Coniche e riduzione a forma canonica metrica
Coniche
1) Scrivere la forma generica di una conica:
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
2) Quando può accadere che la conica sia priva di punti reali:
Per le ellissi e per le rette parallele quando al 2° membro compare -1, per le iperboli naturalmente non può mai accadere.
3) Come sono gli autovalori relativi a 2 rette parallele:
Uno dei 2 autovalori è 0 e va messo quale coefficiente di y2 , dopodichè a seguito delle sostituzioni deve potersi annullare anche il coefficiente di y.
Ellisse
4) Definizione di ellisse :
È il luogo dei punti equidistanti da 2 punti fissi detti fuochi.
5) Equazione standard:
6) Fuochi :
se la asse focale è sulle ascisse 
mentre se è sulle ordinate 
.
7) Centro di simmetria:
È l´origine ossia il punto di coordinate ( 0,0 ).
8) In che punto l´ellisse incontra gli assi coordinati:
Incontra le ascisse nei punti 
e le ordinate nei punti 
9) Quale è il semiasse maggiore e che significato ha per l´ellisse:
È il semiasse corrispondente al maggiore in valore assoluto tra a e b .
10) Proprietà ottiche della ellisse:
La retta tangente all´ellisse in un dato punto forma angoli uguali con i raggi focali.
11) Proprietà degli autovalori della Ellisse:
Sono entrambe positivi.
12) Principio di assegnamento degli autovettori:
Conviene mettere il più piccolo come coefficiente di x2, in tal modo la asse delle x diviene la asse focale.
13) Quando la conica si riduce ad un punto:
Quando ha l´equazione di una ellisse ma il termine noto è 0.
14) Quando la conica si riduce ad una circonferenza:
Quando ha l´equazione di una ellisse ma i coefficienti a e b sono entrambe 1.
Iperbole
15) Definizione di iperbole:
È il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da 2 punti del piano detti fuochi è costante.
16) Equazione standard:
17) Fuochi:
L´asse focale è la asse delle ascisse ed i fuochi hanno coordinate -
18) Centro di simmetria:
È l´origine ( 0,0 ).
19) Asintoti:
Sono le rette di equazione 
.
20) Vertici:
Sono i punti di coordinate .
21) Quale è la asse focale:
È sempre la asse delle ascisse.
22) Proprietà ottiche della iperbole:
La retta tangente all´iperbole in un dato punto forma angoli uguali con i raggi focali.
23) Proprietà degli autovalori della Iperbole:
Sono uno positivo e la altro negativo.
24) Principio di assegnamento degli autovettori:
Se il termine noto al 2° membro è negativo mettere la autovalore negativo come coefficiente di x2 altrimenti viceversa. Questo potrebbe non essere determinante perchè il completamento dei quadrati potrebbe alterare il segno del termine noto.
25) Quando la conica si riduce a 2 rette incidenti:
Quando ha l´equazione di una iperbole ed il termine noto è 0.
Parabola
26) Definizione di parabola:
È il luogo dei punti per ognuno dei quali la distanza da un punto fissato del piano detto fuoco è uguale alla distanza da una retta fissata, detta direttrice.
27) Equazione standard:
y = ax2
28) Fuoco:
Il fuoco ha coordinata 
.
29) Cosa è la retta direttrice:
È la retta il cui scopo è descritto nella definizione di parabola, essa ha equazione 
30) Centro di simmetria:
Vi è un asse di simmetria, la asse delle ordinate.
31) Proprietà ottiche della parabola:
La retta tangente alla parabola in un dato punto forma angoli uguali con il raggio focale e con la semiretta parallela alla asse di simmetria uscente dal punto di rimbalzo.
32) Proprietà degli autovalori della parabola:
Uno dei 2 autovalori è 0.
33) Principio di assegnamento degli autovettori:
Conviene mettere la autovalore 0 quale coefficiente di y2, in modo che la parabola rivolga la convessità verso la alto.
Riduzione a Forma canonica metrica
34) Illustrare i passi della riduzione a forma canonica metrica:
a) togliere i termini misti tramite una trasformazione ortogonale le cui caratteristiche si ricavano dagli autovalori
b) Togliere i termini lineari tramite una traslazione le cui caratteristiche si ricavano dal completamento dei quadrati.
c) Dedurre il tipo di conica ed individuarne i punti caratteristici.
d) Calcolare le trasformazioni inverse alle precedenti e valutare il valore dei punti caratteristici nel sistema di ccordinate originale della conica.
f) Disegnare la conica.
35) Che corrispondenza c´è tra gli autovalori nella forma diagonalizzata e gli autovettori della base ortonormalizzata nella matrice di cambiamento di base:
Al primo autovalore della matrice diagonalizzata corrisponde il primo vettore della matrice ortogonale diagonalizzante.
36) Che significato ha diagonalizzare la parte quadratica:
Significa effettuare una trasformazione ortogonale (rotazione o simmetria) che porta la conica in un sistema di riferimento tipico di ogni conica.
37) Che significato ha effettuare il completamento dei quadrati:
Significa effettuare una traslazione della conica portandone il centro di simmetria nell´origine.
38) Che forma ha la matrice di cambiamento di base dalla base ortonormalizzata alla base canonica:
È una matrice ortogonale avente per colonne gli autovettori normalizzati della forma quadratica.
39) Che forma ha la matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base ortonormalizzata:
È l´inversa della matrice appena descritta ed essendo essa una matrice ortogonale, allora l´inversa coincide con la trasposta.