Identità e prolungamenti

1) Zero di una funzione analitica :

Il punto z₀ appartenente al dominio G si dice zero di f(z)se f(z₀) = 0 . Dallo sviluppo di f(z) in serie di potenze in un intorno del punto z₀ f(z) = Sc_n(z-z₀)ⁿ , segue che il coefficiente c₀ è uguale a zero. Se anche i coefficienti sino al k-1 sono uguali a zero ed il coefficiente c_k è diverso da zero allora il punto z₀ si dice zero di ordine k della funzione f(z).

 

2) Identità di serie di potenze :

Siano date 2 serie di potenze    e   convergenti nello stesso cerchio con centro z₀ , tali che le loro somme coincidano in un insieme di infiniti punti z ¹ z₀ aventi z₀ come punto di accumulazione. Allora a_n = b_n .

 

3) Sia f(z) analitica in un dominio G e che si annulli in vari punti z_n Î G allora se la successione {z_n} converge al limite a appartenente allo stesso dominio, allora la funzione f(z) è identicamente uguale a zero nel dominio G :

Si dimostra prima che la f(z) = 0 all´interno del cerchio |z-a| < R₀ sfruttando ripetutamente il fatto che f_n(a) = 0 , il risultato è che tutti i c_n sono nulli ed in definitiva quindi la funzione è nulla. Per dimostrare che f(z) = 0 in tutto il dominio invece basta dimostrare che vale 0 in z₁ il che si ottiene congiungendo con una curva a e z₁ , prendendo il punto di intersezione tra il bordo del cerchio di raggio R₀ e la curva , si trova un nuovo raggio di convergenza nel quale f(z) = 0 , iterando si giunge a z₁ .

 

4) Una funzione f(z) ¹ 0 , analitica in un dominio G , non ha che un numero finito di zeri in ogni sottodominio chiuso limitato del dominio G :

Se il numero degli zeri fosse infinito, da esso si potrebbe estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto a nel quale la funzione vale 0 , il che nega le ipotesi.

 

5) Teorema di unicità :

Se due funzioni f(z) e j(z)  sono analitiche in un dominio G nel quale esiste una successione di punti {z_n } nei quali i valori delle funzioni f(z) e j(z) coincidono, allora f(z) = j(z) in G.

È sufficiente stabilire che la funzione y(z) = f(z) - j(z) = 0   in G.

 

6) Punto regolare :

Un punto z₀ appartenente ad un dominio limitato è detto regolare per la funzione f(z) se esiste una serie di potenze convergente Sc_n(z-z₀)ⁿ che, nell´intersezione del dominio G con il suo cerchio di convergenza |z-z₀| < r(z₀), converge alla funzione f(z).

 

7) Sulla frontiera del cerchio di convergenza di una serie di potenze giace almeno un punto singolare della funzione analitica F(z), alla quale la serie data converge :

Per assurdo si abbia che tutti i punti del bordo del cerchio di convergenza della serie siano regolari ossia che nell´intersezione tra il cerchio di convergenza che corrisponde al singolo punto ed il cerchio di convergenza della serie iniziale si abbia convergenza ad f(z), si ha che la differenza tra i raggi dei cerchi di convergenza relativi a 2 punti z₁ e z₂ che si trovano sul bordo del cerchio è minore della distanza tra i due punti il che equivale a dire che r(z) è una funzione uniformemente continua nonché limitata inferiormente (r(z) > 0) e dunque assume il suo minimo assoluto su C₀ in definitiva si ottiene che il raggio di convergenza deve essere R₀ + r₀ > R₀ e dunque contraddice l´ipotesi iniziale .

 

8) Funzione analitica totale :

Si tratta della funzione F(z), ottenuta per prolungamento analitico lungo tutte le possibili catene di domini che escono dal dominio G di definizione iniziale della funzione analitica f(z).

 

9) Disco di analiticità massimale centrato in z₀ :

Si tratta di un dominio che non è propriamente contenuto in alcun disco di centro z₀ nel quale f è olomorfa.