Tecniche di progetto di filtri numerici

1) Algoritmo per il progetto dei filtri numerici :

a)       Specifica delle proprietà richieste per il sistema

b)       Approssimazione delle specifiche per mezzo di un sistema a tempo discreto

c)       Realizzazione del sistema utilizzando la aritmetica a precisione finita

 

2) Metodo per la progettazione di filtri IIR :

Si trasforma un filtro analogico in un filtro numerico soddisfacente determinate specifiche questo perché i metodi di progetto di filtri analogici sono molto validi ed utilizzano formule in forma chiusa e semplici.

 

3) Invarianza all´impulso :

In sostanza non si fa altro che prelevare un certo numero di campioni dalla risposta all´impulso del filtro analogico, si ha la relazione . Si osserva che la asse immaginario nel piano s si mappa sulla circonferenza unitaria mentre la metà sinistra di ogni striscia presente in s si mappa sulla parte interna della circonferenza unitaria mentre la metà destra si mappa sulla parte esterna della stessa. Essendo basato sul campionamento questo metodo può presentare aliasing e pertanto il suo utilizzo è focalizzato sui sistemi limitati in banda.

Si osservi che se i poli in s sono stabili ossia a parte reale negativa i poli del filtro numerico sono contenuti all´interno del cerchio unitario in Z pertanto anche il filtro numerico risulta essere stabile.

 

4) Trasformazione bilineare :

Si può ottenere la trasformata Z della risposta all´impulso del filtro numerico semplicemente sostituendo  nella T.d.L.  della risposta all´impulso del filtro analogico. La trasformazione bilineare è dunque   e mappa la asse immaginario del piano s sulla circonferenza unitaria, manda il semipiano sinistro in s all´interno del cerchio unitario e manda il semipiano sinistro all´esterno dello stesso. Con questa trasformazione si ottiene un filtro numerico stabile a partire da un filtro analogico stabile, inoltre non si ha aliasing ma si ha distorsione di fase.

 

5) Filtri numerici Butterworth :

Un filtro di Butterworth è caratterizzato da una risposta in ampiezza piatta in banda passante,  dove N è l´ordine del filtro e quanto più è grande tanto più la risposta del filtro si avvicina alla risposta del filtro ideale mentre W_c è la pulsazione di taglio analogica per la quale il modulo si riduce a 0,707 del suo valore massimo.

Si osserva che ci sono 2N poli equidistanziati su di una circonferenza di raggio W_c nel piano s e sono disposti simmetricamente rispetto alla asse immaginario di questi poli sono stabili soltanto quelli che cadono nel semipiano sinistro.

Se si progetta un filtro numerico a partire dal filtro analogico di Butterworth si ottiene una circonferenza centrata nell´origine mentre la circonferenza di Butterworth non lo è, inoltre i poli non sono più equispaziati in sostanza ciò che si fa è determinare i poli stabili del filtro di Butterworth e mapparli tramite la trasformazione bilineare sul cerchio unitario.

 

6) Filtri numerici Chebyshev :

Si tratta di filtri aventi oscillazione uniforme nella banda passante e monotona nella banda oscura oppure monotona in banda oscura ed oscillazione uniforme in banda passante, si ha   dove  è il polinomio di Chebyshev per il quale è definita la formula di ricorrenza  mentre e è funzione del ripple ammesso in banda passante ed W_c è la pulsazione di taglio desiderata. I poli di questo filtro sono disposti su di una ellisse nel piano S .

 

7)       Filtri ellittici :

Si tratta di filtri che consentono di avere una attenuazione uniforme sia nella banda passante che nella banda oscura, si ha

 essendo U_N(W) una funzione ellittica di Jacobi. Per realizzare questo tipo di filtri sono necessari sia poli che zeri e questi ultimi sono disposti sulla asse JW del piano S .

 

8) Realizzazione di filtri passa-alto , passa-banda ed elimina-banda :

Prima si progetta un filtro passa-basso a frequenza normalizzata con uno dei metodi precedenti e poi mediante trasformazioni algebriche si ottiene la caratteristica desiderata, in particolare si associa la variabile z alla funzione di trasferimento passa-basso e la variabile Z alla funzione di trasferimento desiderata, tra esse vige la trasformazione  da cui per valori opportuni di N e di a_k si ottiene la trasformazione desiderata.

 

9) Progetto di filtri numerici IIR assistito al calcolatore :

Dato che non esistono procedimenti analitici per il progetto di filtri analogici o numerici che soddisfino specifiche arbitrarie, si sono affermate tecniche di progettazione a carattere generale risolvibili però unicamente al calcolatore.

a)       Minimizzazone della errore quadratico medio

La risposta in frequenza desiderata deve essere assegnata per un n° discreto di frequenze, in corrispondenza delle quali è definito l´errore quadratico medio  , ammettendo per il filtro una funzione di trasferimento  occorre determinare i valori dei coefficienti che minimizzano l´errore quadratico medio il che è possibile risolvendo il sistema di equazioni che si ottiene uguagliando a zero le derivate parziali rispetto ad ognuno dei coefficienti.

b)       Minimizzazione della errore di ordine p

Si differenzia dal metodo precedente unicamente perché viene minimizzato non l´errore quadratico medio ma una media pesata della sua p-esima potenza   oppure si lavora sul ritardo di gruppo.

 

10) Progetto di filtri FIR con l´uso di finestre :

In genere la funzione di trasferimento desiderata H_d(e^jw) per un filtro selettivo è costante a tratti il che implica che la risposta al campione unitario h_d(n) corrispondente è una sequenza infinita, per renderla finita e causale la si può troncare , si ottiene quindi h(n) = h_d(n)w(n) dove w(n) è la finestra che può essere rettangolare, triangolare o di Bartlett, di Hanning, di Hamming, di Blackman. Stante la relazione   si tratta di una convoluzione continua periodica pertanto quanto più la trasformata di Fourier della finestra è stretta, tanto meno lo spettro sarà smussato rispetto allo spettro desiderato, in particolare si ha che la finestra rettangolare è quella che ha il lobo principale più stretto però i lobi secondari sono molto elevati, per abbassarli occorre smussare la finestra agli estremi il che è possibile con gli altri tipi di finestre i quali però presentano un lobo principale più ampio e quindi un maggiore smussamento. La larghezza del lobo principale è inoltre inversamnte proporzionale ad N.

 

11) Progetto di filtri FIR assistito dal calcolatore :

Si prendono dei campioni su di un periodo della risposta in frequenza desiderata dopodiché si procede per interpolazione, una maggiore attenuazione in banda oscura può però essere ottenuta prendendo uno o due campioni in banda di transizione. Con questo metodo si ottengono dei filtri con caratteristiche eccellenti ma a spese di una maggiore complessità di progetto rispetto ai filtri realizzati con l´utilizzo delle finestre.