1) Se una funzione f è continua in x₀ Î X e f(x₀) > 0 Þ esiste un intorno U di x₀ tale che f(x) > 0 per ogni x Î U

 

2) Sia x₀ Î A ed f(x₀) Î B e se f è continua in x₀ e g è continua in f(x₀) allora la funzione composta g°f è continua in x₀

 

3) Se una funzione è monotona su di un intervallo allora f  può avere al più una infinita numerabile di punti di          discontinuità, e sono solo di 1ª specie(o eliminabili se si trovano agli estremi della intervallo).

Per una funzione monotona esiste sempre il limite e coincide con il sup o l´inf a seconda dei casi pertanto se abbiamo un punto x₀ dovranno esistere finiti entrambe i limiti  e , se essi sono uguali la funzione è continua mentre se sono diversi la funzione presenta una discontinuità di salto.

Rimane da dimostrare che i salti possibili sono una infinità numerabile ossia che rappresentano un insieme che può essere posto in corrispondenza biunivoca con l´insieme À, a tal uopo si osserva che se consideriamo i salti maggiori di 1/n con n Î À essi sono una infinità numerabile per ogni valore che noi diamo ad n e siccome À stesso è numerabile ne consegue che globalmente avremo una infinità numerabile di discontinuità di 1ª specie o di salto.

4) Teorema degli zeri :

Descrizione :         Se una funzione continua definita su di un intervallo [a,b] assume ai suoi estremi valori non nulli e di                           segno opposto, allora f ammette almeno uno zero y Î (a,b).

Supponendo che f(a) < 0 mentre f(b) > 0 la dimostrazione della esistenza di almeno uno zero avviene con un procedimento dicotomico caratterizzato dai seguenti passi :

                a)  individuo il punto medio c della intervallo attuale

                b) in base al valore assunto dalla funzione in c eseguo uno dei seguenti passi :

                               *             f(c) = 0   ho trovato lo zero . Algoritmo completato con successo.

                               *             f(c) < 0  il punto medio attuale diventa il nuovo bordo sinistro della intervallo da considerare.

                               *             f(c) > 0  il punto medio attuale diventa il nuovo bordo destro della intervallo da considerare.

                c) Si ritorna al punto a) .

Si sono in tal modo create 2 successioni, una {a_n} dei bordi sinistri ed una {b_n}dei bordi destri, si deve dimostrare che entrambe convergono allo stesso punto y e che in questo punto la funzione vale 0, in particolare {a_n} essendo una successione monotona e limitata converge ad un punto y mentre {b_n} converge allo stesso punto y in quanto la distanza tra i termini n della successione è pari a   che tende a 0 per n ® +¥. Inoltre il procedimento di costruzione delle successioni era tale che f{a_n} £ 0 mentre f{b_n} ³ 0 per n ® +¥. È solo la continuità della funzione ad assicurarci che i due limiti per n® +¥ debbono essere uguali e pertanto f(y) = 0.

5) Se 2 funzioni f e g continue definite sullo stesso intervallo [a,b] sono tali per cui all´estremo destro f è maggiore di b mentre all´estremo sinistro g è maggiore di f   Þ  esiste almeno una soluzione y Î (a,b) della equazione f(x) = g(x).

Si applica il teorema degli zeri alla funzione continua f(x) - g(x).

 

6) Una funzione continua su di un intervallo, non necessariamente limitato, assume tutti i valori compresi tra sup ed inf. Analogamente si può dire che l´immagine di una funzione continua definita su di un intervallo, è essa stessa un intervallo.

Per ogni y compresa tra il sup e l´inf applico il teorema degli zeri alla funzione f(x) - y su di un intervallo [a,b] scelto in modo che il segno della funzione in a sia diverso dal segno della funzione in b.

 

7) Se una funzione f è continua ed invertibile su di un intervallo Þ f è strettamente monotona.

Si dimostra per assurdo supponendo che la funzione non è strettamente monotona e sfruttando la continuità si arriva a dimostrare che la funzione non è iniettiva e pertanto non è invertibile, ricordando che stretta monotonia implica che se nel dominio si ha x < y < z allora nell´immagine si ha f(x) < f(y) < f(z) mentre per iniettività si intende che comunque presi   x, y, z si ha f(x) ¹ f(y) ¹ f(z). Se supponiamo per assurdo che f(y) sia maggiore degli altri 2 valori, si osserva che nell´intervallo tra y ed il punto corrispondente al minore tra f(x) ed f(z) ad esempio z (intervallo [y,z]) la funzione assume tutti i valori compresi tra l´inf ed il sup tra cui quindi anche f(x) pertanto la funzione non è inettiva, il che conferma la validità del teorema.

 

8) Se f è una funzione continua ed invertibile allora anche l´inversa è continua nel suo dominio se :

                a)            Il dominio di f è un intervallo

                b)            Il dominio di f è un insieme chiuso e limitato (compatto).

Considerando il caso di un intervallo:

Se una funzione è continua ed invertibile su di un intervallo allora per il 51) tale funzione è strettamente monotona quindi anche la funzione inversa deve essere strettamente monotona nonchè definita su di un intervallo in quanto immagine di una funzione continua su di un intervallo. Dalle proprietà delle funzioni monotone si deduce che scelto y₀ debbano esistere finiti  e  , affinchè la funzione risulti continua questi 2 limiti debbono essere uguali altrimenti vi sarebbe un salto, ma se ci fosse un salto allora l´immagine di f ^-1 ossia il dominio di f non sarebbe un intervallo contro l´ipotesi del teorema.

 

9) Se ho una funzione continua su di un intervallo [a,b] allora :

                a)            f è limitata in [a,b]

                b)            esistono il Max ed il Min su [a,b]

                c)            l´immagine di f è compresa tra il Max ed il Min.

Il teorema è basato su 3 ipotesi che non possono essere indebolite ossia f deve essere una funzione continua , limitata (ossia racchiudibile in un intorno della origine) e definita su di un intervallo chiuso.

10) Se ho una funzione continua definita su di un compatto K Þ

                a)            l´immagine f(K) è anche esso un compatto.

                b)            se K Í Â allora esistono il Min ed il Max di f in f(K).

a) La compattezza di f(K) implica che, presa una successione y_K  in f(K) debba esistere una sottosuccessione y_LK che             tende ad y₀ Î f(K) per k®+¥ , a tal fine si può osservare che tale successione y_K è immagine di una successione               x_K  su K per la quale, essendo K un compatto, esiste una sottosuccessione x_LK che tende ad x₀ Î K per k®+¥.    È la  continuità di f in x₀ ad assicurarci che                 dunque la sua immagine, la sottosuccessione y_LK           , tende ad f(x₀) e f(K) è pertanto un compatto.

b) Abbiamo appena dimostrato che f(K) è un compatto ossia un insieme chiuso e limitato. Dalla limitatezza si deduce per        Bolzano-Weierstrass che debbono esistere l´inf ed il sup mentre ricordando che un insieme chiuso contiene              anche la sua frontiera ne deriva che il Sup equivale al Max e l´Inf equivale al Min.

 

11) Se ho una funzione continua ed invertibile su di un compatto allora l´inversa è continua nel suo dominio f(K).

Occorre dimostrare che una successione y_K a valori in f(K) che tende ad yÎf(K) (y deve essere punto non isolato in quanto se isolato l´inversa è continua in y per definizione stessa di continuità in un punto) ha come immagine una successione x_K la quale converge ad x = f ^-1(y). Si suppone per assurdo che x_K non tenda ad f ^-1(y) ossia che esista una sua sottosuccessione x_LK che non converge ad f ^-1(y) (si ricorda che una successione ha limite l  Û ogni sua sottosuccessione ha limite l ), da questa però trovandoci su di un compatto si può estrarre una sottosuccessione x_JK la quale converge ad x Î K. La continuità di f in x ci assicura che l´immagine della successione x_JK tende a f(x) e siccome il limite è unico allora x = f ^-1(y). A questo punto si ha che la sottosuccessione converge a f ^-1(y) il che è impossibile pertanto partendo dall´ipotesi assurda che x_K non tende ad f ^-1(y) si giunge alla assurdo che una sua sottosuccessione invece tende a f ^-1(y) il che è impossibile visto che i valori della sottosuccessione sono estratti dalla successione principale.

 

12) Teorema di Heine - Cantor

Descrizione :         Una funzione continua su di un compatto è anche uniformemente continua.

Si procede per assurdo negando che la funzione sia uniformemente continua ossia esiste almeno un e₀ > 0 tale che per ogni d > 0 vi sono 2 punti x_d ed y_d tali che distano tra di loro meno di d ma le loro immagini distano tra di loro più di e₀. Dando a d dei valori 1, 1/2 ,..., 1/k si ottengono 2 successioni x_K ed y_K costituite da punti che negano la uniforme continuità della funzione. Trovandoci però su di un compatto si può estrarre da x_K una sottosuccessione x_LK la quale converge ad un elemento x. Del resto però anche y_LK converge ad x per _KL ® +¥ in quanto gli elementi _KL delle 2 sottosuccessioni distano tra di loro meno di 1/_KL .Dato che entrambe le sottosuccessioni tendono ad x, e per la continuità di f , segue che la distanza tra le 2 sottosuccessioni tende a zero al contrario di quanto prima affermato, partendo quindi dalla assunto che la f non è uniformemente continua si giunge alla assurdo che la sottosuccessione rispetta l´uniforme continuità mentre la successione da cui è estratta non la rispetta.

13-a) Se f e g sono 2 funzioni uniformemente continue allora anche f ± g ed a*f , sono funzioni uniformemente continue.

Per il prodotto invece non è vero.

13-b) Se g è una funzione uniformemente continua in X e f è una funzione uniformemente continua in g(X) allora anche f°g è una funzione uniformemente continua in X.

La definizione di uniforme continuità di g°f si basa sul fatto che la distanza tra le immagini di 2 punti x ed y appartenenti ad X sia minore di e  e la distanza tra g(x) e g(y) sia minore del d₁ funzione di e che rispetta la definizione di uniforme continuità di f, ed inoltre la distanza tra x ed y sia minore del d₂ il quale è funzione del d₁ che ripeto è funzione di e.

 

14) Se f e una funzione uniformemente continua su X Þ f è estendibile con continuità alla chiusura di X, esiste cioè una funzione  che è l´estensione di f alla chiusura di X ossia a .

La definizione di uniforme continuità implica l´esistenza di un limite finito e pertanto  non deve far altro che sostituire all´estremo x₀ nel f quale non è definita il limite della f per x ® x₀ .

 

15) Se una funzione f è uniformemente continua in X Þ lo è anche in ogni sottoinsieme di X

 

16) Se X è un insieme limitato allora

                La funzione f è uniformemente continua Û f è estendibile con continuità a .

Þ           È già dimostrato al punto 58)

Ü           La è uniformemente continua in quanto continua sul compatto  il che per il 59) implica che sia       uniformemente continua anche su X e visto che su X coincide con f ,  segue che f è uniformemente continua.

17) Se f è uniformemente continua in X allora f è limitata in ogni sottoinsieme limitato di X.

La funzione f  è uniformemente continua anche in ogni sottoinsieme A di X , e pertanto può essere estesa con continuità alla chiusura di A ossia sul quale però  è limitata in quanto per una funzione continua su di un compatto esistono Max e Min, e pertanto dato che  su A coincide con f ne consegue che f è limitata su A.

 

18) Se f è uniformemente continua in X e l´intervallo [b,+¥) Í X allora esistono A, B ³ 0 tali che |f(x)| £ Ax +B per      ogni x ³ b.

Per simmetria è sufficiente dimostrare che esistono A,B ³0  tali che f(x) £ Ax +B per ogni x ³ b .

Essendo la funzione uniformemente continua, ponendo e = 1, si ha che per ogni coppia x,y seguente ad un certo punto b è verificata la disuguaglianza |f(x)-f(y)| < 1.

Sostituendo in questa al posto di y il punto b e disuguagliando tramite Cauchy-Schwarz si ha che all´estremo della intervallo, ossia nel punto b+d, è f(b+d) £ 1 + |f(b)|.

Se invece si sostituisce ad y il punto b+d e si  disuguaglia tramite Cauchy-Schwarz si ha che all´estremo del 2° intervallo, ossia nel punto b+2d, è f(b+2d) £ 2 + |f(b)| .

Proseguendo e raccordando i valori della funzione agli estremi di questi intervalli si ottiene una retta che da b in poi si trova tutta sopra la funzione.

 

19) Nel caso che f sia una funzione continua su di un insieme illimitato allora affinchè essa sia anche uniformemente continua deve essere uniformemente continua in ogni sottoinsieme limitato di X e deve essere verificata una delle 3 seguenti condizioni.

                a)            X è limitato inferiormente (superiormente) e f ha un asintoto orizzontale o obliquo per x®+¥.

                b)            X è limitato inferiormente (superiormente) ed esiste un R tale che in (R,+¥) f è lipschitziana.

                c)            f è periodica in X.

dove per limitato inferiormente si intende che l´insieme di definizione della funzione non comprende -¥.