Definizioni

Elementi di base

1) Insieme  :

Collezione (classe, famiglia) di oggetti detti elementi della insieme.

 

2) Sottoinsieme    :

A è sottoinsieme di B se B contiene tutti gli elementi di A ma A non contiene tutti gli elementi di B.

 

3) Sottoinsieme proprio      :

Un sottoinsieme è proprio se è un sottoinsieme non vuoto.

 

4) Coppia ordinata  :

Si tratta di una coppia costituita da un elemento della insieme A e da un elemento della insieme B nell´ordine.

 

5) Insieme prodotto cartesiano A x B  :

È l´insieme formato da tutte le coppie ordinate con  aÎA   e   bÎB.

 

6) Relazione   :

È un predicato binario (affermazione che può essere vera o falsa) r(x,y) con xÎX ed yÎY

 

7) Proprietà di riflessività  :

a £ a

 

8) Proprietà di simmetria  :

" x, y Î X  se    x » y   Þ    y » x      

9) Proprietà di antisimmetria  :

" x, y Î X  se    x £ y    ^    y £ x        allora y = x

10) Proprietà di transitività  :

" x, y, z Î X  se    x £ y    ^    y £ z    allora   x £ z

11) Ordinamento totale  :

Si ha un ordinamento totale se presi comunque 2 elementi x ed y essi sono confrontabili ossia   x £ y  oppure  y £ x.

 

12) Maggiorante  :

Un elemento k Î X si dice maggiorante di A se

a)            "  aÎA si ha che k è confrontabile con a

b)            "  aÎA si ha che a £ k

 

13) Minorante  :

Un elemento k Î X si dice minorante di A se

a)            "  aÎA si ha che k è confrontabile con a

b)            "  aÎA si ha che a ³ k

 

14) Massimo  :

È un maggiorante che appartiene all´insieme A

 

15) Minimo  :

È un minorante che appartiene all´insieme A

 

16) Sup A    detto estremo superiore  :

È il più piccolo dei maggioranti di A.

 

17) Inf A    detto estremo inferiore  :

È il più grande dei minoranti di A.

Funzioni

18) Funzione  :

È una corrispondenza univoca da X in Y ovvero associa ad ogni elemento Î X un solo elemento Î Y

 

19) Successione  :

È una funzione avente come dominio À

 

20) Funzione iniettiva  :

È una funzione per la quale ad un solo elemento della immagine corrisponde un solo elemento del dominio.

 

21) Funzione suriettiva  :

È una funzione avente come immagine tutto il codominio.

 

22) Funzione biiettiva  :

È una funzione che è sia iniettiva che suriettiva.

 

23) Insieme numerabile  :

È un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con À.

 

24) Funzione crescente  :

È una funzione avente un rapporto incrementale ³ 0

 

25) Funzione decrescente  :

È una funzione avente un rapporto incrementale £ 0

 

26) Funzione pari  :

È una funzione per la quale f(x) = f(-x)

 

27) Funzione dispari  :

È una funzione per la quale f(-x) = -f(x)

 

28) g°f  :

Significa applicare la funzione g alla funzione f (x)

 

29) Disuguaglianza triangolare  :

|x₁ + x₂| £ |x₁| + |x₂|

 

30) Disuguaglianza di Young  :

2|xy| £ e x² + y²/ e

31) Disuguaglianza di Cauchy - Schwarz :

2|xy| £ x² + y²

Spazio vettoriale Âⁿ

32) Prodotto scalare  :         " x , y Î Âⁿ ,    

33) Norma euclidea   :         " x  Î Âⁿ ,    

34) Distanza euclidea :        " x, y  Î Âⁿ ,    

 

35) Una funzione definita  su di uno spazio vettoriale reale X viene definita norma se gode delle seguenti 3 proprietà :

                a) " x  Î X , ||x|| ³ 0    e    ||x|| = 0    Û   x = 0

                b) " xÎX , " yΠ ||lx|| = |l|*||x||

                c) " x , y  ÎX  ||x+y|| £ ||x|| + ||y||

 

36) Una funzione definita  su di un insieme X viene definita distanza se gode delle seguenti 3 proprietà :

                a) " x,y  Î X , d(x,y) ³ 0    e d(x,y) = 0    Û   x = y

                b) " x,yÎX , d(x,y) = d(y,x)

                c) " x,y,z  ÎX d(x,y) £ d(x,z) + d(z,y)

37) Distanza discreta :

se x = y                 Þ           d^~ (x,y) = 0

se x ¹ y                 Þ           d^~ (x,y) = 1

38) d*(x,y) :

max{|x₁ - y₁| , |x₂ - y₂|}

39) d_*(x,y) :

|x₁ - y₁| + |x₂ - y₂|

Topologia

40) Intorno  :

Dato x Î Âⁿ ed e ÎÂ⁺ , si dice intorno sferico di centro x e di raggio e l´insieme B_e(x) := { yÎÂⁿ : d(x,y) < e}

41) Sfera  :

Dato x Î Âⁿ ed e ÎÂ⁺ , si dice sfera di centro x e di raggio e l´insieme S_e(x) := { yÎÂⁿ : d(x,y) = e}

42) Sia X un insieme, per ogni xÎX si ha una famiglia di intorni con le seguenti proprietà :

a) x Î U(x) per ogni x Î X.

b) Se U₁(x) ed U₂(x) sono 2 intorni di x  Þ  la loro intersezione contiene almeno un intorno di x.

c) se yÎU(x)   Þ  esiste un intorno U(y) di y contenuto in U(x)

d) se x ¹ y       Þ  esiste un intorno U(x) di x ed un intorno U(y) di y disgiunti : U(x) Ç U(y) = 0

 

43) R^{*   :}

Detto R esteso è R^* := Â È {-¥} È {+¥}

44) R^{.   :}

Detto R punto è R^. := Â È {¥}

45) Punto interno :

Un punto x Î Âⁿ si dice interno all´insieme E se esiste un suo intorno completamente contenuto in E

46) Descrivere l´insieme 

È l´insieme costituito dai soli punti interni di E.

 

47) Punto esterno :

Un punto x Î Âⁿ si dice esterno all´insieme E se è interno al complementare di E.

48) Punto di frontiera :

Un punto x Î Âⁿ si dice di frontiera se non è interno ne esterno ad E.

49) Descrivere l´insieme  ¶E:

È l´insieme costituito dai soli punti di frontiera di E.

 

50) Punto di accumulazione :

Un punto x Î Âⁿ si dice di accumulazione per E se ogni intorno di x contiene un punto di E diverso da x.

51) Descrivere l´insieme  E´:

È l´insieme costituito dai soli punti di accumulazione di E.

 

52) Punto isolato :

Un punto x Î Âⁿ si dice punto isolato di E se xÎE e non è di accumulazione per E.

53) Insieme aperto :

Un insieme E Í Âⁿ si dice aperto in Âⁿ  se ogni elemento di E è punto interno ad E.

54) Insieme chiuso :

Un insieme E Í Âⁿ si dice chiuso in Âⁿ  se il complementare è un insieme aperto.

55) Insieme limitato :

Un insieme E Í Âⁿ si dice limitato in Âⁿ  se esiste un r tale che E è contenuto in un intorno della origine di raggio r.

56) Diametro di un insieme Diam(E) :

Si definisce diametro di un insieme l´estremo superiore della insieme delle distanze tra 2 punti x ed y appartenenti ad E.

 

57) Chiusura di E ossia :

È l´insieme formato dalla unione di E con la sua frontiera.

 

58) Insieme convesso :

Un insieme si dice E Í Âⁿ si dice convesso se per ogni coppia (x,y) il segmento congiungente i 2 punti è contenuto in E.

Limiti

59) Funzione limitata :

Una funzione si dice limitata in A Í X se esiste un M tale che ||f(x)|| £ M  " xÎA.

 

60) Massimo globale o assoluto :

M Î Â si dice massimo globale o assoluto di f in A se esiste x₀ Î A tale che :

a) f(x) £ M  per ogni x Î A

b) f(x₀) = M

 

61) Minimo globale o assoluto :

m Î Â si dice minimo globale o assoluto di f in A se esiste x₀ Î A tale che :

a) f(x) ³ m  per ogni x Î A

b) f(x₀) = m

 

62) Punto di minimo locale e minimo locale :

Un punto x₀ si dice di minimo locale se esiste un intorno U(x₀)  tale che f(x) ³ f(x₀) per ogni x appartenente all´ intorno.

Il punto è di minimo locale forte se f(x) > f(x₀) per ogni x appartenente all´intorno ad esclusione di x₀ .

 

63) Punto di massimo locale e massimo locale :

Un punto x₀ si dice di massimo locale se esiste un intorno U(x₀)  tale che f(x) £ f(x₀) per ogni x appartenente all´ intorno.

Il punto è di massimo locale forte se f(x) < f(x₀) per ogni x appartenente all´intorno ad esclusione di x₀ .

 

64) Limite :

Se x₀ Î Â^* è un punto di accumulazione per X Þ l Î Â^* si dice limite di f(x) per x ® x₀ se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x₀ tale che per ogni elemento x appartenente a questo intorno ad esclusione di x₀ si ha che f(x) Î V.

Se poi x₀ÎÂ e lÎÂ si può equivalentemente scrivere: "e>0 ,  $d>0 tale che " xÎX , 0 < |x-x₀| < d si ha che |f(x) - l | < e

 

65) Intorno destro :

È l´intervallo [x₀ , x₀+e)

 

66) Punto di accumulazione destro :

Si ha un punto di accumulazione destro quando in ogni intorno destro di questo punto vi è almeno un altro punto della insieme.

 

67) Limite destro :

Se x₀ Î Â^* è un punto di accumulazione destro per X Þ l Î Â^* si dice limite destro di f(x) per x ® x₀ se per ogni intorno V di l esiste un intorno destro U₊ di x₀ tale che per ogni elemento x appartenente a questo intorno ad esclusione di x₀ si ha che f(x) Î V.

 

68) Punto di estremo :

È un punto di massimo o di minimo.

 

69) Definizione di limite di una successione :

Û " e>0 esiste un NÎÀ tale che per ogni n > N si ha che |a_n - l |<e

 

70) Regole della o piccolo  :

a) o(3x) = o(x)

b) o(x) + o(x²) = o(x²) per x®+¥     mentre è un o(x) per x®0

c) x² *o(x) = o(x³)

d) o(o(x)) = o(x)

 

71) Quando f(x) = O(g(x)) ?

Quando sia f(x) che g(x) sono 2 funzioni infinite o infinitesime ma il loro rapporto ha un limite finito.

 

72) Quando f(x) ~ g(x) ?

Quando sia f(x) che g(x) sono 2 funzioni infinite o infinitesime per x ® x₀ ma il loro rapporto è unitario.

 

73) Condizioni per la asintoto obliquo :

a) Si deve avere un limite finito A per x®+¥ del rapporto f(x) / x, analogamente per x® -¥.

b) Se si trova il limite finito A allora la asintoto esiste se il limite per x®+¥ di f(x) -Ax restituisce un valore B finito che              corrisponde all´ordinata all´origine della asintoto. In tal caso la asintoto ha equazione y = Ax+B .

 

74) Condizioni per la asintoto verticale :

Si ha la asintoto verticale quando il limite per x®x₀ della funzione è ±¥  sia da destra che da sinistra o solo da un lato.

 

75) Definizione di sottosuccessione :

Una successione {b_n} si dice sottosuccessione della successione {a_n} se esiste una successione strettamente crescente {k_n} con valori in À tale che b_n = a_Kn   per ogni nÎÀ.

 

76) Definizione di successione fondamentale:

Una successione {a_n} a valori reali si dice fondamentale o di Cauchy se "e>0 esiste un NÎÀ tale che |a_n-a_m| <e per ogni coppia n, m > N.

77) Definizione di insieme compatto per successioni :

Un insieme K si dice compatto per successioni se ogni successione a valori in K ha una sottosuccessione convergente ad un elemento di K.

Continuità

78) Definizione di continuità :

Una funzione si dice continua in x₀ ÎX se è verificata una delle seguenti :

a) x₀ è un punto isolato di X.

b) x₀ è un punto di accumulazione per X e .

Equivale alla definizione di limite ma con la avvertenza di considerare anche il punto x₀ che invece per i limiti è ignorato.

 

79) Definizione di discontinuità eliminabile in x₀ :

Si ha una discontinuità eliminabile in x₀ Î al dominio se esiste finito il limite per x®x₀ ma è diverso da f(x₀).

 

80) Definizione di discontinuità di 1ª specie (o di salto) in x₀ :

Si ha una discontinuità di 1ª specie in x₀ Î al dominio se esistono finiti i limiti per x®x₀ sia da destra che da sinistra ma sono tra loro diversi.

 

81) Definizione di discontinuità di 2ª specie in x₀ :

Si ha una discontinuità di 2ª specie in x₀ Î al dominio nel caso in cui almeno uno dei 2 limiti non esista o sia infinito.

 

82) Definizione di funzione uniformemente continua :

La funzione f si dice uniformemente continua se per ogni e>0 esiste un d>0 tale che per ogni coppia x,y ÎX con ||x-y||<d si ha che || f(x) - f(y) || <e .

 

83) Definizione di funzione lipschitziana :

La funzione f si dice lipschitziana in X se esiste una costante L ³ 0 tale che || f(x) - f(y) || £ L ||x-y||  per ogni x,y Î X.

 

84) Definizione di funzione Holderiana :

La funzione f si dice lipschitziana in X se esistono delle costanti L > 0 ed 0<a<1 tali che || f(x) - f(y) || £ L ||x-y||^a  per ogni x,y Î X.  Dove a è detto ordine di Holderianità.

85) Definizione di oscillazione di una funzione :

L´oscillazione di una funzione w in A può assumere i seguenti valori :

                +¥                                          se f non è limitata in A

                sup f - inf f                            se f è limitata in A

Derivabilità

86) Equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x₀ , f(x₀)) :

y = f(x₀) + m(x-x₀)

 

87) Definizione di funzione derivabile :

Una funzione si dice derivabile se esiste finito il limite   se tale limite esiste viene chiamato derivata.

 

88) Definizione di derivata destra :

Se esiste finito il limite    viene chiamato derivata destra.

 

89) Definizione di punto angoloso :

Si ha un punto angoloso se f è continua in x₀ ed il limite della derivata da destra è diverso dal limite della derivata da sinistra, si noti che uno dei 2 può anche essere infinito.

 

90) Definizione di cuspide :

Si ha una cuspide allorché la derivata prima da destra e la derivata prima da sinistra sono infiniti di segno opposto.

 

91) Definizione di funzione primitiva :

Una funzione F si dice primitiva di f in I se :

                a)            f è derivabile in I

                b)            F´(x) = f(x) per ogni x Î I

In buona sostanza una primitiva è la funzione che ho prima di derivare e per recuperarla ho la necessità di integrare.

 

92) Definizione di funzione convessa :

Una funzione f si dice convessa in un intervallo I se per ogni coppia x,yÎI il segmento di estremi (x,f(x)) (y,f(y)) non ha punti sotto il grafico di f.

In altri termini si può scrivere che f è convessa in I Û per ogni x,yÎI , x¹y e per ogni t Î (0,1) si ha :

f((1-t)x + ty) £ (1-t)f(x) +tf(y).

93) Definizione di punto di flesso :

Si ha un punto di flesso se esiste un intorno destro di x₀ in cui la funzione è concava ed un intorno sinistro in cui la funzione è convessa o viceversa.

Funzioni di più variabili

94-a) Definizione di limite in Âⁿ  mediante le coordinate cartesiane :

 se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x₀ in Â^{. n} tale che per ogni x appartenente a questo intorno ad eccezione di x₀ si ha che f(x)ÎV.

 

94-b) Definizione di limite in Âⁿ  mediante le coordinate polari :

 »   uniformemente rispetto a q

ovvero " intorno V di l $ d > 0  tale che "   0 < r < d  e "q si ha 

95) Definizione di derivata direzionale :

Se v è un versore appartenente ad Âⁿ e la funzione j_v (t) = f(x+tv) è derivabile in t=0 allora si definisce derivata direzionale nella direzione v di f in x il limite  .

 

96) Definizione di derivata parziale :

Si definisce derivata parziale ognuna delle derivate direzionali effettuate nella direzione di uno dei vettori della base canonica dello spazio vettoriale ospitante.

 

97) Quando una funzione si dice derivabile in un punto:

Quando in quel punto esistono tutte le derivate parziali e pertanto esiste il gradiente.

 

98) Definizione di funzione avente come dominio  differenziabile in un punto:

Una funzione f è differenziabile in un punto xÎ(a,b) se esiste un a tale che f(x+h) = f(x) + ah +o(h) per h®0.

 

99) Definizione di differenziale :

Il differenziale df(x) rappresenta l´incremento subito dalla funzione a seguito di un incremento nel dominio e pertanto coincide con il prodotto df(x) = f ‘(x)dx dove dx = x-x₀ .

 

100) Definizione di funzione avente come dominio Âⁿ  differenziabile in un punto:

Una funzione f è differenziabile in un punto xÎ(a,b) se esiste un aÎÂⁿ tale che f(x+h) = f(x) + <a,h> +o(||h||) per h®0.

101) Significato della affermazione fÎC¹(X) ?

Significa che f è derivabile in XÎÂⁿ e tutte le derivate parziali sono continue in X.

 

102) Cosa è il differenziale secondo e come si indica ?

d²f(x) = < H_f (x)dx,dx>

 

103) Scrivere l´espressione del differenziale di ordine k in x :

 

104) Polinomio di Taylor :

Se f è m volte differenziabile in xÎX si dice polinomio di Taylor di grado m di f intorno ad x la funzione :

 

105) Definizione di funzione convessa :

Una funzione si dice convessa in A insieme aperto e convesso se per ogni coppia x,y f((1-t)x+ty) £ tf(x) +(1-t)f(y) per ogni t compreso tra 0 ed 1.

 

106) Punto critico :

Un punto xÎA insieme aperto si dice punto critico di f  se f è differenziabile in x e se Ñf(x) = 0 per ogni versore vÎÂⁿ .

 

107) Punto di sella :

Un punto x₀ si dice di sella per f se x₀ è un punto critico di f e se la funzione f(x) - f(x₀) ammette valori positivi e valori negativi in qualsiasi intorno di x₀ .

Integrali

108) Suddivisione :

Una suddivisione della intervallo [a,b] è un insieme finito di punti compresi tra a e b

 

109) Quando una suddivisione è più fine di un´altra:

Una suddivisione è più fine di un´altra se contiene almeno un punto in più.

 

110) Somma inferiore s(D,f) :

Si dice somma inferiore relativa alla suddivisione D la quantità  ossia la somma delle aree dei rettangoli ciascuno dei quali ha come base un intervallo della suddivisione e come altezza, il minimo assunto dalla funzione in quell´intervallino.

 

111) Somma superiore S(D,f) :

Si dice somma superiore relativa alla suddivisione D la quantità ossia la somma delle aree dei rettangoli ciascuno dei quali ha come base un intervallo della suddivisione e come altezza, il massimo assunto dalla funzione in quell´intervallino.

 

112) Funzione integrabile secondo Riemann :

Una funzione limitata si dice integrabile secondo Riemann nell´intervallo [a,b] se risulta che  ossia se l´estremo superiore della insieme delle somme inferiori è uguale all´estremo inferiore della insieme delle somme superiori.

 

113) Ampiezza della suddivisione |D| :

Si dice ampiezza della suddivisione la lunghezza del più grande degli intervallini individuati dalla suddivisione..

 

114) Somme integrali (alla Riemann) :

Essendo m_i il valore del limite in un punto interno all´intervallo si ha che e se una funzione è integrabile secondo Riemann Þ per ogni e >0 esiste una suddivisione D_e tale che | I(f) - s(D_e , f) | < e .

115) Se f è una funzione integrabile in [a,b] e cÎ[a,b] allora è ben definita la funzione integrale di f relativa al punto c

          per ogni xÎ[a,b]

 

116) Funzione integrabile in senso improprio :

Si presentano i 2 seguenti casi :

a) Una funzione f : (a,b]®Â  con aÎÂÈ{-¥} che sia integrabile secondo Riemann " wÎ(a,b) si dice integrabile in     senso improprio se esiste finito il limite   .  

b) Una funzione f : [a,b)®Â  con bÎÂÈ{+¥} che sia integrabile secondo Riemann " wÎ(a,b) si dice integrabile in   senso improprio se esiste finito il limite   .

117) Funzione assolutamente integrabile in senso improprio :

Una funzione f definita su di un intervallo I è assolutamente integrabile in senso improprio se | f | è integrabile in senso improprio sull´intervallo stesso.