Teoremi sulle Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali di 1° grado

1) Teorema delle contrazioni di Banach - Caccioppoli :

In uno spazio metrico completo una contrazione ammette sempre un unico punto fisso.

Esistenza :

preso un punto x₀ arbitrario costruiremo una successione che converge ad un punto x^~ : F(x^~) = x^~ .La successione è definita ricorsivamente come x_n+1 = F(x_n) . Sfruttando il fatto che F è contrazione si riesce a stabilire che

d(x_n+1, x_n) £ rⁿ d(x₁, x₀) risultato che viene utilizzato per dimostrare che la successione è fondamentale in quanto di Cauchy datosi che d(x_n , x_m) £ e . Si ha infatti : da cui raccogliendo e sostituendo la somma della serie armonica si ottiene che tende a 0 per m®+¥ essendo 0 < r < 1 , pertanto la successione è di Cauchy e quindi converge.

Supponiamo che converga a x^~ allora sfruttando la continuità della contrazione F il limite della argomento può divenire il limite della funzione e quindi dimostrare che F(x^~) = x^~ .

Unicità :

Supponiamo che esistano 2 punti fissi, la distanza tra di essi sfruttando la definizione di contrazione, non può che essere 0, quindi i 2 punti in realtà sono lo stesso punto.

2) Condizione di Lipschitzianità per f :

Se f e la sua derivata parziale rispetto ad y sono continue in D Þ f è localmente lipschitziana rispetto ad y, uniformemente in t.

Si dimostra applicando il teorema del valor medio

3) Se la successione di funzioni continue f_n converge uniformemente Þ il suo limite f è una funzione continua.

Si dimostra applicando il teorema dello scambio dei limiti alla funzione .

4) Lemma di Volterra :

Se j Î C¹(I_d) è soluzione del problema di Cauchy Þ j soddisfa l´equazione integrale di Volterra " t Î I_d e viceversa.

Þ E´ chiaro che se j è soluzione del problema di Cauchy Þ si può integrare la prima equazione del problema tra t e t e sostituire la condizione iniziale j(t) = x .

Ü Si ottiene derivando in quanto j è continua ed ha derivate continue in virtù della uguaglianza col 2° membro.

5) Teorema di esistenza e di unicità locale :

Sia f : D®Âⁿ con D aperto di Âⁿ⁺¹ , continua in D e localmente lipschitziana in D, rispetto ad y ed uniformemente in t

Þ per ogni punto (t,x) Î D esiste un intorno I_d di t tale che I_d = [t-d , t+d] nel quale è definita una soluzione del problema di Cauchy. Tale soluzione è unica nel senso che ogni altra soluzione coincide con j nell´intervallo comune di definizione.

La dimostrazione è articolata nei tre seguenti passi :

a) Si associa al problema di Cauchy la corrispondente equazione di Volterra

b) Si individua uno spazio metrico completo

Uno spazio metrico completo è lo spazio delle funzioni continue su di un compatto, quindi " (t, x) Î D si individua un compatto G := { (t,y) Î Âⁿ⁺¹ : ||t-t|| < a e ||y-x||<b } , al suo interno individuiamo lo spazio metrico Y delle funzioni continue con grafico contenuto in G , Y := { j Î C(I_d) : ||j(t)-x||<b } esso è uno spazio metrico completo a patto di adottare la metrica della convergenza uniforme d(j, y) = max || j(t) -y(t) ||

c) Si dimostra che il funzionale corrispondente alla equazione di Volterra è una contrazione e pertanto individua un unico punto fisso ossia un´unica soluzione.

All´equazione di Volterra si associa il funzionale , individuando ora delle restrizioni su d si è in grado di far vedere che si tratta di una contrazione :

a) Vogliamo che sia F[y] Ì Y Þ essendo M := max || f(t,y(t) || dobbiamo imporre Md < b e quindi d < b / M .

b) Vogliamo che sia contrazione ossia da cui sfruttando la locale lipschitzianità di f si ha : dove l´ultima disuguaglianza è motivata dalla scelta della metrica della convergenza uniforme. Pertanto è una contrazione a patto che Ld < 1 Û d < 1 / L .

Scegliendo d = min ( a , 1/L , b/M ) il teorema è dimostrato.

6) Condizione per l´esistenza di una soluzione massimale destra :

Sia f : D®Âⁿ con D aperto di Âⁿ⁺¹ , continua in D e localmente lipschitziana in D, rispetto ad y ed uniformemente in t

Þ sia y :[t₀ , b) ®Âⁿ una soluzione massimale destra limitata Þ b = b

Dimostrare.

7) Lemma di Gronwall :

Siano I Ì Â un intervallo e t Î I. Siano inoltre u,v : I®Â due funzioni continue in I, non negative e c e Â₊ .

Se " t Î I Þ " tÎI .

Sia supponendo t > t e moltiplicando per si ha in quanto la funzione a primo membro è decrescente avendo essa derivata negativa infatti : in quanto si ha v(t) £ w(t) e quindi w´(t) = u(t)v(t) £ u(t)w(t) . Dunque pertanto ..

8) Teorema di esistenza e di unicità globale :

Sia S := (t_{1 ,}t₂) x Âⁿ .Supponiamo che f sia definita in S e che in S f sia continua e localmente lipschitziana rispetto ad y ed uniformemente in t. Se inoltre esistono 2 costanti positive A e B tali che ||f(t,y)|| £ A + B||y|| " (t,y) Î S

Þ " (t,x) Î S , j(t ;t,x) è definita in t₁ , t₂ .

Per il teorema precedente ci basta dimostrare che la y(t) è limitata affinché l´intervallo sia massimale, a tal fine normando l´equazione integrale di Volterra si ha :

Pertanto y(t) è limitata e quindi ammette soluzione massimale.

9) Teorema di esistenza e di unicità globale :

Sia f : (t_{1 ,}t₂) x Âⁿ ®Â una funzione continua e globalmente lipschitziana in Y con costante L Þ

Þ " (t,x) Î S , j(t ;t,x) è definita in t₁ , t₂ .

Dimostrare.

10) Teorema della dipendenza delle soluzioni dai dati iniziali :

Sia f :D®Âⁿ continua e localmente lipschitziana rispetto ad y , uniformemente in t. Supponiamo inoltre che nell´intorno del punto (t₀, x₀) vi siano punti in cui ogni soluzione è definita in un intervallo comune a tutte inoltre se (t ,x) ®(t₀ ,x₀ ) Þ j(t ;t,x)®j(t ; t₀ , x₀)

Metodi di risoluzione di equazioni differenziali del 1° ordine

11) Formula risolutiva delle equazioni differenziali lineari :

Sono equazioni nella forma , l´integrale generale è dato dalla formula :

12) Formula risolutiva delle equazioni differenziali esatte :

Sono equazioni nella forma , l´integrale generale è dato dalla formula :

essendo F(t,y) una funzione potenziale

13) Equazioni a variabili separabili :

Sono equazioni nella forma , l´integrale generale è dato dalla formula :

14) Equazioni di Bernoulli :

Sono equazioni nella forma , si risolvono dividendo per y^a e risolvendo la risultante equazione differenziale lineare del 1° ordine.

15) Equazioni omogenee o di Manfredi :

Sono equazioni nella forma , si risolvono ponendo e risolvendo la risultante equazione differenziale a variabili separabili.

16) Come risolvere equazioni del tipo y = F(x , y´) :

Si deve porre y´ = p quindi derivare rispetto ad x , sostituendo quindi p´ = dp/dx si ottiene una equazione a variabili separabili risolvendo la quale si ricavano x ed y in funzione di p

17) Equazioni di D´Alembert - Lagrange :

Si tratta di equazioni nella forma y = x g(y´) + f(y´) , si risolve ponendo y´ = p quindi derivare rispetto ad x , Si riporta quindi ad una equazione lineare in funzione della x risolvendo la quale si ottiene una soluzione parametrica di x ed y in funzione di c.

Equazioni differenziali di ordine n

18) Criterio base per la trattazione :

Ogni equazione differenziale di ordine n può essere ricondotta ad un sistema lineare di n equazioni del 1° ordine pertanto per dimostrare l´esistenza e l´unicità della soluzione, si può far ricorso a quanto già dimostrato per le equazioni differenziali del 1° ordine e valido anche per i sistemi lineari a patto di cambiare il simbolismo.

19) Condizione necessaria e sufficiente perché n soluzioni della equazione siano linearmente indipendenti :

Il determinante della matrice wronskiana deve essere 0 ¹ 0

20) Teorema di Liouville :

Il wronskiano di una equazione differenziale di ordine n soddisfa la

Dimostrare

21) Teorema di Lagrange :

Siano y₁ , ... , y_n n soluzioni indipendenti della omogenea, Þ una soluzione della non - omogenea è fornita dalla formula

22) Teorema di sovrapposizione :

Se b(t) = b₁(t) + b₂(t) e conosciamo un integrale particolare della equazione con termine noto b₁(t) ed uno della equazione con termine noto b₂(t) Þ La somma dei 2 integrali sarè un integrale della equazione con termine noto b(t)

Sistemi di equazioni differenziali del 1° ordine

23) Criterio base per la trattazione :

I criteri di esistenza ed unicità locale e globale sono i medesimi ad eccezione della notazione.

24) Condizione necessaria e sufficiente perché n soluzioni della equazione siano linearmente indipendenti :

Non deve essere nullo il determinante della matrice wronskiana

25) Teorema di Liouville :

Il wronskiano di un sistema di soluzioni della equazione soddisfa l´equazione differenziale dove a(t) è la traccia della matrice A(t).

26) Corollario del teorema di Liouville :

Il wronskiano di una equazione differenziale di ordine n soddisfa la dove a(t) è la traccia della matrice rappresentativa

27) Metodo di variazione delle costanti arbitrarie (Teorema di Lagrange) :

Per ottenere la soluzione generale del sistema non omogeneo è sufficiente aggiungere alla soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo una soluzione particolare ricavabile ad esempio tramite la formula :