Distribuzioni

1) Spazio normato completo o di Banach :

Lo spazio C(K) delle funzioni continue su di un intervallo chiuso e limitato K contenente l´origine possiede la norma ||f||=sup|f(x)| ed in esso ogni successione di Cauchy è convergente.

 

2) Funzionale lineare continuo :

Si tratta di una applicazione T lineare e continua che associa ad una funzione  un numero reale, in simboli si scrive C(K) ' f   ®     .

 

3) Definire le proprietà di linearità e di continuità per un funzionale lineare continuo :

a) Linearità    :                     

b) Continuità  :                     se f_j ® f   in C(K) Þ                      oppure analogamente

se f_j ® 0   in C(K) Þ                 

 

4) Esempio di funzionale lineare continuo :

La sua continuità si dimostra in quanto se f_j®0   si ha    in quanto  .

 

5) Misura :

Si tratta dei funzionali lineari continui su C(K).

 

6)       Misura di Dirac :

È un funzionale lineare continuo definito dalla  ma non è associato ad alcuna funzione sommabile pertanto occorre individuare una successione di funzioni {j_n} sommabili che la approssima.

7) Quando una successione di funzioni approssima d :

Una successione di funzioni {j_n} approssima la delta di Dirac se   per ogni f Î C(K)

 

8) Supporto di una funzione :

È il complementare del più grande aperto nel quale la funzione è nulla.

 

9) Funzione a supporto compatto :

Si tratta di una funzione ovunque nulla ad eccezione di un intervallo limitato.

10) Descrivere lo spazio D(Â) :

È lo spazio delle funzioni a supporto compatto infinite volte derivabili su Â.

 

11) Definizione di convergenza su D(Â) :

Una successione di funzioni {f_j}®0  se :

a)    esiste un intervallo compatto K al di fuori del quale f_j  = 0 per ogni j eccetto al più un numero finito.

b)                                  per ogni n = 0,1,2,...

 

12) Funzionale lineare continuo su D(Â) :

Si tratta di una applicazione T che associa ad una funzione f Î D(Â) un numero reale, in simboli si scrive

D(Â) ' f   ®     . La continuità della applicazione T è da intendersi nel senso che se f_j®0 con la definizione di convergenza su D(Â) allora  .  Questi funzionali sono detti distribuzioni.

 

13) Distribuzione :

Si tratta di un funzionale lineare continuo su D(Â), un esempio di distribuzione è la d di Dirac.

 

14) Descrivere lo spazio D´(Â) :

Si tratta dello spazio formato dalle distribuzioni.

 

15) Derivata di una distribuzione :

È definita dall´eguaglianza      con f Î D(Â)

Si dimostra semplicemente integrando per parti infatti  ma il termine all´interno della parentesi quadra è nullo in quanto la j(t) è come la d(t) e quindi vale 0 ai bordi della asse reale.

Le derivate distribuzionali coincidono con le derivate classiche nei punti di continuità mentre sono diverse nei punti di discontinuità.  Si riesce ad esempio a dimostrare che la derivata del gradino unitario è la d di Dirac.

 

16) Descrivere lo spazio S(Â) :

È lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili a decrescenza rapida, tali cioè che

per ogni n ed m.   È contenuto all´interno dello spazio D(Â) delle funzioni infinite volte derivabili a supporto compatto.

 

17) Descrivere lo spazio S´(Â) :

È lo spazio delle distribuzioni temperate ossia dei funzionali lineari continui su S(Â). Un esempio di distribuzione temperata è la d di Dirac e più in generale si può dire che una distribuzione T è temperata se il suo prodotto di convoluzione con j ha una crescita al più polinomiale.

 

18) Formula relativa alla Trasformata di Laplace di una distribuzione :