xⁿ]

23) Momento centrale di ordine n di una variabile aleatoria X :

24) Disuguaglianza di Chebyschev :

25) Disuguaglianza di Markov :

26) Variabili statisticamente indipendenti :

Due variabili aleatorie X ed Y si dicono statisticamente indipendenti se, dati 2 insiemi arbitrari A e B di valori di X ed Y rispettivamente, si ha .

27) Variabile aleatoria uniforme :

Una variabile aleatoria continua X si dice uniforme tra e se la sua densità è costante nell´intervallo e nulla altrove.

28) Variabile aleatoria gaussiana :

Una variabile aleatoria continua X è detta gaussiana se la sua funzione di densità è della forma

29) Variabile gaussiana standard :

Si tratta di una variabile gaussiana con valor medio nullo e varianza unitaria.

30) Funzione di densità di una variabile aleatoria esponenziale :

31) Funzione di densità di una variabile iperesponenziale :

32) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo Rayleigh :

33) Funzione di densità di una variabile lognormale :

34) Funzione di densità di una variabile distribuita secondo il modello gamma :

35) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello chi-quadro :

36) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello di Erlang :

37) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo Student :

38) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello K :

39) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello beta :

40) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello di Cauchy :

41) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello binomiale :

42) Funzione di densità di una variabile aleatoria distribuita secondo il modello geometrico :

43) Variabile aleatoria Poissoniana :

Se l è un parametro ed X una variabile aleatoria intera e positiva.

44) Legge dei grandi numeri :

In una serie di n prove ripetute, in cui la probabilità di successo di una singola prova è pari a p, il rapporto tra il numero di successi k ed il numero di prove n tende a p quando n ® ¥ ,

45) teorema centrale del limite per funzioni binomiali :

In una serie di n prove ripetute, indicando con X il numero di successi, si costruisce la variabile aleatoria Y

La distribuzione di probabilità F_Y(y) è tale che

46) Funzione di distribuzione di una funzione di variabile aleatoria :

La funzione di distribuzione F_Y(y) fornisce la probabilità P{Y £ y}

47) Teorema fondamentale della densità di probabilità :

Per uno specifico valore y della densità f_Y(y) è data da

48) Valore atteso di una variabile aleatoria Y = g(X) :