Teoremi sugli insiemi

1) Se esiste un massimo per un insieme questo è unico.

Si ragiona per assurdo, ossia si suppone che m₁ ed m₂ siano 2 massimi , ricordando che un massimo non è altro che un maggiorante facente parte della insieme da esso maggiorato, ne consegue che sia m₁ che m₂ debbono appartenere all´insieme e quindi essendo m₁ massimo Þ m₂ precede o è uguale ad m₁, analogamente essendo m₂ massimo Þ m₁ precede o è uguale ad m₂, ne consegue che le 2 possono coesistere solo se m₁ = m₂.

 

2) Sia X un insieme totalmente ordinato e sia A Í X , con A finito e non vuoto Þ A ammette massimo e minimo.

Si dimostra per semiinduzione :

* se ho un solo elemento allora esso è max e min.

* se ho 2 elementi allora faccio il confronto e trovo il max ed il min.

* se ho n elementi allora faccio n-1 confronti e determino il max ed il min.

Questo è vero solo se A è finito (ossia costituito da un n° di elementi n , con n Î À), e l´ordinamento è totale.

3) Proprietà di densità su Q :

Descrizione :         " x, y  con x < y  $ infiniti elementi z tali che x < z < y

Si prende la media tra x ed y e si trova un punto z₁ dopodiché si prende la media tra x e z₁ e si trova z₂ e così via.

 

4) Proprietà di Archimede su Q :

Descrizione :         " x, y > 0   $ n Î À tale che nx ³ y

Si pone x = p/q  ed  y = r/s  a questo punto basta scegliere n = qr per far si che nx = pr ³ r/s.

 

5) Proprietà di completezza di  :

Descrizione :         sia A Í Â , A ¹ 0. Se A è limitato superiormente(ammette almeno un maggiorante) allora $ Sup A Î                             Â ( ovvero $ il più piccolo dei maggioranti). Analogamente se A è limitato inferiormente(ammette                        almeno un minorante) allora $ Inf A (ovvero il più grande dei minoranti).

 

6) Proprietà di densità su  :

Descrizione :         " x, y  con x < y  $ infiniti numeri razionali z tali che x < z < y ed infiniti elementi irrazionali con la                    stessa proprietà.

La proprietà di Archimede ci consente di dire che esiste un n_o Î À tale che la distanza tra i punti x ed y è > 2*10 ^-n0

pertanto esisterà un allineamento decimale compreso tra x ed y - 10 ^-n0 . Basterà aggiungere cifre all´ultima di questo allineamento per trovare altri numeri compresi tra x ed y , le cifre aggiunte possono creare sia allineamenti limitati o periodici dando vita quindi a numeri razionali, che allineamenti non limitati e non periodici dando vita a numeri irrazionali, tutti rigorosamente compresi tra x ed y.

 

7) Disuguaglianza di Bernoulli :

Descrizione :         " h Î Â ,  con h > -1  si ha che  (1+h)ⁿ  ³ 1 + nh

Si dimostra per induzione.

Per n = 0 si ottiene 1 ³ 1 la quale verifica la disuguaglianza.

Si suppone vera per n e la si dimostra per n+1 in particolare si scompone la potenza nella (1+h)ⁿ⁺¹  ³ 1 + (n+1)h e si ottiene al primo membro (1+h)ⁿ (1+h), a questo punto si può scrivere il 2° membro tramite la disuguaglianza dimostrata al passo n e compensando il termine (1+h) moltiplicandolo anche al 2° membro, si ottiene quindi 

(1+h)ⁿ⁺¹  ³ 1 + (n+1)h + nh²  ³ 1 + (n+1)h

dove il termine centrale si ottiene dal prodotto (1+nh)(1+h). Quindi la disuguaglianza è verificata anche per n+1.

 

8) Quante permutazioni sono possibili con n oggetti ?

Descrizione :         P_n = n!

Si dimostra considerando che per ordinare 1 oggetto nella 1ª casella ci sono n modi diversi, quindi per ordinare 1 oggetto nella 2ª casella ci sono n-1 modi diversi. Alla k-esima casella abbiamo collocato n-1 oggetti, se k = n allora Pn = n!

 

9) Quante permutazioni sono possibili con n oggetti di cui k₁ uguali tra loro e k₂ uguali tra loro ma diversi dai k₁ ?

Evidentemente se alcuni elementi sono uguali ciò rende identiche alcune permutazioni e quindi ne riduce il numero globale che è estrinsecato da n! . Nella fattispecie la restrizione avviene dividendo n! per il numero di combinazioni invalidate pari ad (n_elementi_uguali)!

 

10) Siano A e B 2 insiemi numerabili. Allora AxB è numerabile( può essere posto in corrispondenza biunivoca con À).

Si dimostra ponendo gli elementi dei 2 insiemi in una matrice ed utilizzando il procedimento diagonale di Cantor per la sua scansione, in tal modo ogni elemento viene raggiunto una sola volta e quindi si ha una corrispondenza biunivoca tra l´insieme ed À.

 

11) L´insieme  non è numerabile.

Si dimostra per assurdo affermando che è numerabile l´intervallo (0,1) equipollente ad  e dimostrando che si può creare un n° che non appartiene all´insieme così costruito ottenuto cambiando la i-esima cifra della i-esimo numero , pertanto non vi è una corrispondenza biunivoca tra l´insieme ed À in quanto la funzione non è suriettiva.

 

12) Dimostrare che se f è crescente in A e g è crescente in f(A) Þ g°f è crescente in A.

Si dimostra osservando che se f è crescente in A Þ se x₁³ x₂ segue che f(x₁) ³ f(x₂), inoltre se g è crescente in f(A) Þ g(f(x1)) ³ g(f(x2)) e dunque g°f è crescente.

 

13) Dimostrare che la composizione di una funzione per la sua inversa è la applicazione identica.

È immediato.

 

14) Disuguaglianza di Cauchy - Schwarz :

Descrizione :         " x , y  Π   si ha che  2|xy| £ x² + y²

Si utilizzano i prodotti notevoli, si ha :

(x + y)² ³ 0                            Þ                           x² + y² + 2xy ³ 0                                   Þ                           x² + y² ³ -2xy

(x - y)² ³ 0                             Þ                           x² + y² - 2xy ³ 0                                    Þ                           x² + y² ³ +2xy

e ricordando che                 |xy|   =     xy  se xy > 0     e       |xy|   =   -xy  se xy < 0  è dimostrata la disuguaglianza.

 

15) Disuguaglianza di Young :

Descrizione :         " x , y, e  Π   si ha che  2|xy| £ ex² + y²/e

Si pone x = u / a   ed   y = av sostituendo si ottiene al 1° membro 2|uv| al quale si può applicare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e quindi 2|uv| £ u² + v² sostituendo in modo da ottenere una disequazione in x ed y si ottiene :

2|uv| £ a²x² + y²/a² nella quale si può sostituire a =.

 

16) Variante della disuguaglianza triangolare :

Descrizione :         |  ||x|| - ||y|| |  £   || x - y ||

Si parte da ||x|| al suo interno si aggiunge e sottrae y dopodichè si applica la disuguaglianza triangolare ||x + y|| £ ||x||+||y|| e si ottiene  ||x|| - ||y||   £  || x - y || mentre partendo da ||y|| si giunge a ||y|| - ||x||   £  || x - y || = || y - x || ed infine sfruttando le caratteristiche del modulo, si giunge a dimostrare la assunto.

 

17) x è di accumulazione per E Û ogni intorno di x contiene infiniti punti di E.

Tutte le affermazioni con Û si dimostrano dimostrando separatamente i 2 versi Þ  e   Ü .

Ü           è banale infatti si definisce punto di accumulazione un punto x avente in ogni suo intorno un punto di E ¹ x

Þ           se x è di accumulazione per E allora in ogni suo intorno c´è almeno un punto di E, si trova un punto di E interno        al 1° intorno e si assume che ||x-x₁|| sia il raggio del nuovo intorno, al suo interno si troverà un nuovo elemento        di E il quale è differente dal 1° trovato in quanto l´intorno è una struttura che esclude i punti che sono sul bordo.

In definitiva dunque la definizione di punto di accumulazione ci dice che in ogni suo intorno c´è almeno un punto di E diverso da x, questo teorema precisa dicendo che in realtà non ce n´è uno solo bensì infiniti punti.

 

18) Se F è una famiglia di insiemi aperti di Âⁿ allora ÈF è un insieme aperto di Âⁿ .

Se x appartiene all´insieme unione della famiglia di insiemi Þ x deve appartenere ad uno di questi insiemi che costituiscono la famiglia, ad esempio all´insieme A il quale è un aperto il che vuol dire che ogni suo punto è punto interno e pertanto anche x, deve pertanto esistere un intorno di x completamente contenuto in A e dunque completamente contenuto in ÈF. Dunque x è punto interno ad ÈF e per la arbitrarietà con cui abbiamo scelto x segue che tutti i punti di ÈF sono punti interni e dunque l´insieme ÈF è aperto.

 

19) Se F è una famiglia finita di insiemi aperti Î Âⁿ allora ÇF è un insieme aperto di Âⁿ .

Si può considerare il caso di 2 insiemi aperti A e B, si prende un punto x che appartiene sia ad A che a B e si dimostra che esso è interamente contenuto in A ÇB, è cioè punto interno e dunque l´insieme ÇF è un aperto. Affinché x sia contenuto in AÇB occorre scegliere un intorno di raggio minimo tra il raggio che consente a x di essere punto interno di A ed il raggio che consente ad x di essere punto interno di B.

 

20) Se E è un insieme chiuso Þ E contiene la sua frontiera ¶E Í E .

Se x non appartiene ad E allora inevitabilmente appartiene al complementare C_E il quale è un insieme aperto (essendo E chiuso) e pertanto costituito da soli punti interni ne consegue che x è interno a C_E e dunque non appartiene a ¶E, in conclusione ¶E Í E .

 

21) Se E contiene la sua frontiera ¶E Í E   Þ   E contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Ricordando che un punto di accumulazione per E è o un punto di frontiera o un punto interno ed osservando che E contiene anche la sua frontiera ne consegue che E contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

 

22) Se E contiene tutti i suoi punti di accumulazione    Þ   E è chiuso .

Occorre dimostrare che il complementare C_E è un insieme aperto ossia che contiene solo punti interni il che è evidente perché se x non appartiene ad E allora non appartiene nemmeno alla frontiera di E (visto che dire che E contiene i suoi punti di accumulazione equivale a dire che ¶E Í E) allora x deve essere punto interno al complementare C_E che pertanto è un insieme aperto.

 

23) Teorema di Bolzano - Weierstrass :

Descrizione :         Sia E Í Âⁿ  limitato (può esser racchiuso in un intorno della origine) ed infinito (costituito da un n°                                infinito di elementi) Þ Esiste in Âⁿ almeno un punto di accumulazione per E.

a) Si trova un candidato ad essere punto di accumulazione :

Essendo E limitato allora esiste un rettangolo T₀ in grado di racchiuderlo, dato che E è infinito, questo rettangolo contiene infiniti punti di E, si eseguono poi ricorsivamente i 2 seguenti passi :

         1) si suddivide il rettangolo in 4 parti.            

         2) si sceglie tra i 4 rettangoli creati un rettangolo che contiene ancora infiniti punti di E.

         3) si aggiunge alla successione S dei bordi sinistri dei rettangoli un elemento che è ³ del precedente.

         4) si aggiunge alla successione D dei bordi destri dei rettangoli un elemento che è £ del precedente.

         5) si aggiunge alla successione B dei bordi bassi dei rettangoli un elemento che è ³ del precedente.

         6) si aggiunge alla successione A dei bordi alti dei rettangoli un elemento che è £ del precedente.

Dalla osservazione che gli insiemi così costruiti sono limitati e quindi ammettono almeno un maggiorante ed un minorante inoltre trovandoci su Â, per la proprietà di completezza esiste il minimo dei maggioranti ossia il Sup ed il massimo dei minoranti ossia l´Inf si ricava la condizione di uscita dalla ricorsione ossia si deve ottenere che         Sup(S) = Inf(D) e che Sup(B) = Inf(A)  valori che vengono raggiunti in quanto la distanza tra il sup e l´inf è data dalla distanza tra i bordi iniziali divisa per il n° arbitrario n delle suddivisioni eseguite. Il punto che possiede queste coordinate risulta dunque candidato ad essere un punto di accumulazione.

b) Si dimostra che il punto trovato è di accumulazione

Si deve dimostrare che tale punto è di accumulazione ossia che in ogni suo intorno di raggio e esistono infiniti punti della insieme, per far ciò basta racchiudere il rettangolino in un intorno di raggio e centrato nel punto x, questo si ottiene centrando nel punto candidato il quadrato [sup(S) - , sup(S) + ]x[sup(B) - , sup(B) + ].

Inscrivendo tale quadrato in un cerchio, si avrà che il cerchio ha raggio e , è centrato in x e contiene infiniti punti della insieme a patto di spingere il processo della suddivisione fino al punto in cui la distanza tra 2 bordi del rettangolino è minore di .

 

24) Se E Í Âⁿ è un insieme chiuso e limitato Þ esistono Max(E) e Min(E)

Limitato, per la proprietà di completezza, implica l´esistenza del Sup e della Inf i quali sono dei punti di frontiera e dato che un insieme chiuso contiene anche la sua frontiera ne consegue che E contiene l´Inf ed il Sup i quali pertanto sono rispettivamente Min e Max.