Introduzione

1) Calcolo delle probabilità :

Disciplina che consente di analizzare i fenomeni e le quantità aleatori, costruendone un modello.

 

2) Insieme :

Collezione di oggetti, concreti o astratti, detti elementi.

 

3) Partizione di un insieme :

Si tratta di una classe di sottoinsiemi non vuoti che ricopra l´intero insieme senza sovrapposizioni.

 

4) Principio fondamentale del calcolo combinatorio :

Se una procedura può essere realizzata in n₁ modi diversi, e se, dopo questa procedura, una seconda procedura può essere realizzata in n₂ modi diversi, e se, dopo questa seconda procedura una terza procedura può essere realizzata in n₃ modi diversi, e così via ; allora il numero di modi in cui la procedura può essere realizzata nell´ordine indicato è

n₁ * n₂ * n₃ * .... * n_{n   .}

 

5) Disposizioni :

Gruppi ordinati ottenuti prendendo in un dato ordine m oggetti su N. Si può calcolare utilizzando direttamente il principio fondamentale del calcolo combinatorio equivalente alla

 

6) Permutazioni :

Gruppi ordinati ottenuti prendendo in un dato ordine N oggetti su N.  Il numero delle permutazioni è n !  .

 

7) Permutazioni con ripetizioni :

Vi sono delle permutazioni nelle quali alcuni oggetti sono uguali tra loro e dunque non danno luogo a permutazioni distinte, in questo caso occorre dividere per il numero di disposizioni che ognuno di questi oggetti invalida.

 

8) Scrivere il valore del coefficiente binomiale :

Si ha    dove il numeratore si ottiene moltiplicando per il numero naturale immediatamente più piccolo fermandosi al numero dato dalla differenza tra 9 e 4 incrementata di 1.

 

9) Enunciare un teorema molto utile riguardante il coefficiente binomiale :

                        a patto che                           a = b + c

 

10) Combinazioni :

Gruppi non ordinati ottenuti prendendo m oggetti su N  , il loro numero è pari al coefficiente binomiale

 

11) Esperimento casuale :

Procedimento di osservazione dello stato finale sul sistema sottoposto all´esperimento, che si suppone ripetibile un numero infinito di volte con le stesse modalità di esecuzione.

 

12) Insieme universale o Spazio Campione :

L´insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale.

 

13) Evento :

È un insieme di risultati.

 

14) Eventi incompatibili :

Due eventi sono incompatibili se la loro intersezione è un evento impossibile, ossia gli eventi non hanno risultati in comune.

 

15) Assiomi fondamentali di Kolmogorov :

a)    P(A) è un numero positivo o nullo.

b)    l´evento certo ha probabilità unitaria.

c)    se 2 eventi sono incompatibili, la probabilità della evento unione è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi                                             P(AÈB) = P(A) È P(B)

 

16) Frequenza relativa :

Si tratta del rapporto tra il numero di volte n(A) in cui si ha come risultato un elemento della insieme A ed il numero n di prove della esperimento                                                   .

 

17) Definizione classica di probabilità :

La probabilità di un evento A è il rapporto tra i possibili risultati favorevoli all´evento A n(A) ed il numero dei possibili risultati n                                       

18) Se 0 è l´insieme vuoto Þ P(0) = 0 :

19) Probabilità condizionata :

Se A e B sono 2 eventi di uno spazio campione S con P(B) ¹ 0, si definisce probabilità condizionata di A rispetto a B, e si indica con P(A|B), il rapporto    intendendo con ciò che la probabilità che l´evento A si verifichi, una volta che si è verificato l´evento B è data dal rapporto della probabilità della intersezione e la probabilità della evento B

 

20) Proprietà della probabilità condizionata :

a)    P(A|B) è un numero positivo

b)    P(S|B) = 1

c)    Se A e B sono eventi incompatibili  allora P(A+B | M) = P(A|M) + P(B|M)

 

21) Eventi statisticamente indipendenti  :

Due eventi si dicono statisticamente indipendenti se si verifica l´eguaglianza P(AB) = P(A) * P(B).

 

22) Proprietà degli eventi indipendenti :

a)    P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)

b)    anche A e B sono indipendenti

c)    se A, B, C sono eventi indipendenti, anche A e BC lo sono

d)    se A, B, C sono eventi indipendenti, anche A e B+C lo sono

 

23) Teorema della probabilità totale :

La probabilità di un evento B definito su di uno spazio campione S può essere espressa in termine di probabilità condizionate considerando una partizione di S.

P(B) = P(A₁)*P(B|A₁) + ....... + P(A_m)*P(B|A_m)

 

24) Teorema di Bayes :

È un teorema utile in tutti quei casi in cui c´è uno spazio campione partizionato e ad ogni partizione è associata una probabilità e si vuole ad esempio conoscere la probabilità che il pezzo prodotto dalla macchina B abbia anche la caratteristica tipica di A.

 

25) Prove Bernoulliane :

Si tratta di un insieme di prove, tra loro indipendenti, in cui ci sono 2 soli risultati possibili.

 

26) Probabilità di avere K successi in un dato ordine :

p^kq^{n - k}

 

27) Probabilità di avere K successi in un qualsiasi ordine :

 

28) Evento raro :

Un evento si dice raro se si verifica con una probabilità molto minore di 1.

 

29) Teorema di Poisson :

Ci consente di quantificare facilmente la probabilità che si verifichi k volte un evento raro A, infatti  essendo n il numero delle prove e p la probabilità della evento raro A. In tal modo si semplifica l´utilizzo della formula di Bernoulli.