Riflessione e rifrazione delle onde piane

1) Incidenza normale su un materiale dielettrico :

In questo caso , per rispettare le condizioni di continuità dei componenti tangenziali dei campi E ed H si genera un'onda riflessa ed un'onda rifratta pertanto le equazioni sono e , proiettandole sugli assi si ottiene ed anche , sostituendo la 1ª nella 2ª si individua il rapporto detto coefficiente di riflessione per incidenza normale, analogamente si giunge al coefficiente di riflessione per il campo H , si osserva che se il campo E è concorde, il campo H è discorde e viceversa. I coefficienti di trasmissione sono e .

2) Incidenza normale su un materiale dissipativo :

Abbiamo visto che per un'onda piana che si propaga in un mezzo conduttore si ha mentre per l'onda che si propaga nel mezzo dielettrico è ed quindi il coefficiente di riflessione è essendo per la presenza di g al denominatore che tende ad ¥ , si ha che q_E @ 1 e con considerazioni analoghe

q_H @1 quindi il campo E rifratto sarà nullo mentre il campo H rifratto sarà il doppio di quello incidente ma decade esponenzialmente penetrando nel mezzo dissipativo mentre nel mezzo dielettrico si instaura un'onda stazionaria alla quale non è associato alcun trasporto di potenza.

3) Incidenza obliqua su un materiale dielettrico :

Supponiamo l'asse x orizzontale, l'asse y uscente dal foglio e l'asse z diretto verso il basso, pertanto supponendo che l'onda incidente appartenga al piano xz si ha che il vettore b ha componente sia lungo x che lungo z, per z=0 l'uguaglianza tra le componenti tangenziali di E porta alla relazione , uguaglianza che si ha per ogni terna di campi a patto che i 3 esponenziali siano uguali ossia che da questa relazione deriva la legge di Erone e la legge di Snell nonché essendo l'ovvia uguaglianza tra le velocità di fase lungo x delle 3 onde. Per determinare i coefficienti di riflessione si considerano due vettori E_0h ed E_0v locati nel piano ortogonale a b , E_0h diretto lungo y (…uscente dal foglio) ed E_0v nella direzione , trattandosi di un'onda piana si ha (…si osservi l'inversione dei versori) inoltre in maniera analoga si scrivono i campi E ed H relativi all'onda riflessa e all'onda rifratta. Proiettando E ed H lungo y si ottengono le relazioni e , sostituendo la 1ª nella 2ª si ottiene la quale raccogliendo h₂ ed utilizzando , , porta alla , si osserva che q_Eh cresce monotonamente dal calore che ha per incidenza normale sino al valore 1 assunto per incidenza tangente.

Proiettando E ed H lungo y si ottengono le relazioni ed ricavando E_0v si ottiene che, con considerazioni analoghe a quelle fatte per q_eh si riduce a . Dalla prima espressione si nota che esiste anche un valore di q detto angolo di Brewster per il quale q_Ev si annulla, si deve avere che, elaborata porta alla .

4) Incidenza obliqua su un materiale dissipativo :

I campi incidenti hanno la consueta espressione , come pure i campi riflessi , mentre per i campi rifratti occorre tener conto che e quindi , . Per z =0 si deve avere la continuità delle componenti tangenziali dei campi e quindi l'uguaglianza degli esponenti la quale è verificata solo se che uguagliando i coefficienti reali dà e quindi nel mezzo dissipativo a è parallelo all'asse z mentre eguagliando i coefficienti immaginari si ha che è ancora la legge di Snell ma mostra che non è parallelo a e quindi l'onda nel mezzo non dissipativo non è più uniforme. Dall'uguaglianza si possono derivare una equazione relativa alla parte reale ed una equazione relativa alle parti immaginarie, da esse è possibile dedurre ed sviluppando i seguenti casi :

a) Mezzo con bassa dissipazione :

quindi il vettore di fase è lo stesso che si ha nel caso di mezzo non dissipativo mentre per il modulo del vettore di attenuazione si ha che è proporzionale alla conducibilità e dipende anche della angolo di incidenza.

b) Mezzo conduttore :

analogamente a quanto si aveva nel caso di onde uniformi, il motivo di ciò è che l´onda rifratta si propaga quasi ortogonalmente alla superficie di discontinuità quindi a´ // b´ che è proprio la definizione di onda uniforme.

Viene inoltre definita la profondità di penetrazione ossia la distanza dalla superficie di discontinuità a cui il campo si riduce ad del suo valore iniziale per via della conducibilità, si ha e si osserva come essa sia infinitesima per un conduttore ideale (…g®¥) , questo è il motivo per il quale i conduttori sono utilizzati come schermi elettromagnetici e lo spessore necessario diminuisce al crescere della frequenza.

Per determinare i coefficienti di riflessione occorre tener conto che il 2° mezzo è dissipativo pertanto la relazione tra ed è con dal rapporto tra E₀ ed H₀ si deduce l'impedenza d'onda superficiale la quale solo per un conduttore coincide con l'impedenza intrinseca, il coefficiente di riflessione può essere scritto e si nota che la potenza incidente su un conduttore viene quasi completamente rifratta quindi la potenza da esso dissipata è infinitesima, pur essendo dissipativo.

5) Riflessione totale :

L'angolo di rifrazione è chiaramente se (…cioè se la velocità di propagazione nel mezzo 1 è minore che non nel mezzo 2) si ha che esiste un angolo limite q_L tale che e quindi ossia l'onda rifratta si propaga parallelamente alla superficie di discontinuità.

Per q_L si ha che è massimo quindi la velocità di fase dell'onda rifratta è minima ma sempre maggiore della velocità di fase lungo x dell'onda incidente in quanto si è supposto tuttavia se l'onda rifratta è non uniforme si ha che aumenta e quindi diminuisce la velocità di fase dell'onda rifratta consentendo in tal modo l'uguaglianza richiesta dalle condizioni al contorno, in definitiva si ha che per q < q_L l'onda rifratta è uniforme mentre per q > q_L è non uniforme. Per quanto riguarda la potenza si ha che se polarizziamo orizzontalmente l'onda incidente, anche l'onda rifratta è polarizzata orizzontalmente ed il vettore di Poynting ha una componente immaginaria lungo z₀ quindi non c'è trasporto di potenza attraverso la superficie di discontinuità ma solo parallelamente ad essa in quanto si ha anche una componente reale lungo x₀ del vettore di Poynting.