Funzioni armoniche
1) Funzione armonica :
Una f : C2®Â è detta armonica se risulta essere soluzione della equazione di Laplace Uxx + Uyy = 0
2) Se D è un insieme semplicemente connesso Þ ogni funzione armonica in D ammette un´armonica coniugata unicamente determinata a meno di una costante :
3) Principio del massimo per funzioni armoniche :
Una funzione armonica U non costante non assume ne massimo ne minimo nel dominio nel quale è definita, in particolare se il dominio è un insieme chiuso e limitato , il massimo ed il minimo di U sono assunti sulla frontiera.
4) Descrivere il problema di Dirichlet ed il metodo per la sua risoluzione :
Si chiede di definire la funzione u(x,z) soddisfacente l´equazione di Laplace Du = 0 in un dominio G, che sia continua nel dominio chiuso e che assuma valori assegnati sulla frontiera G. Il metodo di risoluzione è il seguente :
a) Si cerca una applicazione conforme che trasformi il dominio dato nel cerchio unitario
b) Si determina il valore della funzione armonica nel centro del cerchio tramite la formula del valor medio
c) Esprimendo la soluzione in funzione delle variabili di partenza, il problema è risolto.
5) Soluzione del problema di Dirichlet per il cerchio di raggio a tramite la funzione che compare nella condizione al bordo a(j) :
6) Soluzione del problema di Dirichlet per il semipiano tramite la funzione che compare nella condizione al bordo a(j) :
