Propagazione

1) Equazione delle onde contenente il potenziale vettore magnetico per un mezzo disomogeneo :

Essendo H solenoidale  , per esso esiste un potenziale vettore A tale che  , sostituendolo nella  si ottiene  il quale sostituito insieme a  nella   restituisce    avendo sfruttato la relazione      e definito la costante dielettrica equivalente  . Sostituendo la condizione di Lorentz   si ha al 1° membro   e definendo   si ottiene   .

dalla quale si nota che anche le disomogeneità dielettriche del mezzo si possono considerare come sorgenti elettriche.

 

2) Equazione delle onde contenente il potenziale vettore per un mezzo debolmente disomogeneo :

Nella   il termine   si può trascurare a patto che sia rispettata la condizione  quindi nel caso di alte frequenze o di mezzo debolmente disomogeneo si ha  .

 

3) Utilizzo del potenziale vettore :

L'equazione delle onde con il potenziale vettore viene utilizzata solo quando ci si trova in prossimità delle sorgenti in quanto all'esterno delle sorgenti vale la relazione omogenea   del tutto simile a quella che si puà ottenere per il campo elettrico    e per il campo magnetico    .

 

4) Equazione eiconale ed equazione del trasporto :

L'equazione delle onde per un mezzo debolmente disomogeneo e non dissipativo è

dove        ed   , per essa Luneburg  Kline ipotizzano una soluzione nella forma  la quale sostituita nell'equazione può individuare delle condizioni che debbono essere verificate, in particolare si osserva che E(r) è il prodotto di uno scalare   per un vettore   e che il laplaciano del prodotto è   , sostituendo e semplificando si ottiene   .

Sviluppando la sommatoria ed eguagliando i coefficienti di k₀² si ottiene l'equazione eiconale   mentre eguagliando i coefficienti di k₀ si ottiene l'equazione del trasporto .

 

5) Velocità di propagazione nella direzione r₀ :

L'espressione del campo elettrico funzione dello spazio e del tempo che deriva dall'espansione asintotica di Luneburg  & Kline è   , ossia si tratta di una funzione sinusoidale sia del tempo che dello spazio, si ha che   al crescere di t se  ossia considerando la direzione di propagazione r₀ , si deve avere   da cui si ottiene la velocità di fase nella direzione di r₀   .

 

6) Espressione dei campi E ed H in funzione della posizione :

Se si considera il mezzo poco disomogeneo, si può utilizzare l'espansione asintotica di Luneburg & Kline, in essa se w è sufficientemente elevata si possono considerare solo i termini dominanti E₀ ed H₀ ottenendo   e    , sostituendoli nella  e sfruttando la relazione vettoriale  si ottiene    mentre sostituendo nella  si ottiene . Sostituendo in entrambe   ,derivante dall'equazione eiconale, e l'impedenza intrinseca del mezzo  si ottiene :

                                            

dove s₀ è il versore nella direzione di  ossia è ortogonale alle superfici equifase.

 

7) Impedenza intrinseca locale :

 

8) Raggi elettromagnetici :

Si tratta di curve che in ogni punto sono ortogonali alla superficie di propagazione, lungo di esse si propaga l'energia elettromagnetica, come si può osservare dal vettore di Poynting  dove si è utilizzata la relazione vettoriale  ed essendo s₀ il versore ortogonale alle superfici d'onda j(r) = costante.   Le caratteristiche della traiettoria dei raggi possono essere desunte dall'equazione eiconale tramite la quale si ricava  , relazione da cui si deduce che il raggio rimane confinato nel piano individuato da s₀ e   ed ha curvatura   ossia ha la concavità rivolta verso la regione con indice di rifrazione crescente, ad esempio per l'atmosfera il raggio si incurva verso il basso in quanto più ci si avvicina alla terra, più aumenta la concentrazione e quindi l'indice di rifrazione.

 

9) Legge di Snell generalizzata :

Dall'equazione eiconale si ottiene  applicando il rotore e ricordando che   rot grad[.] = 0   si ha   cui si può applicare il teorema di Stokes ottenendo   , scegliendo pertanto un circuito rettangolare in cui al lato superiore corrisponde un indice di rifrazione n ed al lato inferiore un indice di rifrazione n+dn , facendo tendere a zero i lati verticali si ottiene  dove q è l'angolo compreso tra s₀ e la verticale discendente z₀ .

 

10) Principio di Fermat:                     

Afferma che la lunghezza del percorso elettromagnetico  è stazionaria ossia l´energia elettromagnetica si propaga lungo le traiettorie che rendono minimo il valore di L .

 

11) Andamento dei raggi in un mezzo stratificato radialmente :

In un mezzo stratificato radialmente, l´indice di rifrazione ha simmetria radiale, si ottiene che il raggio rimane confinato in un piano passante per l´origine della struttura sferica e contenente s₀ .

 

12) Andamento dei raggi in un mezzo stratificato piano :

Un mezzo stratificato piano è un mezzo per il quale l´indice di rifrazione varia solo con la quota z, dalla  si deduce che il raggio rimane sempre confinato in un piano ortogonale al piano xy , si ottiene che se q è l'angolo compreso tra s₀ e z₀ , si ha  .

 

13) Raggi nella troposfera  :

Si tratta della parte bassa della atmosfera che va da 0 a 10km ai poli e da 0 a 15Km all´equatore, essa è costituita da Azoto (78.1%) , Ossigeno (20.9%) , vapor d´acqua sino ad un massimo del 5% ed altri gas. L'indice di rifrazione varia con la quota in funzione della densità e della polarizzabilità dei singoli componenti, al livello del mare vale 1,0003 , per valutarne le piccole variazioni viene definita la rifrattività   che per l'atmosfera ad f £ 40GHz vale  essendo p_t la pressione atmosferica totale e p_w la pressione parziale del vapor d´acqua e quindi il primo termine è il termine secco avente valori elevati ma stabili in quanto compresi tra 265N e 284N mentre il termine noto subisce forti variazioni potendo passare da 102N a 31N. Si osserva che la rifrattività diminuisce al crescere della quota h secondo la   dove N_s è il valore della rifrattività al suolo e h₀ la altezza caratteristica che vale circa 8Km, questi valori in particolare variano con le condizioni metereologiche pertanto a bassa quota si ha :

a)       atmosfera substandard se unità N/Km

b)       atmosfera standard se unità N/Km

c)       atmosfera superstandard se unità N/Km .

 

14) Raggio terrestre equivalente :

Nel caso di collegamenti tra stazioni situate a terra si ha che l'angolo q  tra il versore s₀ tangente al raggio elettromagnetico e  diretto radialmente verso il basso è circa 90° pertanto la curvatura è , considerando inoltre che la curvatura della terra è   si può fare un cambio di coordinate  che annulla la curvatura del raggio elettromagnetico semplicemente a patto di ingrandire la terra. Inoltre essendo   si ha     , si vede che se   allora R_e®¥ e quindi l'energia si propaga parallelamente alla superficie terrestre, ossia si instaura un condotto elettromagnetico.

 

15) Visibilità tra antenne :

Due antenne si dicono essere in visibilità quando il raggio elettromagnetico che le congiunge non interseca la superficie terrestre, dato che il raggio elettromagnetico presenta la concavità rivolta verso la terra si ha che la visibilità elettromagnetica è maggiore della visibilità geometrica.

 

16) Approssimazione WKB :                           

Sostituendo nell'equazione del trasporto  la  che si ricava dalla eiconale si ottiene   nella quale :

a)       considerando un versore t₀  ortogonale ad s₀ si può scomporre il gradiente in queste due direzioni e quindi scrivere

b)      

c)       per la definizione di divergenza, considerando un tubo di flusso avente sezione iniziale S, si ha .

Sostituendo si ottiene  che moltiplicata per E₀^*  e semplificata restituisce   ossia dei termini che scaturiscono dalla derivata di un logaritmo, in definitiva si ha   mentre per il termine di fase dell'espansione di Luneburg & Kline si ha  , l'approssimazione WKB determina il valore del campo all'ascissa curvilinea s        .

 

17) Andamento del campo in un mezzo dissipativo debolmente disomogeneo :

L'equazione eiconale   essendo  con   (…tiene quindi conto sia delle dissipazioni dovute alla conducibilità che di quelle dovute alla polarizzazione), non è soddisfatta a meno che la funzione di fase non sia una funzione complessa  , sostituendo tale espressione nell'eiconale ed eguagliando le parti reali si ottiene   mentre eguagliando le parti immaginarie si ha  dove   è ortogonale alle superfici equiampiezza, l'espressione del campo diviene  .

 

18) Andamento del campo in un mezzo debolmente disomogeneo e debolmente dissipativo :

Un mezzo è debolmente dissipativo se   ossia se pur rimanendo complesso l'indice di rifrazione, si ha che la parte reale prevale nettamente sulla parte immaginaria, si ottiene che le superfici equifase e le superfici equiampiezza coincidono,   e     , sostituendo tali espressioni nell'equazione del trasporto si trova   e quindi si ha anche un esponenziale reale che attenua il campo al crescere di s . In particolare viene definita l'attenuazione specifica del mezzo all'ascissa s       e l'attenuazione  subita dal campo nel percorso tra s_i ed s .

 

19) Onda non omogenea :

Si tratta di un´onda per la quale le superfici d´onda sono in ogni punto ortogonali alle superfici d´ampiezza.