Algebra degli insiemi

Insiemi

1) Cosa è un insieme:

È una collezione di ( oggetti / individui )  ognuno dei quali è detto elemento della insieme.

2) Cosa è un predicato:

È una affermazione che può essere vera o falsa.

3) Quali sono i modi per definire gli elementi appartenenti ad un insieme:

a) Esaustivamente Þ si racchiudono tra parentesi graffe i singoli elementi separati da virgole.

b) { x | P(x) }            Þ tramite un predicato che individua i componenti della insieme.

4) Enunciare le caratteristiche della insieme N :

Sono i numeri naturali ossia gli interi positivi con lo 0 incluso.

5) Enunciare le caratteristiche della insieme Z :

Sono i numeri interi positivi e negativi.

6) Enunciare le caratteristiche della insieme Q :

Sono i numeri razionali dati dal rapporto tra 2 numeri interi.

7) Come si denota la appartenenza di un individuo x ad un insieme I :

x Î I

8) Che differenza c´è tra i simboli Î e Í  :

Π            Þ si riferisce alla appartenenza di un elemento ad un insieme

Í            Þ si riferisce alla appartenenza di un insieme ad un altro insieme.

9) Quando 2 insiemi si dicono uguali:

Quando contengono esattamente gli stessi elementi. Deve quindi essere verificate entrambe le :

A Í B                                    e                             B Í A

10) Quando A si dice sottoinsieme di B,    A Ì B  :

Quando tutti gli elementi di A sono compresi in B ma non tutti gli elementi di B sono compresi in A.

11) Cosa è un sottoinsieme proprio :

Si ha un sottoinsieme proprio quando tutti gli elementi della insieme A sono compresi nell´insieme B ed A non è l´insieme vuoto.

12) Cosa è l´insieme delle parti di A :

È un insieme costituito da tutti i possibili sottoinsiemi di A, è anche detto insieme potenza ed indicato con 2^|A| .

13) Cosa si intende per cardinalità di un insieme A :

È il numero degli elementi che costituiscono l´insieme A, si denota con |A|.

14) Quali sono le operazioni eseguibili sugli insiemi:

Unione, intersezione, differenza.

15) Disegnare in verde l´unione di 2 insiemi, A È B :

16) Disegnare in verde l´intersezione di due insiemi, A Ç B :

17) Disegnare in verde la differenza della insieme di sinistra dall´insieme di destra,   A \ B :

18) Cosa si intende per dominio di un insieme :

L´insieme attinge gli elementi da un dominio effettuando una selezione al fine di individuare gli elementi che rispondono alle caratteristiche della insieme, pertanto l´insieme è sempre un sottoinsieme del dominio.

19) Cosa si intende per complemento della insieme A nel dominio U :

È l´insieme degli individui del dominio U che non fanno parte della insieme A.

20) Disegnare in verde il complemento ad A nel dominio U :

21) Quali sono le caratteristiche del complemento della insieme A:

a) A unito al suo complemento è il dominio.

b) l´intersezione tra A ed il suo complemento è l´insieme vuoto.

22) Enunciare le due Leggi di De Morgan utilizzando i diagrammi di Venn:

C( A È B ) =  C(A) Ç C(B)                                                C( A Ç B ) = C(A) È C(B)

23) Cosa è una coppia ordinata:

È un oggetto formato da un elemento a Î A e da un elemento b Î B presi nell´ordine,

24) Cosa è l´insieme prodotto cartesiano A x B :

È l´insieme formato da tutte le coppie ordinate <a,b> con   a Î A   e    b Î B .

Relazioni

25) Cosa si intende per relazione tra 2 insiemi:

Dati 2 insiemi, A e B si dice relazione s tra A e B un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B , infatti una relazione è completamente definita quando si stabilisce l´insieme di coppie <a,b> contenute nell´insieme A x B le quali soddisfano la relazione.

26) Di quali proprietà possono godere le relazioni:

a) Riflessività

b) Simmetria

c) Antisimmetria

d) Transitività

27) Quando una relazione è riflessiva:

Deve accadere che " a Î A , la coppia <a,a> Î s , è cioè contenuta nell´insieme individuato dalla relazione.

28) Quando una relazione è simmetrica:

Devono far parte della insieme individuato dalla relazione s , sia le coppie <a,b> che le corrispondenti coppie <b,a>.

29) Quando una relazione è antisimmetrica:

Devono far parte della insieme individuato dalla relazione s , sia le coppie <a,b> che le corrispondenti coppie <b,a> unicamente a condizione che sia b = a .

30) Quando una relazione è transitiva:

Quando accade che se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora anche a è in relazione con c.

31) Quali sono i 2 tipi principali di relazioni:

a) relazioni d´ordine.

b) relazioni d´equivalenza.

32) Quali sono le caratteristiche di una relazione d´ordine:

Riflessività, antisimmetria , transitività.

33) Quando una relazione d´ordine è totale:

Se tutte le coppie fanno parte di una relazione d´ordine ossia se per tutte valgono le proprietà di riflessività, antisimmetria, transitività.

34) Come viene definita una relazione d´ordine parziale:

Sono relazioni d´ordine parziali tutte le relazioni d´ordine che non sono totali.

35) Che grafi sono associati alle relazioni d´ordine parziali e quali invece alle relazioni d´ordine totali:

Le relazioni d´ordine totali sono in genere caratterizzate da grafi lineari in cui si sa bene quale oggetto precede il seguente. Le relazioni d´ordine parziali invece sono caratterizzate da grafi ad albero.

36) Quali sono le caratteristiche di una relazione d´equivalenza:

Riflessiva, simmetrica , transitiva.

37) Cosa si intende per partizione generata dalla relazione di equivalenza:

Le relazioni di equivalenza creano classi separate che non hanno alcuna intersezione e la cui somma è il totale.

38) Cosa si intende per classe di equivalenza:

Si intende una classe che raccoglie gli oggetti che ai fini della relazione in questione sono equivalenti, si pensi al caso della relazione di equivalenza tra le rette del piano, vi saranno infinite diverse classi di equivalenza, ciascuna caratterizzata da una diversa direzione, ed all´interno di ognuna di esse ci saranno le ¥ rette parallele alla direzione caratteristica di quella particolare classe di equivalenza.

39) Cosa si intende per insieme quoziente o insieme delle classi dei resti modulo K:

È l´insieme delle classi di equivalenza della relazione rispetto all´insieme sul quale sono calcolate. Consuetamente si tratta di un insieme più piccolo rispetto all´insieme di partenza, proprio per la caratteristica delle relazioni d´equivalenza di creare classi di oggetti uguali ai fini della relazione. Nel caso della relazione che lega il valore degli interi positivi al resto della loro divisione per 2, l´insieme quoziente è costituito dalla classe 1  contenente tutti i numeri dispari ed aventi pertanto resto 1e dalla classe 0 contenente tutti i numeri pari ed aventi pertanto resto 1.

Funzioni

40) Che differenza c´è tra una relazione ed una funzione:

La funzione è un tipo particolare di relazione la quale preclude la possibilità che uno stesso elemento della insieme d´esistenza sia in relazione con 2 diversi elementi della immagine, come dire che su di un telecomando, uno stesso pulsante non può individuare 2 canali diversi.

41) Cosa è il dominio di una funzione:

È l´insieme all´interno del quale vengono selezionati gli elementi che tramite la funzione corrispondono a qualche elemento del codominio.

42) Cosa è il codominio di una funzione:

È l´insieme all´interno del quale fanno anche parte gli elementi che tramite la funzione corrispondono a qualche elemento della insieme di esistenza della funzione nel dominio.

43) Cosa è l´insieme di esistenza di una funzione:

È l´insieme degli elementi del dominio i quali hanno un corrispondente nel codominio tramite la funzione.

44) Cosa è l´immagine di una funzione:

L´immagine di una funzione tra A e B è l´insieme dei valori di B che corrispondono a qualche valore a Î A.

45) Quando una funzione è iniettiva:

Una funzione è iniettiva se ad ogni elemento della immagine corrisponde un solo elemento del dominio.

46) Quando una funzione è suriettiva:

Se l´immagine è tutto il codominio

47) Quando una funzione è bigettiva:

Quando essa è sia iniettiva che suriettiva.

Calcolo delle proposizioni

48) Cosa è una proposizione:

È una affermazione retta da un verbo.

49) Cosa sono i connettivi logici:

Sono degli operatori aventi lo scopo di combinare i significati di più preposizioni, essi sono :

                               Ù                            AND                                      e

                               Ú                            OR                                         o, oppure

                               ®                           IMPLICA                              allora

                               º                             EQUIVALENZA  è uguale

                               Ø                            NOT                                      non

50) Cosa è il calcolo delle proposizioni:

È un calcolo, facente parte della logica matematica, che si occupa del controllo della correttezza di un ragionamento. Esso individua nelle frasi le proposizioni ed i connettivi logici ed è in grado di estrarre una tabella di verità della data frase in base al valore assunto dalle proposizioni che la costituiscono.

51) Quali sono le regole per la formazione di una proposizione composta corretta:

a) Ogni proposizione è una formula (p)

b) Se p è una formula allora il not se presente la deve precedere (Øp)

c) Se p1  e p2 sono formule , allora sono formule anche le seguenti:

                               p1                 Ù             p2          vera quando sono entrambe vere

                               p1                 Ú             p2                vera quando almeno una è vera

                               p1                 ®           p2          è falsa solo quando p1 è vera e p2 è falsa

                               p1                 º             p2          vera quando sono o entrambe vere o entrambe false

52) Quale è il significato del passaggio dal calcolo delle proposizioni al calcolo semantico:

Il calcolo delle proposizioni non ha senso se non è rapportato al mondo, occorre cioè un contesto rispetto al quale affermare che una data proposizione è vera o piuttosto è falsa.

53) Quando 2 formule sono equivalenti:

Quando il calcolo della semantica della 1ª è uguale al calcolo della semantica della 2ª, si rende pertanto necessario un algoritmo il quale consenta di individuare una formula rappresentante di tutte le formule il cui calcolo della semantica sia uguale, formando in tal modo una classe di equivalenza.

54) Cosa è la forma congiuntiva normale:

È un modo di ridurre una proposizione complessa al fine di individuare una formula che rappresenti tutta una classe di equivalenza. Nella forma congiuntiva normale, tale formula finale possiede quale connettivo logico il solo Ù  and .    

La formula finale si presenterà con questo aspetto :    f = f₁ Ù f₂ Ù f₃   , è una forma utilizzata prevalentemente per i sistemi esperti.

55) Quali proprietà sono utilizzabili per la riduzione di una formula:

a) sem (a º b) = sem(( a ® b) Ù (b ® a))       si ha equivalenza quando        a implica b      ed al contempo      b implica a

b) sem (a ® b) = sem(Ø a Ú b)

c) sem (a) = sem( Ø Ø a)

                Leggi di De Morgan

d) sem ( Ø (a Ù b)) = sem( Ø a Ú Ø b)

e) sem ( Ø (a Ú b)) = sem( Ø a Ù Ø b)

                Leggi distributive

f) sem (a Ú (b Ù c) = sem((a Ú  b) Ù  (a Ú c))

g) sem (a Ù (b Ú c) = sem((a Ù  b) Ú  (a Ù c))

56) Quale è la algoritmo di riduzione alla forma congiuntiva normale :

A)           Eliminare i simboli º , ® usando le proprietà 1 e 2

                               ripetere questi passi alternativamente finché è necessario:

B)            Eliminare le doppie negazioni usando la 3

C)            Utilizzare le leggi di De Morgan per togliere le negazioni di congiunzioni o disgiunzioni

D)           Applicare le leggi distributive 6 e 7

Applicando questo algoritmo si giunge alla forma disgiuntiva o congiuntiva normale, nel corso dello sviluppo, fare attenzione ad eliminare anche formule che son sempre vere come (a Ù Ø a).

57) Cosa è la forma disgiuntiva normale:

È un modo di ridurre una proposizione complessa al fine di individuare una formula che rappresenti tutta una classe di equivalenza. Nella forma disgiuntiva normale, tale formula finale possiede quale connettivo logico il solo Ú  or .

La formula finale si presenterà con questo aspetto :    f = f₁ Ú  f₂ Ú f₃     è una forma utilizzata prevalentemente per ridurre i circuiti elettronici  digitali.