Trasformazioni conformi

1) Trasformazione conforme :

È una trasformazione la quale possiede la proprietà di conservare gli angoli (la angolo tra 2 curve regolari qualsiasi intersecantisi in un punto z è uguale in modulo e senso di rotazione alla angolo tra le loro immagini) e di dilatare in modo costante (segmenti infinitamente piccoli si trasformano in segmenti simili).

In altri termini una applicazione è detta conforme se biunivoca ed avente la proprietà di costanza delle dilatazioni e di costanza degli angoli.

 

2) Condizione necessaria e sufficiente per la conformità :

Una applicazione è conforme Û la funzione di una variabile complessa è univoca, analitica e la sua derivata è diversa da 0 in ogni punto del dominio.

 

3) Applicazione conforme di seconda specie :

Si tratta di una applicazione la quale conserva i valori assoluti degli angoli formati da 2 curve e dalle loro immagini ma non ne conserva il senso. Si tratta di applicazioni prodotte da funzioni di una variabile complessa che siano funzioni complesse coniugate di funzioni analitiche con derivata mai nulla.

 

4) Effetto di una applicazione lineare :

Fornisce una dilatazione simile del piano z ed una traslazione della origine delle coordinate, può pertanto essere utilizzata per costruire applicazioni conformi di figure simili.

 

5) Quando la funzione 1/z applica una circonferenza su di una retta :

Quando la circonferenza passa per l´origine.

 

6) Effetto della funzione potenza :

Essa applica un settore circolare su tutto il piano tagliato , è una applicazione conforme per tutti i punti ad eccezione dei punti di frontiera z = 0  e  z = ¥  nei quali la derivata prima si annulla.

 

7) Effetto di una applicazione esponenziale :

Applica biunivocamente ogni striscia parallela alla asse reale su tutto il piano tagliato, possiede derivata diversa da 0 e pertanto è una applicazione esponenziale.

 

8)Principi generali delle applicazioni conformi :

a)    Corrispondenza biunivoca tra il dominio e l´immagine

b)    Occorre controllare solo che la funzione cercata applichi la frontiera del dominio sulla frontiera della immagine.

c)    Principio di simmetria

 

9) Principio di corrispondenza delle frontiere :

Sia G un dominio limitato da un contorno g sul quale è definita una funzione analitica univoca f(z) continua che applichi in modo biunivoco il contorno g su di una curva chiusa G del piano complesso w Þ se in tale applicazione di curve chiuse si conserva il verso di rotazione, la funzione f(z) dà un´applicazione conforme del dominio G sul dominio interno limitato dal contorno G.

Si dimostra applicando il teorema della argomento alle funzioni ausiliarie F₁(z) = f(z) - w₁  e  F₂(z) = f(z) - w₂    dove w₁ è un punto interno a G e w₂ è invece un punto esterno si ottiene   ed anche   ciò vuol dire che non si ha mai f(z) = w₂  essendo w₂ un generico punto esterno al dominio e che la applicazione è biunivoca infatti esiste un solo zero di f(z) = w₁ .

 

10) Se f(z) è analitica nel dominio eccetto che per un punto di singolarità, allora applica l´interno del bordo del dominio sull´esterno del circuito che è immagine del bordo del dominio.

 

11) Teorema di Riemann :

Ogni dominio G semplicemente connesso del piano complesso z, la cui frontiera consiste di più di un punto, può essere applicato in modo conforme sull´interno del cerchio unitario |w|<1 del piano w.

 

12) La funzione f(z) che produce una applicazione conforme di un dominio dato sempliecemente connesso G sul cerchio unitario in modo che z₀ vada nell´origine e argf ´(z₀) è una costante è definita in modo unico:

 

13) Funzione razionale lineare :

È una funzione avente la forma   , realizza una applicazione conforme a patto che si verifichi la iniettività, in particolare dati 2 punti z₁ e z₂ essi hanno immagine diversa se  come si ottiene ponendo   .

Equivalente si può scrivere       con                        per ottenere le quali basta raccogliere i coefficienti della z sia al numeratore che al denominatore.

 

14) Punti simmetrici rispetto ad una circonferenza :

I punti P e P´ sono simmetrici rispetto alla circonferenza C se giacciono su uno stesso raggio passante per il centro della circonferenza ed il prodotto delle loro distanze dal centro è uguale al quadrato del raggio della circonferenza.

 

15) Una funzione razionale lineare è definita in modo unico se è assegnata una corrispondenza fra 3 distinti punti del piano z e 3 distinti punti del piano w.

 

16) Proprietà della funzione razionale lineare :

a)    trasforma le circonferenze del piano z in circonferenze del piano w

b)    i punti simmetrici rispetto ad ogni circonferenza si trasformano in punti simmetrici rispetto all´immagine di questa circonferenza.

 

17) Figura biangolare :

Si tratta di una figura piana costituita dall´intersezione degli archi di 2 circonferenze di raggi in generale distinti.

 

18) Funzione di Zukovsky :

È la funzione  , derivandola si vede che è conforme ovunque tranne che nei punti +1  e   -1.

Essa trasforma circonferenze centrate nell´origine in ellissi ed i raggi uscenti dall´origine in iperboli.