Trasformata di Laplace

1) Trasformata di Laplace unilatera :

Si dice trasformata di Laplace della funzione data f(t) della variabile reale t una trasformazione che fa corrispondere alla funzione f(t) una funzione F(p) della variabile complessa p definita dall´integrale                  .

 

2) Indice del grado di crescenza della funzione f(t) :

È l´estremo inferiore dei valori degli a per il quale ha luogo la disuguaglianza |f(t)| £ Me^at .

 

3) Originale :

La funzione f(t) si dice originale della T.d.L. F(p) a patto che rispetti le 3 seguenti condizioni:

a)       f è localmente sommabile ovvero è convergente

b)       f(t) = 0 per t<0

c)       Esistono costanti M>0 ed s₀ÎÂ tali che |f(t)| £ Me^st

 

4) Condizione di convergenza della integrale di Laplace :

L´integrale  converge nel dominio Re p > a , ove a è l´indice del grado di crescenza della funzione f(t) ; inoltre, per ogni x₀ > a , questo integrale converge uniformemente nel dominio  Re p ³ x₀ > a .

Si ha p = x+iy e del resto a è l´indice del grado di crescenza della funzione f(t) ossia vale la disuguaglianza |f(t)| £ Me^at si può quindi maggiorare l´integrale con un n° reale e dunque l´integrale è convergente, infatti se a₁ = a + e Þ . In maniera analoga se  a < x₀ < x  si può applicare il teorema di Weierstrass e dimostrare la convergenza uniforme della integrale.

 

5) Ulteriore condizione di convergenza della integrale di Laplace :

Sia f(t) definita per ogni t ³ 0 ed esista un numero complesso  p₀ tale che l´integrale sia convergente Þ per ogni p soddisfacente la condizione Re p > Re p₀ l´integrale è convergente.

L´assoluta integrabilità di  si ha se si riesce a dimostrare che è convergente, in particolare ponendo Re p = P₀ +q   ed integrando per parti si ha   dovee vale 0 per t=0 mentre per T®¥ vale 0 il termine  quindi rimane solo l´integrale al secondo membro il quale può essere maggiorato essendo l´integrale di un esponenziale in quanto j(t) < K.

 

6) La trasformata di Laplace della funzione f(t) è una funzione analitica della variabile complessa p nel dominio Re p > a dove a è l´indice del grado di crescenza della funzione f(t).

 

7) Teorema di Omotetia :

Per ogni a > 0 costante si ha : 

 

8) Teorema di derivazione della originale :

Se f ´(t) , f ´´(t) , ... , f⁽ⁿ⁾(t) sono gli originali e  allora    e    .

 

9) Teorema di derivazione della immagine :

La derivazione della immagine si riduce alla moltiplicazione della originale per -t  

 

10) Teorema di integrazione della originale :

L´integrazione della originale si riduce alla divisione della immagine per p

 

11) Teorema di integrazione della immagine :

L´integrazione della immagine scaturisce dalla divisione per t della originale

 

12) Teorema di traslazione nel dominio di Laplace :

La moltiplicazione della originale per un esponenziale complesso da luogo ad una traslazione della immagine.

 

13) Teorema del ritardo o di traslazione nel dominio del tempo :

Una traslazione della originale da luogo alla moltiplicazione della immagine per un esponenziale complesso.

 

14) Definizione della delta di Dirac :

La delta di Dirac è una funzione definita dalle 2 seguenti :            , essa risulta essere la derivata del gradino unitario mentre la sua trasformata è 1. 

 

15) Teorema della convoluzione :

Il prodotto di 2 funzioni immagini è la trasformata della convoluzione dei loro originali

Questo teorema è molto utile nel calcolo delle antitrasformate.

 

16) Teorema di Mellin :

Nel dominio Re p > a sia F(p) la trasformata di una funzione regolare a tratti f(t) della variabile reale t con grado di crescenza a Þ                           x > a  .

Si definisce la funzione  e si dimostra che per b®¥ converge ad f(t) in particolare sostituendo in essa e sfruttando l´uniforme convergenza si passa un pò di cose da un integrale alla altro ottenendo  sostituendo quindi p=a+is si ha   dove l´ultimo è l´integrale di un esponenziale risolvendo il quale si viene ad esplicitare un seno espresso in termini di esponenziali, si ha quindi    nella quale si può sostituire t = t+x  ed espandere l´integrale da -¥ a +¥  a questo punto integrando per parti ed utilizzando il teorema di Riemann si ottiene che l´integrale tende proprio ad f(t).

 

17) Condizioni per l´esistenza della antitrasformata  di Laplace :

Supponiamo che la funzione F(p) della variabile p = x + iy soddisfi le seguenti condizioni :

a)    F(p) è analitica nel dominio Re(p) > a

b)    F(p) ® 0         per          |p| ® ¥    nel dominio Re(p) > a    in modo uniforme rispetto ad arg p .

c)    l´integrale                x > a    converge " Re(p) = x > a

Þ   la funzione F(p) per Re p > a  è la trasformata della funzione f(t) della variabile reale t definita dall´espressione

Si dimostra soltanto la convergenza della integrale improprio maggiorando l´integralenel modo consueto.