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Transformé de Laplace

1) transformé de l'unilatera Laplace :

Il est dit transformé de Laplace de la fonction variable donnée le f(t) de la vraie transformation de t un il y a lequel pour correspondre à la fonction de F(p) du f(t) un de fonction du p complexe défini variable de l'intégrale .

 

2) index du degré de crescenza du f(t) de fonction :

C'est la fin inférieure des valeurs de à pour ce que l'inégalité a l'endroit |f(t)| £ j'à .

 

3) il les lance :

Le f(t) de fonction est dit les lance du T.d.L. F(p) à condition que vous respectez les 3 conditions suivantes :

)       f il est localement sommabile qui est lui est convergent

b)       f(t) = 0 pour t<0

c)       Existe-t-il M>0 constant et s0? " tels que |f(t)| £ jerue

 

4) état de la convergence de l'intégrale de Laplace :

L'intégrale converge dans le roi de dominion p > à, à où est l'index du degré de crescenza du f(t) de fonction ; , pour d'ailleurs chaque x0 > à, cet uniforme intégral converge dans le dominio le ³ X 0 du roip > à.

Il est eu p = x iy et du repos à lui est l'index du degré de crescenza du f(t) de fonction qui est vaut la peine l'inégalité |f(t)| le £ j' au bidon soit donc maggiorare l'intégrale avec un n° vrai et donc l'intégrale est convergente, en fait sià 1 = à et à ž . Dans le Se analogue de manière < x0 < x la convergence uniforme de l'intégrale peut être appliqué le théorème de Weierstrass et être démontré.

 

5) état ultérieur de la convergence de l'intégrale de Laplace :

F(t) il est défini pour chaque ³ 0 de t et existe des 0 complesso pde nombre tels que l'intégrale est satisfaisante chaque ž convergent pour p le roi de condition p > 0 roisp que l'intégrale est convergente.

L'integrabilità absolu de est eu si on le réussit pour démontrer en particulier qu'il est convergent, plaçant le roi p = P0 q et intégrant pour des pièces est eu oùet il vaut la peine 0 pour t=0 tandis que pour le ¥®de T 0 la limite vaut la peine donc les restes seuls l'intégrale à selon le membre que (t) < K peut être augmenté étant l'intégrale d'un exponentiel dans combien de j.

 

6) transformé de Laplace du f(t) de fonction est un analytics de fonction du complexe variable p dans le roi de dominion p > à où à lui est l'index du degré de crescenza du f(t) de fonction.

 

7) théorème d'Omotetia :

Pour le chaque à > 0 constantes est eu :

 

8) le théorème de la dérivation de les lance :

Si f '(t), f ''(t)..., f(n)(t) est le lance eux et l'allora e .

 

9) théorème de la dérivation de l'image :

La dérivation de l'image est réduite à la multiplication de les lance pour - t

 

10) le théorème de l'intégration de les lance :

L'intégration de les lance est réduite à la division de l'image pour p

 

11) théorème de l'intégration de l'image :

L'intégration des jets d'image de la division pour t de les lance

 

12) théorème de traduction dans le dominion de Laplace :

La multiplication de les lance pour un complexe exponentiel de l'endroit à une traduction de l'image.

 

13) théorème du retarder ou de la traduction dans le dominion du temps :

Une traduction de les lance de l'endroit à la multiplication de l'image pour un complexe exponentiel.

 

14) définition du delta de Dirac :

Le delta de Dirac est une fonction définie des 2 suivant : , il s'avère être le dérivé de l'étape unitaire tandis que transformé son est 1.

 

15) théorème du convoluzione :

Le produit de 2 fonctions que les images est transformées du convoluzione à eux les lance

Ce théorème est beaucoup de bénéfice dans le calcul du antitransformed ceux.

 

16) théorème de Mellin :

Dans le roi de dominion p > au f(t) régulier variable de fonction parfois du vrai un t avec le degré de crescenza au ž X est F(p) transformé d'un > a.

La fonction est définie et on le démontre que pour le ¥®de b il converge au f(t) en particulier remplaçant dans lui et tirer profit de la convergence uniforme que un Pò des choses d'une intégrale est passé à l'autre qui obtient remplaçant donc le p=a est a où dernier est l'intégrale d'un exponentiel résolvant ce qu'il est venu à l'esplicitare un sein exprimé en termes d'esponenziali, a donc dans à quel pu² à remplacer t = t X et pour augmenter l'intégrale -du ¥ le ¥ à ce point intégrant pour des pièces et employant le théorème de Riemann obtient que l'intégrale s'étend juste au f(t).

 

17) les conditions pour l'existence du antitransformed un  de Laplace :

Nous supposons que la fonction de F(p) de variable p = le x iy satisfait les conditions suivantes :

)    F(p) c'est analytics dans le dominion de Re(p) > à

b)    F(p) ® 0 pour |p| ® ¥ dans le dominion Re(p) > a à l'égard uniforme de manière à l'arg p.

c)    l'intégral x > a converge " Re(p) = x > à

le ž   la fonction de F(p) pour le roi p > a est transformé de a défini le f(t) variable de fonction du vrai un t de l'expression

L'intégrale de la manière usuelle est démontrée seulement à la convergencedu maggiorando intégral inexact.