Modulazione numerica nello spazio dei segnali

Costellazioni della modulazione numerica

1) Origine delle costellazioni :

Ogni processo numerico può essere scritto nella forma  dove nel caso di modulazioni numeriche a segnalazione ortogonale ogni addendo s_mk(t) si esprime come combinazione lineare di funzioni ortonormali  , utilizzando per ogni k sempre lo stesso spazio dei segnali, ad ogni s_mk(t) corrisponde il vettore  se poi i coefficienti C_jqk oltre ad essere discreti appartengono anche ad un insieme discreto {c_q} allora s_mk appartiene all´insieme discreto di vettori  con n = 1, 2, …, M^N  che formano la costellazione potenziale.

 

2) Modulazione con memoria e prive di memoria :

Le modulazioni prive di memoria sono quelle per le quali si ha indipendenza statistica tra le C_jqk  e C_iqh  , le altre sono con memoria. Se l´indipendenza statistica vale sempre allora tutti i vettori s_n sono possibili per cui la costellazione potenziale coincide con la costellazione. In altri casi in cui anche C_jqk hanno probabilità congiunta nulla , i corrispondenti vettori hanno probabilità nulla e quindi la cardinalità M_m della costellazione è inferiore alla cardinalità M^N della costellazione potenziale.

 

3) Baricentro della costellazione :

 

4) Energia media statistica della costellazione :

si ha che l´energia media statistica del generico addendo smk(t) del processo modulato coincide con l´energia media statistica E della costellazione quindi la potenza del processo è  .

 

5) Potenza utile di una costellazione :

alla potenza del processo viene sottratta la potenza associata al baricentro il quale essendo noto non ha associata alcuna informazione. In particolare le costellazioni a baricentro nullo sono dette a minima energia in quanto la potenza è tutta utile.

 

6) Caratteristiche particolari delle costellazioni :

a)       la costellazione equienergia è tale che tutti i vettori che la compongono hanno la stessa energia

b)       la costellazione antipodale è costituita da due vettori opposti aventi la stessa energia

c)       la costellazione ortogonale è costituita da vettori tra loro ortogonali, ne deriva che il baricentro è non nullo e quindi la costellazione non è a minima energia

d)       la costellazione biortogonale si ottiene dalla ortogonale ammettendo anche i vettori opposti.

 

7) Caratteristiche di una costellazione bidimensionale :

La costellazione potenziale è composta dai vettori   ,  il suo baricentro è    mentre la sua energia è   dove h_aq  e s²_aq  sono il valor medio statistico e la varianza del processo discreto. Si tratta della costellazione tipica associata alle modulazioni armoniche, la cardinalità è M^N = M² massima nel caso di indipendenza statistica tra A_cqk ed A_sqk mentre diviene M nel caso di massima correlazione.

 

8) Caratteristiche di una costellazione monodimensionale :

La costellazione potenziale è composta dai vettori   nel caso inutilmente complesso di utilizzo di portanti armoniche in quadratura, utilizzando invece una sola portante la costellazione è   il cui baricentro è   mentre l´energia è  .

È la costellazione tipica cui si fa riferimento nel caso di modulazione in banda base.

Forme di base nella modulazione numerica

9) Scelta della forma di base :

La scelta della forma di base influenza la determinazione del formatore e del quadripolo complementare, in ogni caso essa deve ottemperare al criterio di Nyquist sulla autocorrelazione  per  n ¹ 0  ed al corrispondente nel dominio della frequenza . In genere si richiede che il segnale modulato occupi una piccola porzione di banda del mezzo trasmissivo ma in ogni caso non si può scendere sotto il valore minimo  imposto dal teorema del campionamento, lasciando un pò di libertà si ha la modulazione a banda normale nel caso si utilizzi una forma di base con frequenza massima f_yM che rispetti la condizione  , gli spettri che risultano da tale condizione sono gli spettri a coseno rialzato cui corrispondono le funzioni di autocorrelazione  .

Si definiscono pertanto le forme di base a banda normale  aventi frequenza massima f_aM  funzione di a      in  quanto a appartiene all´intervallo [0,1] .

Dalle forme di base a banda normale si possono ottenere le forme di base compresse nel tempo a banda estesa ponendo b=La si ha pertanto   .

Formatori e demodulatori numerici in banda base

10) Formatore a moltiplicazione diretta :

Viene utilizzato per ottenere un segnale elaborato b(t) utilizzante forme di base j(t) a durata limitata entro T, è costituito da un moltiplicatore ideale avente come ingressi il segnale squadrato a_Õq(t) ed il segnale periodico a potenza unitaria , si ottiene il segnale elaborato  .

 

11) Formatore con quadripolo LTI :

Imponendo che il segnale elaborato b(t) si ottenga da a_Õq(t) per semplice passaggio in un quadripolo LTI si ottiene che la funzione di trasferimento di quest´ultimo deve essere  nella quale la sinc(fT) a denominatore si annulla rendendo il quadripolo non realizzabile per f =2f₀ , ne deriva che la forma di base dovrà avere frequenza massima f_yM < 2f₀ ossia dovrà essere una forma di base a banda normale per la quale la  evidenzia una funzione di guadagno che per a=0 ed a=1 richiede una selettività infinita del quadripolo pertanto solitamente si opta per a = 0,5 .

 

12) Demodulatore a campionamento diretto :

Nel caso di forme di base j(t) a durata limitata entro T si può ottenere il segnale squadrato a_Õ(t) a partire dal segnale elaborato b(t) semplicemente campionando quest´ultimo mediante un formatore di segnale squadrato seguito da un amplificatore con trasmettenza . Se la forma di base ha però durata pratica maggiore di 2T questo metodo di demodulazione da luogo ad interferenza intersimbolica.

 

13) Demodulatore con filtro adattato alla forma di base :

La funzione di autocorrelazione e_yy(t) di una qualsiasi forma di base y(t) soddisfa il criterio di Nyquist sulla autocorrelazione  per  n ¹ 0  pertanto dal segnale  , ottenuto da b(t) sostituendo la forma di base con la sua funzione di autocorrelazione, si può ricavare il segnale squadrato semplicemente utilizzando un demodulatore a campionamento diretto. Il quadripolo che effettua la sostituzione della forma di base con la sua autocorrelazione è chiamato filtro adattato alla forma di base ed ha funzione di trasferimento  . La realizzabilità del filtro adattato è garantita per forme di base j(t) a durata praticamente limitata entro T se la risposta impulsiva è causale mentre nel caso di forme di base a banda limitata si ha una risposta impulsiva non causale che viene resa solo praticamente tale, il quadripolo che ne risulta genera però distorsione lineare in banda.

 

14) Diagramma ad occhio nella demodulazione numerica in banda base :

Si ottiene inviando il segnale d´uscita dal filtro adattato ad un oscilloscopio avente la asse dei tempi sincronizzato con gli istanti di lettura, nel caso ideale la apertura della occhio è massima e si riduce nel caso che il filtro adattato, il canale o il formatore si discostino dalle condizioni teoriche dando luogo a interferenza intersimbolica.

 

15) Sincronizzazione del demodulatore in banda base :

La demodulazione in banda base richiede oltre alla conoscenza della forma di base j(t) anche gli istanti temporali in cui essa deve essere campionata, questo sincrosegnale viene solitamente estratto dal segnale elaborato b(t) il quale è ciclostazionario e quindi contiene questa informazione.

Modulazione numerica in banda base

16) Elementi caratterizzanti la modulazione numerica in banda base :

Il segnale elaborato è  , può pertanto essere rappresentato mediante una costellazione monodimensionale avente baricentro  ed energia media statistica  conseguentemente la potenza del processo è  mente la potenza utile è  .

Al fine di valutare l´occupazione spettrale del mezzo trasmissivo è molto utilizzata l´efficienza spettrale    dove  è la ridondanza di banda di formazione essendo f_yM la frequenza massima presente nello spettro della forma di base impiegata e  il suo valore minimo teorico imposto dal teorema del campionamento.

 

17) Spettro di potenza del processo modulato in banda base :

nel caso di costellazione a baricentro non nullo h_aq ¹ 0 e forme di base a banda normale si ha la sola componente discreta a frequenza zero in quanto  . La presenza nel processo di modulazione di una codifica preliminare con memoria determina una covarianza non nulla del processo discreto che influisce sulla forma dello spettro.

 

18) Efficienza spettrale in banda base :

Nel caso si utilizzino forme di base j(t) a durata limitata entro T i mo-demodulatori sono semplici ma b_F >>2 quindi l´efficienza spettrale è bassa  quindi sono richieste bande maggiori dei mezzi trasmissivi così spesso si preferisce realizzare i formatori a banda normale per i quali b_F = 1+a  e quindi l´efficienza spettrale è   che può essere aumentata scegliendo a@0 ma del resto scegliendo a@1 diminuisce la durata pratica in quanto decresce come t^-3 invece che come t^-1 .

 

19) Modulazione binaria in banda base :

I simboli 0 ed 1 vengono associati a 2 diversi vettori della costellazione monodimensionale, nel caso di modulazione priva di memoria si hanno le due seguenti costellazioni :

Modulazione unipolare      a₁ = 0     Û bit 0                   a₂ = d    Û bit 1

Modulazione polare            a₁ = -d/2 Û bit 0                  a₂ = d/2 Û bit 1

Esse possono utilizzare gli stessi modulatori e demodulatori e si distinguono per la potenza utile che nel caso unipolare è la metà di quella che si ha nel caso polare a parità di potenza massima. Le due modulazioni presentano la stessa densità spettrale di potenza allocata a ridosso della continua, la si può spostare a frequenza più alte mediante la codifica di Manche ster, in tal modo il cavo coassiale ha migliori proprietà schermanti, diminuisce il BER ma, essendo R_c = 0,5  ,  si dimezza l´efficienxa spettrale h_s .

 

20) Modulazioni ternarie in banda base :

Le modulazioni ternarie sono ottenute dalle quaternarie per mezzo di codificatori i quali fanno in modo che uno dei simboli abbia una probabilità nulla di essere emesso. Le modulazioni ternarie più utilizzate sono :

MODULAZIONE BIPOLARE ALTERNATA (AMI)

Ad ogni elemento x_k della sequenza binaria entrante il codificatore associa una parola di 2 bit secondo la regola

                     

in sostanza ad x_k = 0 viene associata y = 00 , che quindi ha probabilità ½ mentre ad x_k = 1  viene associata y = 01 oppure y = 10  alternativamente , tali simboli hanno quindi probabilità ¼ . Il simbolo 11 ha probabilità 0.

I vettori associati sono      a₁ = -d  Û 01         a₂ = 0  Û 00          a₃ = d  Û 10          a₄ = 2d  Û 11   , ne deriva che il baricentro è nullo e la potenza tutta utile è distribuita in maniera simile a quanto si ha per il codificatore polare con codifica di Manche ster.

MODULAZIONE DUOBINARIA

Ad ogni elemento x_k della sequenza binaria entrante il codificatore associa una parola di 2 bit secondo la regola

                      

in sostanza ad x_k = 0 viene associata y = 00 , che quindi ha probabilità ½ mentre ad x_k = 1  si alterna la parola (10 o 01) 

rispetto a quella emessa per il precedente 1 a seconda che vi sia un n° pari o dispari di 0 interposti. L o spettro che si ottiene è a ridosso della continua ma quasi completamente compreso al di sotto di f = f₀ .

Modulazione numerica armonica lineare

21) Caratteristiche del processo di modulazione armonica lineare :

Il segnale modulato in banda traslata è  può pertanto essere rappresentato mediante una costellazione bidimensionale avente baricentro  ed energia media statistica  conseguentemente la potenza del processo è  mentre l´efficienza spettrale    . Questa generica modulazione in banda traslata è chiamata QASK .

 

22) Schema di principio di mo-demodulatori armonici lineari :

Il modulatore ed il demodulatore possono essere realizzati secondo i classici schemi in banda traslata

In alternativa il demodulatore può essere realizzato utilizzando un unico filtro adattato alla forma di base e susseguenti formatori di segnale squadrato in banda base

Tale schema è però meno utilizzato in quanto la realizzazione del filtro adattato in banda traslata avente funzione di trasferimento   è problematica.

 

23) Densità spettrale di potenza del segnale con modulazione QASK :

La densità spettrale della inviluppo complesso è

 , essa è relazionata alla densità spettrale del processo modulato P_m(f) secondo la   , da esse si evidenzia che nel caso h_aq ¹ 0  (…baricentro nullo) ed utilizzo della forma di base a banda normale , nell´inviluppo complesso si ha solo la componente discreta a frequenza zero che nel processo modulato implica la presenza della portante f_c . L´autocovarianza e la covarianza, se presenti, determinano la modifica della forma dello spettro.

24) Modulazioni numeriche armoniche lineari prive di memoria :

a) Modulazione QAM        È una QASK priva di ridondanza R_c = 1  nella quale le elaborazioni numeriche in banda base utilizzano lo stesso insieme di M elementi discreti simmetrici ed equispaziati, ne risulta una costellazione a baricentro nullo quindi a minima energia.

b) Modulazione PSK          È una QASK nella quale una codifica preliminare a blocchi fa si che abbiano probabilità non nulla i soli vettori che si trovano su di un cerchio di raggio  , in tal modo si ha infatti la massima potenza del segnale modulato.

Da notare che le due modulazioni coincidono per M = 4  nel qual caso si parla di modulazione QPSK , entrambe le modifiche poi utilizzano la codifica M-naria di Gray che consiste nella associare parole binarie che differiscono per un solo bit ad ogni coppia di vettori adiacenti situati a distanza minima d.

 

25) Modulazioni numeriche con portante singola :

L´informazione numerica viene associata ad un solo segnale elaborato b(t) in banda base, ne deriva che è necessaria una sola portante e conseguentemente il modulatore ed il demodulatore si semplificano. La costellazione potenziale di questa modulazione detta ASK è monodimensionale con baricentro  , energia media statistica  ed efficienza spettrale    .

Da notare che nel caso di modulazione ASK sincrona con portante avente frequenza multipla esatta di  la demodulazione avviene semplicemente con un filtro adattato in banda traslata seguito da un formatore di segnale squadrato. Le tipologie di ASK sono le seguenti :

a) Modulazione OOK         Si realizza moltiplicando una portante armonica per un segnale in banda base ottenuto con una modulazione unipolare , il baricentro non è nullo quindi si ha una coppia di componenti discrete alla frequenza della portante che fan si che la potenza utile sia solo il 50% ed inoltre l´efficienza spettrale è molto bassa, per questi motivi viene utilizzata esclusivamente nel settore dei radioaiuti alla navigazione.

b) Modulazione BPSK        Si realizza moltiplicando una portante armonica per un segnale in banda base ottenuto con una modulazione polare, il baricentro è nullo quindi non ci sono componenti discrete nello spettro e la potenza è tutta utile. Utilizzando forme di base a banda normale si ottiene una efficienza spettrale buona  , inoltre se i simboli sono equiprobabili il recupero della portante avviene a meno di un addendo np nella fase con n = 0 oppure 1. Si rende pertanto necessaria la codifica differenziale che, qualora utilizzata, suggerisce l´utilizzo per la demodulazione del seguente schema :

detto demodulatore differenziale BPSK oppure DBPSK in quanto il segnale campionato è positivo nel caso di permanenza e negativo nel caso di variazione.