Divisori ed accoppiatori

1) Geometria del divisore Wilkinson :

Una linea con impedenza caratteristica Z_C è connessa tramite un l/4 con impedenza Z₂ ad un carico Z_L2 e tramite un l/4 con impedenza Z₃ ad un carico Z_L3 tra queste due linee è poi posta una resistenza R che ha il compito di disaccoppiare. Nel caso in cui l´impedenza di carico sia Z₀=50W allora sono necessari due adattatori di impedenza in l/4 . Lo scopo della struttura è di realizzare una partizione di potenza  mentre ovviamente  .

 

2) Equazioni per il progetto del divisore Wilkinson :

a)       sostituendo  e   nella   e semplificando tenendo anche presente che affinché non scorra corrente in R occorre che si abbia V₁ = V₂ si ottiene .

b)       sostituendo la nella condizione di adattamento alla porta 1 del divisore  ed essendo  si ottiene .

c)       La relazione tra le impedenze dei due tratti di linea a l/4 si ottiene sostituendo nella  le espressioni delle potenze inviate in ingresso alle 2 linee a l/4 in particolare  e  in particolare si ha  , una relazione simile a quella tra le impedenze di carico  .

d)       Il valore della resistenza R deve essere tale che posta in parallelo alla -Y₂₃ dia un´ammettenza equivalente nulla ossia si deve avere . La Y₂₃ viene calcolata sfruttando una delle equazioni che lega i coefficienti della matrice Y ai coefficienti della matrice ABCD in particolare  dove è quello della matrice ottenuta moltiplicando le matrici ABCD della cascata di una linea lunga l/4 avente impedenza Z₂ , una rete con ammettenza Z₀ ed una linea lunga l/4 avente impedenza Z₃ , sostituendo si ha  .

 

3) Opzioni progettuali per il divisore Wilkinson :

Essendo di solito Z_C = Z₀ = 50W , si ha solo un grado di libertà e quindi basta imporre un valore per trovare gli altri :

a)       condizione di adattamento a tutte le porte Z₂ = Z_L2 da cui deriva Z₃ = Z_L3 , nel caso però in cui si richieda che la potenza venga equamente spartita sulle due porte questa opzione progettuale conduce a Z₂ =100W che è molto vicina al valore massimo realizzabile in microstriscia.

b)      

c)       ponendo Z_L2 = Z_L3 = Z₀ non ho bisogno dei secondi l/4 che mi adattino verso i carichi Z₀ , altrimenti essi sono necessari e le loro impedenze caratteristiche sono    e    .

 

4) Divisore Branch-Line :

È una struttura 4 porte costituita da due linee orizzontali separate tramite due linee lunghe ciascuna l/4 e spaziate tra loro di l/4 , essendo doppiamente simmetrica abbiamo che i parametri S da 16 si riducono a 4 e possono essere ricavati immaginando di applicare separatamente alla struttura una alimentazione pari (… si applica alla porta 1 ed alla 4 la stessa tensione ne deriva che non scorre corrente nelle linee trasversali che possono quindi essere considerate degli stub aperti) ed una alimentazione dispari (… si applica alla porta 1 la tensione mentre alla porta 4 la tensione ne deriva le linee trasversali possono essere considerate degli stub in corto).

 

5) Parametri S del divisore Branch-Line :

I parametri S della struttura possono essere ricavati in funzione dei parametri S del modello Open Circuit e del modello Short Circuit in particolare sommando i due contributi si ha  , in maniera analoga si ha  e sfruttando le relazioni di simmetria   ,   ,    ,       si ottengono anche     e     .

 ed  vengono ricavati a partire dalla matrice di trasmissione che si ottiene dal prodotto delle matrici del primo stub in aperto lungo l/8 , della linea di trasmissione lunga l/4  e del 2° stub in aperto anche esso lungo l/8, si ottiene  che in virtù delle relazioni tra la matrice S e la matrice ABCD consente di ottenere       e       , da queste espressioni si possono ottenere quelle per ed  semplicemente sostituendo Y₂ con –Y₂ .

 

6) Opzioni progettuali del divisore Branch-Line :

La condizione di adattamento alla porta 1 può essere ottenuta uguagliando a zero uno dei due moltiplicandi della  , si hanno i casi :

a)  da cui segue che S₄₁=0 e quindi la porta 4 è disaccoppiate dalla 1 mentre il segnale alla porta 2 è sfasato di 90° e quello alla porta 3 di 180°. Si può ottenere un divisore a 3dB imponendo |S₂₁|= |S₃₁|  che restituisce la condizione  dove Z₁ è l´impedenza dei tratti di linea orizzontali.

b)  da cui segue che S₂₁=0 e quindi la porta 2 è disaccoppiate dalla 1 mentre il segnale alla porta 3 è sfasato di 180° e quello alla porta 4 di 90°. Si può ottenere un divisore a 3dB imponendo |S₃₁|= |S₄₁|  che restituisce la condizione  dove Z₂ è l´impedenza dei tratti di linea verticali.

 

7) Divisore Rat-Race :

È una struttura a 4 porte realizzata in microstriscia nella quale si hanno dei l/4 tra le porte 1 e 2  , 2 e 3 , 3 e 4 mentre si ha un 3l/4 tra la porta 1 e la porta 4, ne consegue che la struttura possiede un solo piano di simmetria verticale e quindi i parametri S necessari a caratterizzarla sono 6 invece che 16. Come nel caso del Branch-Line i parametri S vengono ricavati immaginando di applicare una alimentazione pari (…applicando V_a alla porta 1 ed alla porta 4 e V_b alla porta 2 ed alla porta 3 ne deriva che la corrente è nulla sul piano di simmetria e quindi i tratti di linea che ad esso giungono possono essere considerati degli stub aperti)  ed una alimentazione dispari  (…applicando V_a alla porta 1 ,  –V_a alla porta 4 ,  V_b alla porta 2  e  –V_b  alla porta 3 ne deriva che la tensione è nulla sul piano di simmetria e quindi i tratti di linea che ad esso giungono possono essere considerati degli stub in corto). 

 

8) Parametri S del divisore Rat-Race :

I parametri S della struttura possono essere ricavati in funzione dei parametri S del modello Open Circuit e del modello Short Circuit in particolare sommando i due contributi si ha  , in maniera analoga si ha  e sfruttando le relazioni di simmetria   ,   ,    ,       si ottengono anche     e     , inoltre in aggiunta rispetto al Branch-Line si hanno  e

 ,  e vengono ricavati a partire dalla matrice di trasmissione che si ottiene dal prodotto delle matrici del primo stub in aperto, della linea di trasmissione lunga l/4  e del 2° stub in aperto, si ottiene  che in virtù delle relazioni tra la matrice S e la matrice ABCD consente di ottenere     ,         e   , da queste espressioni si possono ottenere quelle per ,   e  semplicemente sostituendo Y₂ con –Y₂ .

 

 

9) Opzioni progettuali del divisore Rat-Race :

La condizione di adattamento alla porta 1 può essere ottenuta uguagliando a zero  , sostituendola insieme alle espressioni trovate per il modello Open Circuit e per il modello Short Circuit nelle espressioni dei parametri di scattering del Rat-Race , abbiamo che il segnale che entra dalla porta 1 esce sfasato di 90° dalla porta 2 e dalla porta 4 mentre non esce dalla porta 3 mentre il segnale in ingresso dalla porta 3 arriva sfasato di 90° alla porta 2.

Per ottenere un divisore a 3dB occorre imporre |S₂₁| = |S₄₁|, si ottiene.